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- 2021-07-01 发布
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2017-2018学年河北省邯郸市鸡泽、曲周、邱县、馆陶四县高二下学期期末联考数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:由题意先解出集合A,进而得到结果。
详解:由集合A得,
所以
故答案选C.
点睛:本题主要考查交集的运算,属于基础题。
2.复数的实部为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析:先化简复数z,再求复数z的实部.
详解:原式=,所以复数的实部为.
故答案为:A.
点睛:(1)本题主要考查复数的除法运算和实部虚部概念,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b,不是bi.
3.的展开式中的系数为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:先求出二项式展开式的通项,再令x的指数为4得到r的值,即得
的展开式中的系数.
详解:由题得二项展开式的通项为,
令10-3r=4,所以r=2,所以的展开式中的系数为.
故答案为:D.
点睛:(1)本题主要考查二项式展开式中某项的系数的求法,意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)的展开式中的系数为,不是,要把二项式系数和某一项的系数两个不同的概念区分开.
4.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:由三视图得出该几何体是一个以正视图为底面的三棱柱,结合图中数据求出三棱柱的表面积.
详解:由几何体的三视图可得:
该几何体是一个以正视图为底面的三棱柱,
底面面积为:×2×1=1,
底面周长为:2+2×=2+2,
故直三棱柱的表面积为S=2×1+2×(2+2)=6+4.
故答案为:D.
点睛:(1)本题主要考查三视图还原原图和几何体表面积的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)
由三视图还原原图常用的方法有直接法和模型法,本题利用的是直接法.
5.若实数满足条件,则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:作出约束条件的平面区域,易知z=的几何意义是点A(x,y)与点D(﹣1,0)连线的直线的斜率,从而解得.
详解:由题意作实数x,y满足条件的平面区域如下,
z=的几何意义是点P(x,y)与点D(﹣1,0),连线的直线的斜率,由,解得A(1,1)
故当P在A时,z=有最小值,
z==.
故答案为:B.
点睛:(1)本题主要考查线性规划和斜率的应用,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)表示两点所在直线的斜率.
6.在等比数列中,,公比为,前项和为,若数列也是等比数列,则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意,得,因为数列也是等比数列,所以,即,解得;故选C.
点睛:本题若直接套用等比数列的求和公式进行求解,一是计算量较大,二是往往忽视“”的特殊情况,而采用数列的前三项进行求解,大大降低了计算量,也节省的时间,这是处理选择题或填空题常用的方法.
7.直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:求出A(﹣3,0),B(0,﹣3),|AB|=,设P(1+,),点P到直线x+y+2=0的距离:d=,∈,由此能求出△ABP面积的取值范围.
详解:∵直线x+y+3=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,
∴令x=0,得y=﹣3,令y=0,得x=﹣3,
∴A(﹣3,0),B(0,﹣3),|AB|=,
∵点P在圆(x﹣1)2+y2=2上,∴设P(1+,),
∴点P到直线x+y+3=0的距离:
d=,
∵sin∈[﹣1,1],∴d=,
∴△ABP面积的最小值为
△ABP面积的最大值为
故答案为:B.
点睛:(1)本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积,考查圆的参数方程和三角恒等变换,考查三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P(1+,),利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.
8.函数的部分图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析:首先判断出函数为奇函数,再根据零点的个数判断,问题得以解决.
详解:∵f(﹣x)=sin(﹣x)•ln(x2+1)=﹣(sinx•ln(x2+1))=﹣f(x),
∴函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,
∵sinx存在多个零点,
∴f(x)存在多个零点,
故f(x)的图象应为含有多个零点的奇函数图象.
故答案为:B.
点睛:(1)本题主要考查函数的奇偶性和零点,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)根据解析式找图像常用的方法是先找差异再验证.
9.抛物线的焦点为,点,为抛物线上一点,且不在直线上,则周长的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:求△MAF周长的最小值,即求|MA|+|MF|的最小值.设点M在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义,可知|MF|=|MD|,因此问题转化为求|MA|+|MD|的最小值,根据平面几何知识,当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小,由此即可求出|MA|+|MF|的最小值.
详解:求△MAF周长的最小值,即求|MA|+|MF|的最小值,设点M在准线上的射影为D,
根据抛物线的定义,可知|MF|=|MD|,
因此,|MA|+|MF|的最小值,即|MA|+|MD|的最小值.
根据平面几何知识,可得当D,M,A三点共线时|MA|+|MD|最小,
因此最小值为xA﹣(﹣1)=5+1=6,
∵|AF|==5,
∴△MAF周长的最小值为11,
故答案为:C.
点睛:(1)本题主要考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化推理的能力.(2)判断当D,M,A三点共线时|MA|+|MD|最小,是解题的关键.
