2018-2019学年内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版） 13页

‎2018-2019学年内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学高一下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．在中，角，，所对的边分别为，，，，，＝，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据正弦定理可直接求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.‎ ‎2．在等差数列中，，，则＝（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据等差中项性质求得，进而得到；利用求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意知： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎3．若是异面直线，直线，则与的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 ‎【答案】D ‎【解析】，是异面直线，直线，‎ 则可能与直线平行，也可能相异面，故选．‎ ‎4．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三视图可知剩余部分的几何体是原球体的，利用球的体积公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，剩余部分的几何体为原球体的 剩余部分几何体体积 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的体积的有关计算，关键是能够通过三视图判断出剩余的几何体与球体之间的关系.‎ ‎5．若的三个内角满足，则（ ）‎ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由正弦定理得,所以C是最大的角，由余弦定理,所以C为钝角，因此三角形一定是钝角三角形 ‎【考点】三角形形状的判定及正、余弦定理的应用 ‎6．下列命题中错误的是（ ）‎ A．若两个平面平行，则分别位于这两个平面的直线也互相平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行；‎ C．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 ‎【答案】A ‎【解析】根据空间中面面平行的性质、判定定理可以得到正确，可找到反例，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 选项：在如下图所示的正方体中 平面平面，平面，平面 此时，与异面，可知错误；‎ 选项：由面与面的位置关系可知，平行于同一平面的两个平面平行，正确；‎ 选项：三角形各边所在直线与一个平面平行，即三角形所在平面中有两条相交直线均平行于另一个平面，可知两个平面平行，正确；‎ 选项：由面面平行的性质定理可知正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面平行的相关命题的辨析，主要考查面面平行的判定定理、性质定理的应用，属于基础题.‎ ‎7．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： 该四棱锥底面是边长为2的正方形,高为2,故体积,四个侧面是底边为2,高为的等腰三角形,故,侧面积为,故选B．‎ ‎【考点】1．三视图；2．几何体的表面积与体积．‎ ‎8．等比数列中，，则数列的前8项和等于( )‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．‎ 解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，‎ ‎∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．‎ ‎∴lga1+lga2+…+lga8‎ ‎=lg（a1a2…×a8）‎ ‎=‎ ‎4lg10‎ ‎=4．‎ 故选：C．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎9．正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】取中点，通过中位线平移可得到所求角为，利用余弦定理可求得所求角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 取中点，连接 分别为中点 ‎ 异面直线与所成角即为与所成角 设正四面体棱长为 ‎，‎ 即异面直线与所成角的余弦值为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求解异面直线所成角的问题，关键是能够通过平移找到所求角，再结合解三角形的知识求解得到结果.‎ ‎10．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是 ‎，则河流的宽度BC等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 C.‎ ‎【解析】试题分析：，，，所以 ‎.选C ‎【考点定位】解三角形.‎ ‎11．已知数列满足，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】an+1=an+2n；‎ ‎∴an+1−an=2n；‎ ‎∴(a2−a1)+(a3−a2)+…+(a10−a9)=2+22+…+29==1022；‎ ‎∴a10−a1=a10−1=1022；‎ ‎∴a10=1023.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ ‎12．若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用圆锥体积与球的体积相等求解出圆锥高与底面半径之间的关系，进而用圆锥底面半径分别表示出圆锥侧面积和球的表面积，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设圆锥底面半径为，圆锥的高为，则球的半径为 ‎ ‎ 圆锥母线长为：‎ 圆锥侧面积，球的表面积 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间几何体表面积、体积的相关计算问题，关键是能够利用体积相等的关系得到圆锥底面半径与圆锥高之间的关系.‎ 二、填空题 ‎13．