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  • 2021-07-01 发布

高中数学选修2-2课时提升作业(八) 1_4

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温馨提示:‎ ‎ 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 课时提升作业(八)‎ 生活中的优化问题举例 一、选择题(每小题3分,共18分)‎ ‎1.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为‎20cm,要使其体积最大,则高为(  )‎ A.cm B.cm C.cm D.cm ‎【解析】选D.设高为hcm,底面半径为rcm,则h2+r2=400.‎ 又体积V=πr2h,则V=π(400-h2)h,‎ 令V′=0,得惟一极值点h=,此时体积最大,故选D.‎ ‎2.(2014·上饶高二检测)若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为 (  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎【解析】选C.设底面边长为x,高为h,‎ 则V=x2h,所以h=.‎ 所以S表=2×x2+3x·=x2+,‎ 所以S′表=x-,令S′表=0得x=.‎ 当0时,S′表>0.‎ 因此当底面边长为时,其表面积最小.‎ ‎3.购进原价为80元的商品400个,按90元一个售出时,可全部卖出.已知这种商品每个涨价一元,其销售数就减少20个,则获得利润最大时售价应为(  )‎ A.90 B‎.95 ‎ C.100 D.105‎ ‎【解析】选B.设售价为(90+x)元时利润为y,此时销售量为400-20x.‎ y=f(x)=(90+x)(400-20x)-(400-20x)×80‎ ‎=20(20-x)(10+x),求导得,‎ 当x=5时,ymax=4500(元).即售价为95元时获利最大,其最大值为4500元,故选B.‎ ‎4.(2014·青岛高二检测)一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积为S,为使窗户周长最小,用料最省,圆的半径应为(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎【解析】选C.如图,设圆半径为x,如果矩形高记作h,那么窗户面积S=x2+2hx,‎ 窗户周长l(x)=πx+2x+2h ‎=x+2x+.‎ 令l′(x)=+2-=0.‎ 解得x=(负值舍去).‎ 因为l(x)只有一个极小值点,‎ 因此x=为最小值点.‎ ‎5.(2014·烟台高二检测)某厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,‎ 原油温度的瞬时变化率的最小值是(  )‎ A.8 B. C.-1 D.-8‎ ‎【解题指南】导函数即为原油温度的瞬时变化率,利用配方法可求最小值.‎ ‎【解析】选C.由题意,f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1,因为0≤x≤5,所以x=1时,‎ f′(x)的最小值为-1,即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1,故选C.‎ ‎6.在半径为r的半圆内作一内接梯形,使其底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,其梯形的上底为(  )‎ A. B.r C.r D.r ‎【解析】选D.如图所示,设∠COB=θ,则CD=2rcosθ,梯形的高h=rsinθ,‎ 所以S=·rsinθ ‎=r2sinθ(1+cosθ),‎ 所以S′=r2[cosθ(1+cosθ)-sin2θ]‎ ‎=r2(2cos2θ+cosθ-1).‎ 令S′=0得cosθ=-1(舍去)或cosθ=.‎ 即当cosθ=时,梯形面积最大,‎ 此时上底CD=2rcosθ=r.故应选D.‎ 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎7.(2014·苏州高二检测)容积为‎256L的方底无盖水箱,它的高为__________时最省材料.‎ ‎【解析】设水箱高为h,底面边长为a,则a2h=256,其面积为S=a2+4ah=a2+‎4a·= a2+.‎ 令S′=‎2a-=0,得a=8.‎ 当08时,S′>0;‎ 当a=8时,S最小,此时h==4.‎ 答案:4‎ ‎8.(2014·南充高二检测)已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,则这种矩形中面积最大者的边长为__________.‎ ‎【解析】设点B(x,4-x2)(00),为使耗电量最小,则其速度应定为__________.‎ ‎【解题指南】欲求使耗电量最小,则其速度应定为多少,即求出函数的最小值即可,对函数求导,利用导数研究函数的单调性,判断出取最小值时的x即可.‎ ‎【解析】由题设知y′=x2-39x-40,‎ 令y′>0,解得x>40或x<-1,‎ 故函数y=x3-x2-40x(x>0)在[40,+∞)上是增函数,在(0,40]上是减函数,当x=40时,y取得最小值.