2020年（新课标Ⅱ卷）高三最新信息卷 文科数学（五） 9页

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 绝密 ★ 启用前 ‎2020年高三最新信息卷 文 科 数 学（五）‎ 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设复数满足，其中是虚数单位，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量，，若，则向量与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率，利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“和”、“谐、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：‎ 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用，若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）‎ A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了 ‎6．设，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若，是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．函数，则下列表述正确的是（ ）‎ A．在单调递减 B．在单调递增 C．在单调递减 D．在单调递增 ‎9．抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，过且倾斜角为的直线交于，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若曲线在点处的切线过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．过双曲线左焦点的直线交的左支于，两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．一组样本数据，，，，，，，，的平均数为，中位数为，则 ‎ ．‎ ‎14．实数满足，则的最小值是 ．‎ ‎15．已知的三个内角的对应边分别为，且，则使得成立的实数的取值范围是 ．‎ ‎16．体积为的三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知数列的前项和满足，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，为前项和，求使成立的的最小值．‎ ‎18．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动．‎ ‎（1）为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如下表所示：‎ 感兴趣 无所谓 合计 男性 女性 合计 根据以上数据能否有的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关?‎ ‎（参考公式，其中）‎ ‎（2）在感兴趣的会员中随机抽取人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数（满分分），如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意”（分数不低于分）、“满意”（分数不低于平均分且低于分）、“基本满意”（分数低于平均分）三个级别．先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率．‎ ‎19．（12分）如图，在几何体中，四边形是菱形，，平面平面，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求三棱锥和三棱锥的体积．‎ ‎20．（12分）已知椭圆，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，是等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于，两点，为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若，求直线的方程．‎ ‎21．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，曲线（为参数），其中，在以为极点，‎ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与相交于点，两点，点，求．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 设函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，恒成立，求的取值范围．‎ 绝密 ★ 启用前 ‎2020年高三最新信息卷 文科数学（五）答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】由变形，得，解得或，‎ ‎∴或，‎ 又∵，∴．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】∵，∴．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】由题可知：，所以向量与的夹角为．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】随机模拟产生了以下组随机数：‎ 其中三次就停止摸球的随机数有，，，，共个，‎ 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】若甲被录用了，则甲的说法错误，乙、丙的说法正确，满足题意；‎ 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意；‎ 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，‎ 综上可得，甲被录用了．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】因为，，，‎ 所以．‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】若，因为垂直于平面，则或；‎ 若，又垂直于平面，则，‎ 所以“”是“”的必要不充分条件．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】由已知，，‎ 当时，，在此区间单调递增，故A错误；‎ 当时，，在此区间单调递减，故B错误；‎ 当时，，在此区间单调递增，故C错误；‎ 当时，，在此区间单调递增，故D正确．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】由抛物线可知焦点，‎ 由双曲线的上焦点坐标为，‎ 且抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，‎ 可得，得，得抛物线方程为，‎ 由题意得直线的方程为，设，，‎ 联立消化简得，‎ 则有，，‎ 所以弦长．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】设，则，‎ 当时，，所以，‎ 又，所以，‎ 即，所以，‎ 又，所以，‎ 所以，解得．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】∵，所以，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，∴，∴．‎ ‎12．【答案】D ‎【解析】如图，‎ 设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，‎ 因为，，故四边形为平行四边形，‎ 又，故平行四边形为矩形，故，‎ 又双曲线为中心对称图形，故，‎ 设，则，故，故，‎ 因为为直角三角形，故，解得，‎ 在中，有，所以．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】∵数据的平均数为，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，且数据的中位数为，‎ ‎∴，，∴，∴．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】如图，画出可行域，‎ 令，作出初始目标函数，‎ 由知，当直线在轴上的截距最大时，取得最小值，‎ 由图像可知，当直线过点时，目标函数取得最小值，‎ 联立，解得，，即，即．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】由三角形的面积公式可得，即，‎ 由余弦定理可得，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，由正弦定理可得，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴，∴，∴，‎ ‎∵，当且仅当时取等号，‎ ‎∴，∴，‎ 综上所述的取值范围为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】取的中点，连接，，‎ 由，‎ 设，∴，‎ 取的中点，连接，则，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得或，‎ 又，∴，即，∴，‎ 利用对称性可知外接球的球心在上或的延长线上，‎ 若球心在上，设，‎ ‎∴，即，此时无解，‎ 即球心在的延长线上，∴，解得，‎ 即球的半径，‎ ‎∴三棱锥外接球的表面积为．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由已知，‎ ‎∴数列为等差数列，且，，‎ ‎∴，即，‎ 当时，，‎ 又也满足上式，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴，‎ 由，有，有，所以，‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎18．【答案】（1）没有的把握认为；（2）．‎ ‎【解析】（1）由列联表可得：‎ ‎，‎ 所以没有的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关．‎ ‎（2）由茎叶图可知，这个数据的平均数为：‎ ‎，‎ 依题意这人中“满意”的有人，记为；“很满意”的有人，记为，‎ 从这人中任取人，所有的基本事件有、、、、、、、、、、、、、、，共个基本事件，‎ 记为从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人至少有一人很满意，‎ 则中包含的基本事件有、、、、、、、、，共个基本事件，‎ 所以．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2），．‎ ‎【解析】（1）证明：如图，连接，与交于点，则为的中点，‎ 连接，‎ 由四边形是菱形，可得，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以平面，‎ 因为平面，所以．‎ ‎（2）因为平面平面，平面平面，且，‎ 所以平面，即为三棱锥的高，‎ 由，四边形是菱形，且，‎ 可得与都是边长为的等边三角形，所以，‎ 因为的面积，‎ 故，‎ 因为，平面，平面，所以平面，‎ 故点到平面的距离也为，‎ 由四边形是菱形得，‎ 因此．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，所以，‎ 因为是等边三角形，所以，所以，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，可得，，‎ 所以，所以直线的斜率存在，‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 设，，联立，‎ 化简得，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 因为，，，所以，‎ 所以解得或（舍去），‎ 所以直线的方程为．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）的定义域为，‎ 当时，，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 故在取得极小值，无极大值．‎ ‎（2）令，‎ 若，使成立，‎ 则对于，即可，‎ 而，‎ ‎①当，即时，在上单调递减，‎ 则，‎ 由，解得，‎ 而，所以，‎ ‎②当，即时，在上单调递增，‎ 则，‎ 由，解得，‎ ‎③当，即时，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，‎ 而，∴，‎ 故，即不成立，‎ 综上，．‎ ‎22．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）由曲线（为参数），‎ 可得（为参数），‎ 两式相除，可得，‎ 整理得曲线的普通方程或；‎ 由曲线，两边同乘，可得，‎ 又因为，，‎ 代入可得，即，‎ 所以曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将曲线代入，‎ 得，‎ 整理得，‎ 设，两点对应的参数为，，‎ 则，∴．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意，‎ 不等式等价于或或，‎ 所以或或，‎ 故原不等式的解集为．‎ ‎（2）做出的图像如图所示：‎ 且，，直线，过定点，‎ 因为，，所以．‎