若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，三个正数，，成等比数列，所以，解得．‎ ‎【考点】等比中项．‎ ‎14．在中，，，，则________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由可得，结合可得的值.‎ ‎【详解】‎ 因为在中，，‎ 所以，‎ 因为，‎ 即，‎ 而，‎ 所以，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的关系以及三角形面积公式的应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.‎ ‎15．设数列是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若，，成等比数列，则的值为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据，，成等比数列得到；利用等差数列前项和公式构造出关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，，成等比数列 ‎ 即，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比中项的性质、等差数列前项和公式的应用，属于基础题.‎ ‎16．如图所示,在正方体中,,分别为棱,的中点,有以下四个结论:‎ ‎①直线与是相交直线；‎ ‎②直线与是平行直线；‎ ‎③直线与是异面直线； ‎ ‎④直线与所成的角为.‎ 其中正确的结论为___________ (注:把你认为正确的结论序号填在横线上).‎ ‎【答案】③④.‎ ‎【解析】根据异面直线判定定理可知①错误，③正确；根据线线平行的性质可知②错误；通过平移求解出异面直线所成角，可得④正确.‎ ‎【详解】‎ ‎①平面，平面，平面，，可知与为异面直线，故①错误；‎ ‎②，，可知与不平行，故②错误；‎ ‎③平面，平面，平面，，可知与异面，可知③正确；‎ ‎④,分别为棱,的中点，可知，则直线与所成角即为，又为等比三角形，可得，可知④正确.‎ 本题正确结果：③④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线与直线的位置关系、异面直线所成角的求解问题，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．设等差数列满足，。‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值。‎ ‎【答案】an=11-2n,n=5时，Sm取得最大值。‎ ‎【解析】试题分析：解：（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9得,a1+9d=-9，a1+2d=5,解得d=-2，a1=9，,数列{an}的通项公式为an=11-2n,（2）由（1）知Sn=na1+d=10n-n2．因为Sn=-（n-5）2+25．所以n=5时，Sn取得最大值．‎ ‎【考点】等差数列 点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．‎ ‎18．如图，在正方体中 ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成的角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由正方体特征可知，根据线面平行判定定理可得结论；（2）利用将问题转化为求解，根据正方形特点求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正方体可知：‎ 又平面，平面 平面 ‎（2）‎ 四边形为正方形 ‎ 异面直线与所成角即为直线与所成角，即 四边形为正方形 ‎ 异面直线与所成角的大小为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明、异面直线所成角的求解问题，属于基础题.‎ ‎19．在中，角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：(1)由正弦定理化角，可求得角A.(2)由（1），由角A的余弦定理，求的边c,进一步求得面积。‎ 试题解析;(1)(由及正弦定理，‎ 得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ .‎ ‎(2)由，，及余弦定理，得，‎ 得，‎ ‎.‎ ‎【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 第三步：求结果 ‎20．在中的内角,,所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理化简可得的值，进而求得；（2）利用余弦定理可构造出关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理得：‎ 即：‎ ‎ ，又 ‎ ‎（2）由余弦定理可知：‎ 即： ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，属于常规题型.‎ ‎21．如图，直三棱柱中，，分别是,的中点.‎ ‎(1)证明：平面;‎ ‎(2)设,，，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）连接，交于点，根据三角形中位线可得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）利用体积桥将问题变为求解三棱锥的体积，求解出，根据直棱柱的关系可知高为，代入棱锥体积公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，交于点 棱柱为直三棱柱 四边形为矩形 为中点，又为中点 ‎ 平面，平面 平面 ‎（2），，即 ‎ ‎ ‎ 又棱柱为直三棱柱 平面 ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行关系的证明、椎体体积的求解问题.求解三棱锥体积时，通常采用体积桥的方式将问题转化为高易求的三棱锥的体积求解问题.‎ ‎22．已知数列的前项和为，且满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：(1)先根据和项与通项关系求递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式求结果，（2）利用错位相减法求数列的前项和.‎ 详解：（1）当时，，可得，‎ 当时，由 得，整理得，‎ 从而．‎ ‎（2）由，得，‎ 则，①‎ ‎，②‎ 由①②得 ‎ ，‎ 从而．‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