2017-2018学年湖北省沙市中学高二下学期第二次半月考数学（理）试题 解析版 15页

‎2017-2018学年湖北省沙市中学高二下学期第二次半月考理数试卷 考试时间：2018年3月29日 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2. 为了适应新高考改革，尽快推行不分文理教学，对比学生考试情况，采用分层抽样的方法从文科生900人，理科生1800人，教师人中抽取150人进行问卷分析，已知文科生抽取的人数为45人，那么教师被抽取的人数为（ ）‎ A. 12人 B. 15人 C. 21人 D. 24人 ‎3. 若，，，若，则（ ）‎ A. 0.3174 B. 0.1587 C. 0.0456 D. 0.0228‎ ‎4. 已知双曲线的焦距是虚轴长的3倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 若圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6. 如今，微信已成为人们的一种生活方式，某互联网公司借助手机微信平台推广自己的产品，对某年前5个月的微信推广费用与利润（单位：百万）进行初步统计，得到下列表格中的数据，其中有一个数据已模糊不清，根据收集到的数据，月微信推广费用与月利润额满足线性回归方程为，则你能推断出模糊数据的值为（ ）‎ 广告费用（百万）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 利润额（百万）‎ ‎62‎ ‎·‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ A. 68.3 B. 68.2 C. 68.1 D. 68‎ ‎7. 一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个黄球，一个蓝球”，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知是离散型随机变量，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 2017年，北京召开“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行互动提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）‎ A. 198 B. 268 C. 306 D. 378‎ ‎10. 《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 若双曲线 上存在一点P满足以为边长的正方形的面积等于（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. ‎ 若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232,114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第24个“单重数”是（ ）‎ A. 166 B. 171 C. 181 D. 188‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中所有有理项共有__________项．‎ 第14题图 ‎14. 某中学调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，这400名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是__________人．‎ ‎15. 现有两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分.队中每人答对的概率均为，队中3人答对的概率分别为，且各答题人答题正确与否之间互无影响，若事件表示”队得2分“，事件表示”队得1分“，则__________．‎ ‎16. 如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线 及所围成的阴影部分的面积 ‎①先产生两组的增均匀随机数，；‎ ‎②产生个点，并统计满足条件的点的个数，已知 某同学用计算器做模拟试验结果，当时，，则据此可估计的值为__________．（保留小数点后三位）‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 已知向量，.‎ ‎（1）若分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6），先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率；‎ ‎（2）若在连续区间上取值，求满足的概率.‎ ‎18. 已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.‎ ‎（1）求展开式中的系数；（2）求的值.‎ ‎19. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：‎ 售出水量x（单位：箱）‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ 收益y（单位：元）‎ ‎165‎ ‎142‎ ‎148‎ ‎125‎ ‎150‎ ‎(Ⅰ) 若x与y成线性相关，则某天售出8箱水时，预计收益为多少元？‎ ‎(Ⅱ) 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学 金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.‎ ‎⑴在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；‎ ‎⑵已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望。‎ 附： ， 。‎ ‎20. 为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如图所示：‎ ‎（1）计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数；‎ ‎（2）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行问卷调查，记问卷分数不低于80分的人数为，求的分布列与期望.‎ ‎21.如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥FB （Ⅱ）求二面角E﹣FB﹣C的大小．‎ ‎22. 如图，已知直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点， 为中点， 的斜率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆的动弦，且其斜率为1，问椭圆上是否存在定点，使得直线的斜率满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定是，，故选D.‎ ‎2. 为了适应新高考改革，尽快推行不分文理教学，对比学生考试情况，采用分层抽样的方法从文科生900人，理科生1800人，教师人中抽取150人进行问卷分析，已知文科生抽取的人数为45人，那么教师被抽取的人数为（ ）‎ A. 12人 B. 15人 C. 21人 D. 24人 ‎【答案】B ‎【解析】根据分层抽样的定义可得， ，可得 ，设教师抽取 个人，则 ，教师被抽取的人数为，故选B.‎ ‎3. 若，，，若，则（ ）‎ A. 0.3174 B. 0.1587 C. 0.0456 D. 0.0228‎ ‎【答案】D ‎4. 已知双曲线的焦距是虚轴长的3倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，渐近线方程为，即，故选A.‎ ‎5. 6. 如今，微信已成为人们的一种生活方式，某互联网公司借助手机微信平台推广自己的产品，对某年前5个月的微信推广费用与利润（单位：百万）进行初步统计，得到下列表格中的数据，其中有一个数据已模糊不清，根据收集到的数据，月微信推广费用与月利润额满足线性回归方程为，则你能推断出模糊数据的值为（ ）‎ 广告费用（百万）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 利润额（百万）‎ ‎62‎ ‎·‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ A. 68.3 B. 68.2 C. 68.1 D. 68‎ ‎【答案】D ‎【解析】设表中模糊不清的数据为，由表中数据得：，由于回归直线方程为， 将代入回归直线方程，得，故选D.‎ ‎7. 一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个黄球，一个蓝球”，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ，故选C.