由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40.‎ 答案:40‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎10.如图,一矩形铁皮的长为‎8cm,宽为‎5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?‎ ‎【解析】设小正方形的边长为xcm,则盒子底面长为(8-2x)cm,宽为(5-2x)cm,‎ V=(8-2x)(5-2x)x=4x3-26x2+40x,‎ V′=12x2-52x+40,‎ 令V′=0,得x=1或x=(舍去),‎ V极大值=V(1)=18,在定义域内仅有一个极大值,‎ 所以V最大值=18,即当小正方形的边长为‎1cm时,盒子容积最大.‎ ‎11.(2014·大同高二检测)已知某工厂生产x件产品的成本为C=25000+200x+x2(元),‎ 问:(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?‎ ‎(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?‎ ‎【解析】(1)设平均成本为y元,则 y==+200+,‎ y′=+,令y′=0得x=1000.‎ 当在x=1000附近左侧时y′<0;‎ 在x=1000附近右侧时y′>0,故当x=1000时,y取极小值,而在定义域内只有一个点使y′=0,故函数在该点处取得最小值,因此,要使平均成本最低,应生产1000件产品.‎ ‎(2)利润函数为S=500x-‎ ‎=300x-25000-,S′=300-,‎ 令S′=0,得x=6000,当在x=6000附近左侧时S′>0;在x=6000附近右侧时 S′<0,故当x=6000时,S取极大值,而在定义域内只有一个点使S′=0,故函数在该点处取得最大值,因此,要使利润最大,应生产6000件产品.‎ ‎【变式训练】(2014·盐城高二检测)某地开发了一个旅游景点,第1年的游客约为100万人,第2年的游客约为120万人.某数学兴趣小组综合各种因素预测:①该景点每年的游客人数会逐年增加;②该景点每年的游客都达不到130万人.该兴趣小组想找一个函数y=f(x)来拟合该景点对外开放的第x(x≥1)年与当年的游客人数y(单位;万人)之间的关系.‎ ‎(1)根据上述两点预测,请用数学语言描述函数y=f(x)所具有的性质.‎ ‎(2)若f(x)=+n,试确定m,n的值,并考察该函数是否符合上述两点预测.‎ ‎(3)若f(x)=a·bx+c(b>0,b≠1),欲使得该函数符合上述两点预测,试确定b的取值范围.‎ ‎【解析】(1)预测①:f(x)在[1,+∞)上单调递增;‎ 预测②:f(x)<130对x∈[1,+∞)恒成立;‎ ‎(2)将(1,100),(2,120)代入到y=+n中,‎ 得解得 因为f(x)=-+140,所以f′(x)=>0,故f(x)在[1,+∞)上单调递增,符合预测①;‎ 又当x≥4时,f(x)=-+140≥130,‎ 所以此时f(x)不符合预测②.‎ ‎(3)由解得 因为f′(x)=a·bx·lnb,‎ 要想符合预测①,则f′(x)>0,即a·lnb>0,从而或 ‎①当b>1时,a=>0,此时符合预测①,但由f(x)≥130,解得x≥logb,‎ 即当x≥logb时,f(x)≥130,‎ 所以此时f(x)不符合预测②;‎ ‎②当00;‎ R-1,则直线l与两条坐标轴所围成的三角形面积的最大值等于__________.‎ ‎【解题指南】分别令x=0与y=0可求得l与两条坐标轴的交点坐标,于是可得到所围成的三角形面积的表达式,继而可利用导数法求其最大值.‎ ‎【解析】因为直线l:y=-e-t(x-t)+e-t,‎ 令x=0,y=(t+1)e-t,即A(0,(t+1)e-t).‎ 令y=0,x=t+1,故B(t+1,0).‎ 因为t>-1,所以t+1>0,‎ 所以S△OAB=(t+1)·(t+1)e-t=(t2+2t+1)e-t,‎ 所以S′△OAB=(2t+2)e-t+(t2+2t+1)e-t×(-1)‎ ‎=e-t(1-t2).‎ 当t>1时,S′△OAB<0,当-10,‎ 所以当t=1时,S△OAB有极大值,‎ 因为S′△OAB=0的t的值惟一,所以S△OAB的极大值就是最大值.‎ 所以当t=1时,S△OAB有最大值,‎ S△OAB的最大值为×(1+1)(1+1)e-1=.‎ 答案:‎ 三、解答题(每小题12分,共24分)‎ ‎7.(2014·银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费30元,每千册书存放一年要库存费40元,并假设该书均匀投放市场,问此书店分几次进货、每次进多少册,可使所付的手续费与库存费之和最少?‎ ‎【解析】设每次进书x千册(00,求出自变量a的范围.‎ ‎(2)用导数的知识解决,注意定义域的限制,确定函数y=f(x)在定义域上的单调性,从而可求函数的最大值.‎ ‎【解析】(1)AB=a,PO=a,‎ 所以斜高为=.所以一个正四棱锥的侧面积为S1=4××a×=a2.‎ 一个正四棱锥的体积为V1=a2×a=a3.‎ 令长方体的高为b,则a2b+a3×2=10.‎ 所以b=-a.由b>0,得00,y为a的增函数,‎ 故该工件的制造费用最小时,a的值为(米).‎ 关闭Word文档返回原板块

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