数学文卷·2018届四川成都实验中学高三上学期12月月考（2017 13页

成都实验中学2015级高三上学期12月月考试题 数    学（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合A={x|1gx＜1}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∩B=（　B　）‎ A． （0，1）      B． （0，1]        C．         D． ∅‎ ‎2.复数满足，则（  B  ）‎ A．           B．           C．          D．‎ ‎3.设向量，，则等于（  A  ）‎ A.2              B.-2               C.-12             D.12‎ ‎4.已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为（  B  ）‎ A.             B.               C.               D.‎ ‎5.设等差数列的前项和为，若，则（ C  ）‎ A．9            B．15               C．18               D．36‎ ‎6.某工厂甲、乙、丙、丁四个车间生产了同一种产品共计2800件，现要用分层抽样的方法从中抽取140件进行质量检测，且甲、丙两个车间共抽取的产品数量为60，则乙、丁两车间生产的产品总共有（  D  ）‎ ‎  A.1000件        B.1200件            C.1400件          D.1600件 ‎7.已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（ B  ）‎ A．           B．               C.            D．‎ ‎8．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0则（　B　）‎ A．f（a）+f（b）≤0                B．f（a）+f（b）≥0   ‎ C．f（a）﹣f（b）≤0                D．f（a）﹣f（b）≥0‎ ‎ ‎ ‎9. 如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（  D  ）‎ A.24           B.12           C.4           D.6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10.中国古代数学有着很多令人惊叹的成就.北宋沈括在《梦澳笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术.隙积术意即:将木捅一层层堆放成坛状，最上一层长有个，宽有个，共计个木桶.每一层长宽各比上一层多一个，共堆放层，设最底层长有个，宽有个，则共计有木桶个.假设最上层有长宽共个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放层.则木桶的个数为（   B  ）‎ A．           B．           C.             D．‎ ‎11.已知双曲线，的两条渐进线均与圆：相切，则该双曲线离心率等于（ A  ）‎ A．           B．            C．               D．‎ ‎12.设函数的导数为，对任意都有成立，则（  C ）‎ A．         B．‎ C.          D．与的大小不确定 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎ ‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知三棱锥所有顶点都在球的表面上，且平面，若，，则球的表面积为          ．  13.‎ ‎14.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________.‎ ‎14.　[设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15.如上图，若时，则输出的结果为        .15,‎ ‎16．已知是奇函数，当时，则曲线在点处的切线方程是           . 16.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.‎ ‎(1)求Sn的表达式；‎ ‎(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎17.解　(1)∵S＝an，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，‎ ‎∴S＝(Sn－Sn－1)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①‎ 由题意得Sn－1·Sn≠0，‎ ‎①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，‎ ‎∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列.‎ ‎∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.‎ ‎(2)∵bn＝＝＝，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋b n ‎＝＝＝.‎ ‎18．（本小题满分12分） 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ ‎ ‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；‎ ‎(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；‎ ‎(3)求续保人本年度平均保费的估计值．‎ ‎18．解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(3)由所给数据得 ‎ ‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查的200名续保人的平均保费为 ‎0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.‎ 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.‎ ‎19.(本小题满分12分)在几何体ABCDE中，∠BAC＝，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC, AB＝AC＝2，且AE与平面ABC所成角为，CD＝1.‎ ‎(Ⅰ)设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，‎ 求证：l∥平面BCDE；‎ ‎(Ⅱ)设F是BC上的点，且DF⊥EF，求证：平面AFD⊥平面AFE；‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求三棱锥E－FDA的体积．‎ ‎19.【解析】(Ⅰ)∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，‎ ‎∴DC∥EB，又∵DC⊄平面ABE，EB⊂平面ABE，‎ ‎∴DC∥平面ABE，‎ l＝平面ABE∩平面ACD，则DC∥l，‎ 又l⊄平面BCDE，CD⊂平面BCDE，‎ 所以l∥平面BCDE. 5分 ‎(Ⅱ)设CF＝x，在△DEF中，因为FD⊥FE，所以DF2＋EF2＝DE2，‎ 即：1＋x2＋(2－x)2＋22＝(2)2＋1 得x＝，所以F为BC的中点．‎ 由DC⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，∴DC⊥AF，‎ 又∵AB＝AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，‎ 又∵DC∩BC＝C，DC⊂平面BCDE ，BC⊂平面BCDE，‎ ‎∴AF⊥平面BCDE，∴AF⊥FD，又∵AF∩FE＝F，∴FD⊥平面AFE，‎ 又FD⊂平面AFD，故平面AFD⊥平面AFE.9分 ‎(Ⅲ)VE－FDA＝VA－EFD＝·S△EFD·AF＝××××＝1.12分 ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.‎ ‎20.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。‎ 试题解析：（Ⅰ）依题意，不妨设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，‎ 令，解得，故，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎ ∴，‎ 解得。‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ 由题意设直线的方程为，‎ 由消去y整理得，‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎ ‎ 假设x轴上的定点为，‎ 则 ‎ ‎ ‎.‎ 要使其为定值，需满足，‎ 解得.‎ 故定点的坐标为.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数，且函数在和处都取得极值．‎ ‎（I）求实数与的值；‎ ‎（II）对任意，方程存在三个实数根，求实数c的取值范围．‎ ‎21.解：（1）由得，，所以.┅┅1分 则，设是的零点，可知也是的零点，‎ 不妨设的零点是，则有.┅┅┅┅┅2分 因为单调递增，设的零点为，有，‎ 则 ，┅┅┅┅┅┅┅3分 所以，故函数所有零点之和为0. ┅┅┅┅4分 ‎（2）解：，┅5分 ‎ 当时，因为，所以，在上单调递减，此时与不符，（舍）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 当时，令，‎ ‎  若即时，，，在上单调递增.‎ ‎   成立┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 ‎  若即时，设的零点为，‎ ‎  则，. 所以有.‎ ‎  则当时，，，在上单调递减，‎ ‎  与不符，（舍）. ┅┅┅┅┅11分 综上：实数的取值范围是.┅┅┅┅12分 ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系，曲线：（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．‎ ‎（Ⅰ）写出，的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）点，分别是曲线，上的动点，且点在轴的上侧，点在轴的左侧，与曲线相切，求当最小时，直线的极坐标方程．‎ ‎22.【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为；‎ 曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）连结，．‎ 因为与单位圆相切于点 ，所以．‎ 所以．‎ 因为 又因为点在轴的上侧，所以当且仅当点位于短轴上端点时最小．‎ 此时，在中，，所以，‎ 又因为点在轴的左侧，所以直线的斜率为．‎ 所以直线的直角坐标方程为．‎ 所以直线的极坐标方程为．‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1.‎ ‎(Ⅰ)若ab≤m恒成立，求m的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若 ＋≥|2x－1|－|x＋2|恒成立，求x的取值范围．‎ ‎23.【解析】(Ⅰ)∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，‎ ‎∴ab≤＝，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，‎ 由ab≤m恒成立，故m≥；5分 ‎(Ⅱ)∵a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，‎ ‎∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9，‎ 故＋≥|2x－1|－|x＋2|恒成立，‎ 则|2x－1|－|x＋2|≤9，8分 当x≤－2时，不等式化为1－2x＋x＋2≤9，解得－6≤x≤－2，‎ 当－2＜x＜，不等式化为1－2x－x－2≤9，解得－2＜x＜，‎ 当x≥时，不等式化为2x－1－x－2≤9，解得≤x≤12，‎ 综上所述x的取值范围为[－6，12].10分 ‎ ‎