2017-2018学年福建省闽侯县第八中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版 13页

福建省闽侯第八中学2017-2018学年高二上学期期末考试试题 数学（文）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据抛物线中准线的定义得到准线方程是.‎ 故答案为：D。‎ ‎2. 抛物线的准线方程为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为抛物线的准线方程为，即.故选D.‎ ‎3. 已知椭圆的离心率为，则等于（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，即该椭圆的焦点在轴上，又该椭圆的离心率为，则，解得；故选B.‎ 点睛：本题考查椭圆的标准方程和离心率公式；在处理椭圆或双曲线的几何性质时，要先通过椭圆或双曲线的标准方程判定出方程是哪种标准方程，焦点在哪一条对称轴上，如本题中要先根据分母的大小关系判定椭圆的焦点在轴上，进而求出相关几何量.‎ ‎4. 命题：若，则；命题，下列命题为真命题的是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，即命题为假命题，因为恒成立，即命题为假命题，则、、为假命题，为真命题；故选D.‎ ‎5. 若两条平行线，与之间的距离为，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】两条平行线，与，有：，‎ 得：平行线，与 平行线距离为：,解得或-9（舍）‎ 则.‎ 故选A.‎ ‎6. 已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线上一点，且，则等于（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由,可得⊥，‎ 双曲线的，‎ 左、右焦点分别为(−3,0),(3,0)，‎ 令x=3,,解得，‎ 即有，‎ 由双曲线的定义可得.‎ 故选：A.‎ ‎7. 下列说法中正确的个数是（ ）.‎ ‎①是的必要不充分条件；‎ ‎②命题“如果，则”的逆命题是假命题；‎ ‎③命题“若，则”的否命题是“若，则”.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①，由，解得或，所以是的充分不必要条件，①不正确；‎ 对于②，命题“如果，则”的逆命题是：“如果，则”，由于可得或，所以逆命题不正确，②正确；‎ 对于③，命题“若，则”的否命题是“若，则”正确，‎ 综上正确的只有②③.‎ 故选C.‎ ‎8. 过抛物线焦点的一条直线与抛物线交点（在轴上方），且，为 抛物线的准线，点在上且，则到的距离为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】过抛物线焦点的一条直线与抛物线交点（在轴上方），‎ 设，由，得，所以，即有轴，‎ 为抛物线的准线，所以，由，得，‎ 在中，，所以到的距离为.‎ 故选A.‎ ‎9. 在中，内角的对边分别是，若，，则等于（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴由正弦定理，得，得c=2a ‎∵由余弦定理，得，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴.‎ 因此，，解之得 故选C.‎ ‎10. 已知是直线，是平面，给出下列命题：‎ ‎①若，则或.‎ ‎②若，则.‎ ‎③若，则.‎ ‎④若且，则且.‎ 其中正确的命题是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n和α和β两个平面之间有相交，在面上，故①不正确，‎ 若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n.这是两个平面平行的性质定理，故②正确。‎ 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，缺少两条直线相交的条件，故③不正确，‎ 若α∩β=m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β，④正确，‎ 故选C.‎ ‎11. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎（当且仅当，即时取等号），即的最小值为25；故选C.‎ 点睛：本题考查对数型函数恒过定点问题、基本不等式求最值；处理指数型函数或对数型函数的图象过定点问题，往往有三种思路：‎ ‎（1）利用图象平移，如本题中的函数可由函数（恒过点）的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到，所以定点为；‎ ‎（2）利用整体代换，将化成，令，则过定点，进而可以求解；‎ ‎（3）代值法（如本题解析）.‎ ‎12. 已知圆和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由圆的方程可知,圆心C(−3,0),半径等于10,设点M的坐标为(x,y)，‎ ‎∵BP的垂直平分线交于点M，‎ ‎∴|MB|=|MP|.又|MP|+|MC|=半径10，∴|MC|+|MB|=10>|BC|.依据椭圆的定义可得，‎ 点M的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a=10，c=3，∴b=4，‎ 故椭圆方程为，‎ 故选B.‎ 点睛：求轨迹方程的常用方法：‎ ‎（1）直接法：直接利用条件建立， 之间的关系；‎ ‎（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；‎ ‎（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；‎ ‎（4）代入(相关点)法：动点依赖于另一动点 的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知命题：，使，则是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎.....................‎ 故答案为：。‎ ‎14. 某船在处测得灯塔在其南偏东方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到处，测得灯塔在其北偏东方向上，然后该船向东偏南方向行驶2海里到处，此时船到灯塔的距离为__________海里.