10.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高和底面边长均为,则该球的体积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析:设球的半径为R,再根据图形找到关于R的方程,解方程即得R的值,再求该球的体积.
详解:设球的半径为R,由题得
所以球的体积为.
故答案为:A.
点睛:(1)本题主要考查球的内接几何体问题和球的体积的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)解题的关键是从图形中找到方程.
11.在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值.
详解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,
∴A(1,0,0),D1(0,0,2),D(0,0,0),
B1(1,1,2),
=(﹣1,0,2),=(1,1,2),
设异面直线AD1与DB1所成角为θ,
则cosθ=
∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
故答案为:A.
点睛:(1)本题主要考查异面直线所成的角的向量求法,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化能力.(2) 异面直线所成的角的常见求法有两种,方法一:(几何法)找作(平移法、补形法)证(定义)指求(解三角形);方法二:(向量法),其中是异面直线所成的角,分别是直线的方向向量.
12.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:先根据已知求出函数的周期为4,再求出的值,最后求的值.
详解:由题得
所以函数f(x)的周期为4,
因为
所以,
因为2018=4×504+2,
所以=f(1)+f(2)=4+0=4.
故答案为:D.
点睛:(1)本题主要考查函数的奇偶性和周期性,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键在求得函数的周期,.
.
二、填空题
13.曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】.
【解析】分析:先求导求切线的斜率,再写切线方程.
详解:由题得,
所以切线方程为
故答案为:.
点睛:(1)本题主要考查求导和导数的几何意义,考查求切线方程,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是
14.已知向量,,.若,则__________.
【答案】.
【解析】分析:先计算出,再利用向量平行的坐标表示求的值.
详解:由题得,
因为,所以(-1)×(-3)-4=0,所以=.
故答案为:.
点睛:(1)本题主要考查向量的运算和平行向量的坐标表示,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 设=,=,则|| .
15.学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或作品获得一等奖”
乙说:“作品获得一等奖”
丙说:“两项作品未获得一等奖”
丁说:“是作品获得一等奖”
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是___________.
【答案】B.
【解析】分析: 根据题意,依次假设参赛的作品为A、B、C、D,判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性,即可判断.
详解: 根据题意,A,B,C,D作品进行评奖,只评一项一等奖,
假设参赛的作品A为一等奖,则甲、乙、丙、丁的说法都错误,不符合题意;
假设参赛的作品B为一等奖,则甲、丁的说法都错误,乙、丙的说法正确,符合题意;
假设参赛的作品C为一等奖,则乙的说法都错误,甲、丙、丁的说法正确,不符合题意;
假设参赛的作品D为一等奖,则乙、丙、丁的说法都错误,甲的说法正确,不符合题意;
故获得参赛的作品B为一等奖;
故答案为:B.
点睛: (1)本题主要考查推理证明,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种题目,一般利用假设验证法.
16.如图在中,,,点是外一点,,则平面四边形面积的最大值是___________.
【答案】.
【解析】分析:利用余弦定理,设,设AC=BC=m,则.由余弦定理把m表示出来,利用四边形OACB面积为S=.转化为三角形函数问题求解最值.
详解:△ABC为等腰直角三角形.∵OA=2OB=4,
不妨设AC=BC=m,则.由余弦定理,42+22﹣2m2=16,
∴.
.
当时取到最大值.
故答案为:.
点睛:(1)本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法,考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设,再建立三角函数的模型.
三、解答题
17.记为等差数列的前项和,已知,.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)求,并求的最小值.
【答案】(1) .
(2) ;-16.
【解析】分析:(Ⅰ)根据已知求出公差d,再写出的通项公式.( Ⅱ)利用等差数列的前n项和公式求,并求的最小值.
详解:(I)设的公差为d,由题意得.
由得d=2.
所以的通项公式为.
(II)由(I)得.
所以当n=4时,取得最小值,最小值为−16.
点睛:本题主要考查等差数列通项的求法和的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平,属于基础题.
18.在如图所示的六面体中,面是边长为的正方形,面是直角梯形,,,.
(Ⅰ)求证://平面;
(Ⅱ)若二面角为,求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析.
(2) .
【解析】试题分析:(1)连接相交于点,取的中点为,连接,易证四边形是平行四边形,从而可得结论;(2)以为坐标原点,为轴、为轴、为
轴建立空间直角坐标系.则,计算法向量,根据公式即可求出.
试题解析:
(1):连接相交于点,取的中点为,连接.
是正方形,是的中点,,
又因为,所以且,
所以四边形是平行四边形,
,又因为平面平面
平面
(2)是正方形,是直角梯形,,
,平面,同理可得平面.