‎ ‎8. 已知是离散型随机变量，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】是离散型随机变量，，，，由已知得，解得，，‎ ‎，故选B.‎ ‎9. 2017年，北京召开“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行互动提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）‎ A. 198 B. 268 C. 306 D. 378‎ ‎【答案】A ‎【解析】分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有 种不同提问方式；若选两个外国媒体一个国内媒体，有种不同提问方式，所以共有种提问方式，故选A. ‎ ‎10. 【答案】B ‎【解析】设水深为尺，则，解得，即水深12尺.又葭长13尺，则所求概率,‎ ‎11. 【答案】C ‎【解析】由条件， ，又P为双曲线上一点，从而，∴，∴，‎ 又∵，∴．‎ ‎12.若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232,114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第24个“单重数”是（ ）‎ A. 166 B. 171 C. 181 D. 188‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ 由题意，不超过，两个数字一样为，有个，两个数字一样为 ，，有个，两个数字一样为，有一个，同理两个数字一样为，各一个，综上所述，不超过的“单重数”个数是，其中最大的数是，较小的依次为 ，所以从小到大排列第 个“单重数”是 ，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题考查排列问题、新定义问题，属于难题.‎ 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“单重数”达到考查排列问题的目的.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中所有有理项共有__________项．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】展开式的通项为，前三项的系数分别为，二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，（负值舍去），由于，当时，的指数为整数，故展开式中的指数是整数的项的个数为，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎14. 某中学调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，这400名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是__________人．‎ ‎【答案】280‎ ‎【解析】由频率分布直方图得这名大学生中每周的自习时间不少于小时的频率为这名大学生中每周的自习时间不少于小时的人数为，故答案为.‎ ‎15. 现有两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分.队中每人答对的概率均为，队中3人答对的概率分别为，且各答题人答题正确与否之间互无影响，若事件表示”队得2分“，事件表示”队得1分“，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 “队总得分为分”为事件 ， 队总得分为分，即队三人有一人答错，其余两人答对，其概率，记“队得分”为事件 ，事件即为队三人人答错，其余一人答对，则，‎ 队得分队得一分，即事件同时发生，则，故答案为.‎ ‎16. 【答案】1.328‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 【答案】(1) ;(2) 概率为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）本小题考査的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件满足的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解；（2）本小题考査的知识点是几何概型的意义，关键是要画出满足条件的图形，结合图形分析，找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积.‎ 试题解析：（1）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时，所包含的基本事件总数为 个，由，有 的基本事件有 故其概率为.‎ ‎（2）若在连续区间上取值，则其全部基本事件的区域为，‎ 满足的基本事件的区域为 且，‎ 如图，所求的概率即为梯形的面积，‎ 满足的概率为 ‎18. 已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.‎ ‎（1）求展开式中的系数；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1)-18;(2) ;(3).‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中第项与第项的系数列出方程求出的值，然后利用通项中指数为可得结果；（2）第项系数的绝对值最大，则 ，可得.，代入通项即可的结果；（3）原式 .‎ 试题解析：（1）由∴通项，令 ‎.∴展开式中的系数为.‎ ‎（2）设第项系数的绝对值最大，则 ‎ 所以.∴系数绝对值最大的项为：‎ ‎（3）原式 ‎ ‎19. 【答案】（Ⅰ）186元；（Ⅱ）（1）；（2）分布列见解析，期望为600.‎ 试题解析：‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎…‎ 当  时， ‎ 即某天售出8箱水的预计收益是186元。‎ ‎ (Ⅱ) ⑴设事件 A 为“学生甲获得奖学金”，事件 B 为“学生甲获得一等奖学金”，‎ 则即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为 ‎ ‎⑵  X的取值可能为0，300，500，600，800，1000‎ ‎，，‎ ‎  ， ， ‎ 即  的分布列为：‎ ‎（元）‎ ‎20. 试题解析：（1）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众问卷得分的中位数是，‎ 乙地被抽取的观众问卷得分的平均数是.‎ ‎（2）记“从乙地抽取1人进行问卷调查不低于80分”为事件，则.‎ 随机变量的可能取值为，且，‎ 所以，‎ 所以变量的分布列为：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ p ‎.‎ ‎21. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，‎ ‎∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，‎ ‎∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC 由DC∩AD=D ∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC 又∵四边形ABCD为直角梯形，‎ AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4‎ ‎∴， ，则有AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC 由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB．‎ ‎（Ⅱ）解：由（I）知AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz…‎ 可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），‎ E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），‎ 由（Ⅰ）知平面FCB的法向量为 ‎∵， …‎ 设平面EFB的法向量为则有即 令则 设二面角E﹣FB﹣C的大小为θ，有图易知为锐角 所以二面角E﹣FB﹣C的大小为…‎ ‎22. ‎ 而，所以 又，所以， ，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）假设上存在定点满足题意，并设直线方程为，‎ ‎， ，联立，消得，则 ‎， ，‎ 由它与无关，只需，解得，或，‎ 而这两点恰好在椭圆上，从而假设成立，‎ 即在椭圆上存在点或满足题意.‎