（用根式表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意作出图象，如图所示：‎ 由题意知：，所以△ABD为等边三角形，所以BD=AB=5，‎ 由题意知∠DBC=，由余弦定理可得：.‎ 解得.‎ 故答案为：.‎ ‎15. 若实数成等差数列，成等比数列，则=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】实数成等差数列，则，‎ 成等比数列，则.‎ 由成等比得：，所以，所以.‎ 则.‎ 故答案为：.‎ ‎16. 斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】斜率是1的直线L:y=x+b代入,化简得，‎ 设,则，且，解得.‎ ‎，‎ ‎∴b=0时,|AB|的最大值为，‎ 故答案为:.‎ 点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知圆内有一点，过点作直线交圆于两点.‎ ‎（1）当经过圆心时，求直线的方程；‎ ‎（2）当直线的倾斜角为时，求弦的长.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（I）借助题设条件运用直线的点斜式方程求解；（II）借助题设运用圆心距与半径弦长之间的公式求解.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）已知圆的圆心为，‎ 因直线过点，所以直线的斜率为，‎ 直线的方程为,即 ‎（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，斜率为，直线的方程为,‎ 即 圆心到直线的距离为，‎ 又圆的半径为，弦的长为.‎ 考点：直线与圆的方程及弦心距与半径的关系等有关知识的综合运用．‎ ‎18. 在中，角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用诱导公式及正弦定理化简得，由两角和的正弦公式得，因为，所以，进而得解；‎ ‎（2）在中，由余弦定理得：，将条件代入可得，利用求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）在中，，‎ 即 由正弦定理得，‎ ‎.‎ ‎，即.‎ 又因为在中，，所以，即 所以 ‎（2）在中，由余弦定理得：，所以 解得或（舍去），‎ 所以.‎ ‎19. 2017年，在国家创新驱动战略的引领下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以到厘米或毫米级。最近北斗三号工程耗资9万元建成一小型设备，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第天的维修保养费为元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱?‎ ‎【答案】一共使用了天，平均每天耗资元 ‎【解析】试题分析：根据题意建立合适的函数模型表达式，再利用基本不等式进行求解.‎ 试题解析：设一共使用了天，平均每天耗资为元，则 当且仅当时，即时，取得最小值，‎ 所以一共使用600天，平均每天耗资。‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）对任意的，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导得，由得切线斜率，由点斜式求直线方程即可；‎ ‎（2）由条件得，设，利用导数求单调性进而得最值，只需即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1）‎ 函数在处的切线的斜率为 又因为，即切点坐标为，所以切线方程为 即 ‎（2），即，‎ ‎.‎ 设，则 ‎，即，解得或，‎ 当时，，时，，时，，‎ 即的增区间为和，减区间为，‎ 所以当时，函数有最小值，‎ 即.‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎21. 已知数列满足时，，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）整理条件可得，由，‎ ‎，由等差数列通项公式求解即可；‎ ‎（2）利用错位相减求和即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1），整理化简可得：，，又因为，所以，‎ ‎，即，所以是公差为1首项为2的等差数列 ‎.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ ‎.‎ 两式相减得.‎ 所以.‎ ‎22. 已知函数,‎ ‎（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；‎ ‎（2）若，且曲线与总存在公共的切线，求正数的最小值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据可求得．（2）根据导数的几何意义可求得函数在点处的切线方程为，由得，由两曲线总存在公切线可得有解，即关于的方程有解，分离参数后转化为函数的最值问题求解即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1)∵，‎ ‎∴．‎ 依据题意得，即，解得．‎ ‎∴.‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∴ ，‎ 设切点为，则，‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为：，‎ 即．‎ 由消去y得，‎ ‎∵总存在公切线，‎ ‎∴总有解，‎ 即关于的方程总有解.‎ ‎∵,‎ ‎∴,解得，‎ ‎∴方程总有解．‎ 令，‎ 则，‎ 则当时，，单调递减；当时，，单调递增．‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴正数的最小值故. ‎ 点睛：‎ ‎（1）对于一些复杂的问题，解题时要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究的问题来处理．‎ ‎（2）求解不等式能成立（方程有解）问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域（或最值）的问题．注意以下结论：①有解等价于的范围即为函数的值域；②有解等价于；③有解等价于．‎ ‎ ‎ ‎ ‎