又平面,所以平面平面,
又因为二面角为60°,
所以,由余弦定理得,
所以,因为半面,
,所以平面,
以为坐标原点,为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.
则,
所以,
设平面的一个法向量为,
则即令,则,
所以
设直线和平面所成角为,
则
19.为迎接月日的“全民健身日”,某大学学生会从全体男生中随机抽取名男生参加米中长跑测试,经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎,小数点的后一位数字为叶),如图,若跑步时间不高于秒,则称为“好体能”.
(Ⅰ) 写出这组数据的众数和中位数;
(Ⅱ)要从这 人中随机选取人,求至少有人是“好体能”的概率;
(Ⅲ)以这 人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据,若从该校男生(人数众多)任取人,记表示抽到“好体能”学生的人数,求的分布列及数学期望.
【答案】(1) 这组数据的众数和中位数分别是.
(2) .
(3)分布列见解析;.
【解析】分析:(Ⅰ)利用众数和中位数的定义写出这组数据的众数和中位数. (Ⅱ)利用古典概型求至少有人是“好体能”的概率. (Ⅲ)利用二项分布求的分布列及数学期望.
详解:(I)这组数据的众数和中位数分别是;
(II)设求至少有人是“好体能”的事件为A,则事件A包含得基本事件个数为;
总的基本事件个数为,
(Ⅲ) 的可能取值为
由于该校男生人数众多,故近似服从二项分布
,,,
的分布列为
故的数学期望
点睛:(1)本题主要考查众数和中位数,考查古典概型的计算,考查分布列和期望的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 若~则 .
20.设椭圆 的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线与椭圆交于两点,与直线交于点M,且点P,M均在第四象限.若的面积是面积的2倍,求k的值.
【答案】(1) .
(2).
【解析】分析:(I)由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为.
(II)设点P的坐标为,点M的坐标为 ,由题意可得.
易知直线的方程为,由方程组可得.由方程组可得.结合,可得,或.经检验的值为.
详解:(I)设椭圆的焦距为2c,由已知得,又由,可得.由,从而.
所以,椭圆的方程为.
(II)设点P的坐标为,点M的坐标为,由题意,,
点的坐标为.由的面积是面积的2倍,可得,
从而,即.
易知直线的方程为,由方程组消去y,可得.由方程组消去,可得.由,可得,两边平方,整理得,解得,或.
当时,,不合题意,舍去;当时,,,符合题意.
所以,的值为.
点睛:解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:
(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.
21.已知函数.
(Ⅰ)求函数的最大值;
(Ⅱ)已知,求证.
【答案】(1) .
(2)证明见解析.
【解析】分析:(Ⅰ)先求导,再利用导数求函数的单调区间,再求函数的最大值. (Ⅱ)利用分析法证明,先转化成证明再构造函数,再求证函数.
详解:(I)因为,
所以
当时;当时,
则在单调递增,在单调递减.
所以的最大值为.
(II)由得,,
则,又因为,有,
构造函数
则,
当时,,可得在单调递增,
有,
所以有.
点睛:(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值,考查利用导数证明不等式,意
在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键有两点,其一是
先转化成证明其二构造函数,再求证函数
.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线: (为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆的极坐标方程为.
(Ⅰ) 求圆心的极坐标;
(Ⅱ)设点的直角坐标为,直线与圆的交点为,求的值.
【答案】(1) .
(2)1.
【解析】分析:(I)先把圆的极坐标方程化成直角坐标方程,再写出圆心的直角坐标,再化成极坐标. (Ⅱ)利用直线参数方程t的几何意义解答.
详解:(I)由题意可知圆的直角坐标系方程为,所以圆心坐标为(1,1),
所以圆心的极坐标为.
(II)因为圆的直角坐标系方程为,直线方程为,
得到所以.
点睛:(1)本题主要考查极坐标和直角坐标的互化,考查直线参数方程t的几何意义,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 过定点、倾斜角为的直线的参数方程(为参数).当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,.
23.选修4-5:不等式选讲
已知关于的不等式
(Ⅰ)当a=8时,求不等式解集;
(Ⅱ)若不等式有解,求a的范围.
【答案】(1).
(2).
【解析】分析:(Ⅰ)利用零点分类讨论法解不等式. (Ⅱ)转化为,再求分段函数的最小值得解.
详解:(I)当a=8时,则
所以
即不等式解集为.
(II)令,由题意可知;
又因为
所以,即.
点睛:(1)本题主要考查零点讨论法解不等式,考查不等式的有解问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论思想方法. (2)第2问可以转化为,注意是最小值,不是最大值,要理解清楚,这里是有解问题,不是恒成立问题.