专题05 解析几何（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列 11页

‎2017届高考数学（理）大题狂练 专题05 解析几何 ‎1.在平面直角坐标系中，点为曲线上任意一点，且到定点的距离比到轴的距离 多1．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）点为曲线上一点，过点分别作倾斜角互补的直线，与曲线分别交于，两点，‎ 过点且与垂直的直线与曲线交于，两点，若，求点的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ 试题解析：（1）由题意可知，点到点和到直线的距离相等，故曲线是顶点为原点，点为焦点的抛物线，设曲线的方程为，则，即,故曲线的方程为．‎ ‎（2）设，，，则， ，‎ ‎∵直线，的倾斜角互补，∴，即，化简得 ‎，‎ ‎∴，故直线的方程为，即，代入得，，∴，又，即，解得，故点的坐标为或．‎ 考点：1、抛物线的定义及方程；2、直线的斜率及定点问题.‎ ‎2.（原创）已知，，动点满足，其中分别表示直线的斜率，为常数，当时，点的轨迹为；当时，点的轨迹为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点的直线与曲线顺次交于四点，且，，是否存在这样的直线，使得成等差数列？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在这样的直线满足题意，理由见解析.‎ 试题解析：（1）设，即，化简得，此即为的方程；‎ ‎（2）如（1）易得，假设存在这样的直线，则由题可知 ‎，由得，故 ‎，易得，故，令 ‎，则可得，令，则 ‎，故，因此无解，所以不存在这样的直线满足题意.‎ 考点：曲线的轨迹方程；直线与圆锥曲线相交.‎ ‎3.已知椭圆：（）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求△面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，依题意∴，‎ ‎∴所求椭圆方程为．‎ ‎（2）设， ，‎ ‎①当⊥轴时，为，代入，得，∴；‎ ‎②当与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ 由已知，得，‎ 把代入椭圆方程，整理，‎ ‎，，，‎ ‎∴，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时等号成立．‎ 综上所述．‎ ‎∴当最大时，△面积取最大值．‎ 考点：1、待定系数法求椭圆方程及三角形面积公式；2、点到直线距离公式及基本不等式求最值.‎ ‎4.已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）记与的面积分别为和，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）点为椭圆的一个焦点，,又 椭圆的方程为.‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，此时与的面积相等，,当直线斜率存在时，设直线方程为，设显然异号，由得，显然，方程有实根，且,此时,‎ 由可得，当且仅当时等号成立，‎ 的最大值为.‎ 考点：1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、韦达定理及椭圆中的最值问题. ‎ ‎5.已知椭圆：过点，为椭圆的半焦距，且，过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于另两点,．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率为，求的面积；‎ ‎（3）若线段的中点在轴上，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）或．‎ 试题解析：（1）因为椭圆：，过点，‎ 为椭圆的半焦距，且，‎ 所以，且，‎ 所以，解得，，‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（2）设方程为，‎ 由整理得，‎ 因为，解得，‎ 当时，用代替，得，‎ 将代入，得， ．‎ 因为，所以，，‎ 所以的面积为．‎ 考点：椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系.‎ ‎6.已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 ‎【答案】（I）；（II）不存在，理由见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（I）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以.又离心率为，所以，所以，所以.‎ 所以的方程为.‎ ‎（II）设点，，设直线的方程为，‎ 与椭圆方程联立得，‎ 化简得到，因为-4为方程的一个根，‎ 所以，所以 所以 因为圆心到直线的距离为，‎ 所以.‎ 因为，‎ 代入得到，‎ 显然，所以不存在直线，使得.‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系.‎