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- 2021-07-01 发布
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2017-2018学年陕西省安康市高二下学期期末考试数学(理)试题
一、单选题
1.已知全集,集合,,则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:先求出A集合,然后由图中阴影可知在集合A中出去A,B的交集部分即可.
详解:由题得:
故有题中阴影部分可知:阴影部分表示的集合为
故选D.
点睛:考查集合的交集和补集,对定义的理解是解题关键,属于基础题.
2.已知复数满足,则其共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】分析:先求出z,然后根据共轭复数定义结合复数坐标写法即可.
详解:由题可知:,所以所对应的坐标为(-1,1),故在第二象限,选B.
点睛:考查复数的除法运算,复数的坐标表示,属于基础题.
3.已知向量,,若与垂直,则( )
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】分析:先求出的坐标,然后根据向量垂直的结论列出等式求出x,再求即可.
详解:由题可得:
故选B.
点睛:考查向量的坐标运算,向量垂直关系和模长计算,正确求解x是解题关键,属于基础题.
4.若,满足约束条件,则的最大值为( )
A. -2 B. -1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】分析:要先根据约束条件画出可行域,再转化目标函数,把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题
详解:如图所示可行域:,
故目标函数在点(2,0)处取得最大值,故最大值为2,
故选C.
点睛:本题考查线性规划,须准确画出可行域.还要注意目标函数的图象与可行域边界直线的倾斜程度(斜率的大小).属简单题
5.下列命题正确的是( )
A. 若,则
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“”、“”、“”中至少有一个为假命题
D. “若,则,全为0”的逆否命题是“若,全不为0,则”
【答案】C
【解析】分析:根据命题条件逐一排除求解即可.
详解:A. 若,则,当a为0时此时结论不成立,故错误;B. “”是“”的必要不充分条件,当x=4时成立,故正确结论应是充分不必要;D. “若,则,全为0”的逆否命题是“若,全不为0,则”
应该是若,不全为0,故错误,
所以综合可得选C
点睛:考查对命题的真假判定,此类题型逐一对答案进行排除即可,但注意思考的全面性不可以掉以轻心,属于易错题.
6.已知,是两个不同的平面,,是异面直线且,则下列条件能推出的是( )
A. , B. , C. , D. ,
【答案】D
【解析】分析:根据线面垂直的判定定理求解即可.
详解:A. ,,此时,两平面可以平行,故错误;B. ,,此时,两平面可以平行,故错误;C. ,,此时,两平面仍可以平行,故错误,故综合的选D.
点睛:考查线面垂直的判定,对答案对角度,多立体的想象摆放图形是解题关键,属于中档题.
7.曲线在处的切线与直线垂直,则( )
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
【答案】B
【解析】分析:先求导,然后根据切线斜率的求法得出切线斜率表达式,再结合斜率垂直关系列等式求解即可.
详解:由题可知:切线的斜率为:由切线与直线垂直,故,故选B.
点睛:考查切线斜率的求法,直线垂直关系的应用,正确求导是解题关键,注意此题导数求解时是复合函数求导,属于中档题.
8.执行如图所示程序框图,输出的的值为( )
A. B. C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】分析:根据判断框的条件确定退出循环体的k值,再根据框图的流程确定算法的功能,利用约分消项法求解.
详解:由题可知:
此时输出S=
故选B.
点睛:本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能以及对对数公式的准确运用是关键.属于基础题.
9.设,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:先对a,b,c,进行化简,然后进行比较即可.
详解:,又
故,
故选D.
点睛:考查对指数幂的化简运算,定积分计算,比较大小则通常进行估算值的大小,属于中档题.
10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】分析:作出三视图的直观图,然后根据组合体计算体积即可.
详解:如图所示:由一个三棱柱截取G-DEF三棱锥后所剩下的图形,故该几何体的体积为:,故答案为
选D.
点睛:考查三视图还原为直观图后求解体积的计算,对直观图的准确还原是解题关键,属于中档题.
11.为得到函数的图象,只需将函数图象上所有的点( )
A. 横坐标缩短到原来的倍
B. 横坐标伸长到原来的倍
C. 横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位
D. 横坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位
【答案】A
【解析】分析:先将三角函数化为同名函数然后根据三角函数伸缩规则即可.
详解:由题可得:,故只需横坐标缩短到原来的倍即可得,故选A.
点睛:考查三角函数的诱导公式,伸缩变换,对公式的正确运用是解题关键,属于中档题.
12.过抛物线:的焦点作两条互相垂直的直线,,直线交于,两点,直线交于,两点,若四边形面积的最小值为64,则的值为( )
A. B. 4 C. D. 8
【答案】A
【解析】分析:
详解:设直线的倾斜角为α,则
当=1时S最小,故
故选A.
点睛:考查直线与抛物线的关系,将问题巧妙地转化为三角函数求最值问题时解题关键,属于中档题.
二、填空题
13.的展开式中,的系数是__________.(用数字填写答案)
【答案】28
【解析】分析:由题意知本题要求二项式定理展开式的一个项的系数,先写出二项式的通项,使得变量x的指数等于5,解出r的值,把r的值代入通项得到这一项的系数.
详解:
要求x5的系数,
∴8-=5,
∴r=2,
∴x5的系数是(-1)2C82=28,
故答案为:28
点睛:本题是一个典型的二项式问题,主要考查二项式的通项,注意二项式系数和项的系数之间的关系,这是容易出错的地方,本题考查展开式的通项式,这是解题的关键.
14.已知双曲线的焦距为,则其离心率为__________.
