数学卷·2018届安徽省合肥市第一中学高二上学期第一次月考理数试题 （解析版） 19页

全*品*高*考*网， 用后离不了！安徽省合肥市第一中学2016-2017学年高二上学期第一次月考 理数试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.下列命题是公理的是（ ）‎ ‎ A．直线和直线外一点确定一个平面 ‎ B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 ‎ C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 ‎ D．平行于同一个平面的两个平面相互平行 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，对于A、C、D中，都是推论，只有B中，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面是公理三，故选B．‎ 考点：立体几何的公理．‎ ‎2.下面是一些命题的叙述语（表示点，表示直线，表示平面），其中命题和叙述方法 ‎ 都正确的是（ ）‎ ‎ A．∵，∴ B．∵，∴‎ ‎ C．∵，∴ D．∵，∴‎ ‎【答案】C 考点：点、直线与平面的关系．‎ ‎3.下列命题中正确的个数是（ ）‎ ‎ ①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；‎ ‎ ②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；‎ ‎ ③仅有一组对面平行的五面体是棱台；‎ ‎ ④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．‎ ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以不正确；②中，用一个平行于底面的平面截棱锥才能得到一个棱台；③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱；④中，有一个个面是多边形，其余各面是三甲型的几何体不一定是棱锥，如三棱台，所以选A．‎ 考点：多面体的特征．‎ ‎4.设是两条直线，是三个平面，则下列推导错误的是（ ）‎ ‎ A．‎ ‎ B．‎ ‎ C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】D 考点：线面位置关系的判定与证明．‎ ‎5.一个几何体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积 ‎ 是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：几何体的三视图及体积的计算．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据几何体的三视图得出原几何体表示表示一个半径为的球，去掉个球是解得关键，属于基础题．‎ ‎6.已知直线平面，直线平面，，直线与直线（ ）‎ ‎ A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：直线平面，直线平面，所以在中可以找到一条直线平行与直线，设在平面内，在平面内，则，所以，又因为不在平面内，在平面内，所以，又因为，所以，又因为，所以，故选B．‎ 考点：直线与平面平行的判定及性质．‎ ‎7.平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为1，则此球的半径为（ ）‎ ‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，所以球的半径为，故选C．‎ 考点：球的性质．‎ ‎8.两条异面直线在同一平面上的正投影不可能是（ ）‎ ‎ A．两条相交直线 B．两条平行直线 C．一条直线和直线外一点 D．两个点 ‎【答案】D 考点：异面直线的定义及投影的概念．‎ ‎9.如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁 ‎ 沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）‎ ‎ A． B． C． ‎ ‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，底面圆的直径为，故底面周长等于，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，解得，所以，则，过作，因为为的三等分点，，所以,，所以，所以，‎ 所以，因为，所以，在直角中，利用勾股定理得：，则，故选B．‎ 考点：圆锥的侧面展开图．‎ ‎10.已知均为直线，为平面，下面关于直线与平面关系的命题：‎ ‎ ①任意给定一条直线与一个平面，则平面内必存在与垂直的直线；‎ ‎ ②内必存在与相交的直线；‎ ‎ ③，必存在与都垂直的直线；‎ ‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】C 考点：线面位置关系的判定与证明．‎ ‎11.空间四边形中，分别为中点，若，则与 ‎ 所成的角为（ ）‎ ‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设为的中点，连接，则分别为的中线，所以，且且，则与所成角的度数等于与所成角的度数，又，所以，则为直角三角形，，所以在直角中，，所以，故选A．‎ 考点：异面直线所成的角．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角，其中解答中涉及到三角形的中位线定理、异面所成角的概念、三角函数的概念及已知三角函数值求角，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用，进而得到为异面所成的角，放置在三角形中求解．属于基础题．‎ ‎12.在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面的 ‎ 距离是（ ）‎ ‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：点到平面的距离的求解．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了点到平面的距离问题，其中解答中涉及到空间向量的应用、平面法向量的求解、点、线、面的位置关系的判定等知识点综合考查，解答中要认真审题，合理地运用空间向量法进行合理求解，其中向量法是求解点到平面距离问题的一种常用方法，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.等边三角形的边长为，建立如图所示的直角坐标系，用斜二测画法得到它的直观 图，则它的直观图的面积是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：过作，则，作轴和轴，使得，在轴上取点，使得，在轴上取点，使得，过点轴，使得，连接，则的直观图，由直观图作法可知，过作于，则，所以．‎ 考点：平面图形的直观图．‎ ‎14.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积为，那么该圆柱的体积为_____________．‎ ‎【答案】‎ 考点：圆柱的侧面积．‎ ‎15.如图所示，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的 中点，则表示直线是异面直线的图形有____________（填上所有正确答案的序号）．‎ ‎【答案】②④‎ 考点：异面直线的判定． ‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了空间中异面直线的判定问题，其中解答中涉及到异面直线的定义和异面直线的判定方法、三棱柱的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中正确把握三棱柱的基本结构特征和异面直线的概念与判定方法是解答的关键．‎ ‎16.已知一个三棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是 有一条直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的表面积为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如图所示，其中,则，的面积为，的面积为，和的三边边长方程为，则由公式可得三角形和的面积为，所以该三棱锥的表面积为．‎ 考点：几何体的三视图和几何体的表面积．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图和几何体的表面积的计算，其中解答中涉及到几何体的三视图的规则——“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，在利用三角形的面积公式求解几何体的表面积，其中解答中还原出几何体的直观图是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 如图，在直角梯形中，，在直角梯形内 挖去一个以为圆心，以为半径的四分之一圆，得到图中阴影部分，求图中阴影部分绕直线旋 转一周所得旋转体的体积、表面积．‎ ‎【答案】，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，即可求解该几何体的体积与表面积．‎ 试题解析：‎ 考点：旋转体的概念及体积．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，分别是的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎（2）三线共点．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ 试题解析：证明：（1）∵分别为的中点，∴，‎ ‎∵平面平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵与平行且相等，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴，‎ ‎∵平面平面，∴平面．‎ ‎∵，∴平面平面．‎ ‎（2）∵，∴与必相交，‎ 设交点为，则由平面，得平面，‎ 同理平面，‎ 又平面平面，‎ ‎∴直线，∴三线共点．‎ 考点：直线与平面平行的判定与证明；平面的性质．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，设为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设异面直线与所成角为45°，，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ 试题解析：（1）连交于为中点，连又在三角形中，为的中点，‎ 所以：，‎ 因为平面平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴异面直线与所成角的平面角为，‎ ‎∴，‎ 所以：．　‎ 考点：直线与平面平行；三棱锥的体积的计算．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，在侧面内，‎ 有于，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）试在上找一点，使平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由面，∴，又，根据线面垂直的判定定理，得出面，即可证明；（2）在平面内，过作交于，连接，在上取点，使，得到，又∴，设，即可求解的值，从而得出．‎ ‎（2）在平面内，过作交于，‎ 连接，在上取点，使，‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴．‎ 又平面平面，∴平面，∴即为所示的点．‎ ‎∵，∴，‎ 设，则，由得：‎ ‎，∴，即，∴．‎ 又，∴，∴，‎ 即，∴，即．‎ 考点：直线与直线垂直的判定；直线与平面平行的判定与应用．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，在边长为4的等边三角形中，点分别是边的中点，，‎ 沿将翻折到，连接，得到如图的四棱锥，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ 试题解析：（1）证明：∵点分别是边的中点，∴．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵平面平面，‎ ‎∴平面．∴平面．‎ ‎（2）连接，∴，‎ 在中，，‎ 在中，，∴．‎ ‎∵平面平面，∴平面．‎ 梯形的面积为，‎ ‎∴四棱锥的体积．‎ 考点：直线与平面垂直；几何体的体积的计算．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明、几何体的体积的计算，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定定理与性质定理，三棱锥的体积的计算、勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力，其中熟记判定定理是解得关键，属于中档试题．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 如图，圆锥顶点为，底面圆心为，其母线与底面所成的角为45°，和是底面圆上的两条 平行的弦，．‎ ‎（1）证明：平面与平面的交线平行于底面；‎ ‎（2）求轴与平面所成的角的正切值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ 试题解析：（1）设面面直线，‎ ‎∵且平面面直线，‎ ‎∵面直线面．‎ 所以面与面的公共交线平行底面．‎ ‎（2）设的中点为，连接，‎ 因为，所以，‎ 设，则，‎ 又平面，所以，‎ 又，所以平面，‎ 过作，垂足为，则，‎ 又，所以平面，所以在平面内的射影为，‎ 所以为轴与平面所成的角的平面角，‎ 又母线与底面所成的角为45°，即，所以，‎ 在直角中，，‎ 而，所以轴与平面所成的角的正切值为．‎ 考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定与性质．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了直线与平面所成的角、直线与平面垂直的判定与性质，其中解答中直线与平面平行的判定定理与性质定理，以及直线与平面所成角、已知三角函数值求解角等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理和直线与平面所成角是解得的关键．属于中档试题．‎ ‎ ‎