【答案】
【解析】分析:已知双曲线的焦距为,故c=,然后根据焦点位置的不同由建立等式关系即可得出m,再求离心率即可.
详解:由题可知:当m<2时,焦点在x轴上,,此时或者当m>3时,焦点在y轴,,此时,故综合得离心率为
点睛:考查双曲线基本性质和标准方程,属于基础题.
15.在区间上随机取一个数,若使直线与圆有交点的概率为,则__________.
【答案】
【解析】分析:先根据直线与圆相交的关系得出不等式得b的取值范围,然后由概率为建立等式求解即可.
详解:圆心到直线的距离:
故答案为
点睛:考查直线与圆的位置关系,然后再结合几何概型求解即可.属于中档题.
16.用五种不同的颜色给图中、、、、、六个区域涂色,要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且颜色齐全,则共有涂色方法__________种.
【答案】960
【解析】分析:先分析出同色区域的情况,然后其他颜色任意排即可.
详解:同色的区域可以为AC,AE,AF,BD,BF,CD,CE,DF,共8种,故共有涂色方法8种.故答案为960.
点睛:考查排列组合的简单应用,认真审题,分析清楚情况是解题关键,属于中档题.
三、解答题
17.已知,,分别是内角,,的对边,,.
(1)求的值;
(2)若的面积为,求的值.
【答案】(1);(2)4.
【解析】分析:先根据,求得sinA的值,再结合正弦定理求解即可;(2)先由cosA的余弦定理可得c,b的关系,然后根据三角形面积公式即可求得c.
详解:
(1)由得,
由及正弦定理可得.
(2)根据余弦定理可得,
代入得,整理得,即,解得,∴,解得.
点睛:考查正余弦定理解三角形的应用,三角形面积公式,对定理公式的灵活运用是解题关键,属于基础题.
18.已知数列的前项和.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设, ,求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由数列中与间关系可求得的通项公式;(Ⅱ)对化简后,可知对数列使用裂项法求.
试题解析:(Ⅰ)当时,由得;
当时,由得,
∴是首项为,公比为的等比数列,∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: ,∴,
∴,
∴.
19.如图,四棱锥中,为正三角形,为正方形,平面平面,、分别为、中点.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】分析:(1)要证线面平行,只需在面内找一线与已知线平行即可,连接,根据中位线即可得即可求证;(2)求线面角则可直接建立空间直角坐标系,写出线向量和面的法向量,然后根据向量夹角公式求解即可.
详解:
(1)连接,
∵是正方形,是的中点,∴是的中点,
∵是的中点,∴,
∵平面,平面,∴平面.
(2)建立如图所示空间直角坐标系,设,
则,,,,
,,,
设平面的法向量,则,
取得,
设与平面所成角为,
则.
点睛:考查立体几何的线面平行证明,线面角的求法,对定理的熟悉和常规方法要做到熟练是解题关键.属于中档题.
20.某企业有、两个岗位招聘大学毕业生,其中第一天收到这两个岗位投简历的大学生人数如下表:
岗位
岗位
总计
女生
12
8
20
男生
24
56
80
总计
36
64
100
(1)根据以上数据判断是有的把握认为招聘的、两个岗位与性别有关?
(2)从投简历的女生中随机抽取两人,记其中投岗位的人数为,求的分布列和数学期望.
参考公式:,其中.
参考数据:
0.050
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
【答案】(1)有的把握认为招聘的、两个岗位与性别有关.(2)见解析.
【解析】分析:(1)根据所给公式直接计算求解作答即可;(2)先分析此分布为超几何分布,然后确定X的取值可能,根据超几分布求解概率写分布列即可.
详解:
(1),
故有的把握认为招聘的、两个岗位与性别有关.
(2)的可能取值为0,1,2,
,,.
∴的分布列为
0
1
2
.
点睛:考查独立性检验和离散型随机变量分分布列,属于基础题.
21.已知椭圆:的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线交于、两点,为坐标原点,求面积的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】分析:(1)由离心率和过点建立等式方程组求解即可;(2)根据弦长公式可求得AB的长作为三角形的底边,然后由点到直线的距离求得高即可表示三角形的面积表达式,然后根据基本不等式求解最值即可.
详解:
(1)由已知可得,且,解得,,
∴椭圆的方程为.
(2)设,,将代入方程整理得,
,∴,
∴,,,
,,
,当且仅当时取等号,
∴面积的最大值为.
点睛:考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,弦长,点到直线的距离的应用,对常用公式的熟悉是解题关键,属于中档题.
22.设函数.
(1)若在其定义域上是增函数,求实数的取值范围;
(2)当时,在上存在两个零点,求的最大值.
【答案】(1);(2)-2.
【解析】分析:(1)由在其定义域上是增函数,∴恒成立,转化为最值问题,然后进行分离参数求解新函数的单调性研究最值即可.(2)当时,,得出函数的单调性和极值,然后根据在上存在两个零点,列出等价不等式求解即可.
详解:
(1)∵定义域为,,
∵在其定义域上是增函数,∴,,
∵,∴实数的取值范围是.
(2)当时,,
由得,由得,
∴在处取得极大值,在处取得极小值,
∴是一个零点,当,,故只需且,
∵,,∴的最大值为-2.
点睛:考查导函数的单调性的应用以及零点问题,对于此类题型求参数的取值范围,优先要想到能否参变分离,然后研究最值即可,二对于零点问题则需研究函数图像和x轴交点的问题,数形结合解此类题是关键,属于较难题.