2018版高考数学（人教A版理）一轮复习：第8章 第6节 课时分层训练50 7页

课时分层训练(五十)　双曲线 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)‎ A．x2－＝1　　　　　　 B.－y2＝1‎ C.－x2＝1 D.y2－＝1‎ C　[由于焦点在y轴上，且渐近线方程为y＝±2x.‎ ‎∴＝2，则a＝2b.C中a＝2，b＝1满足．]‎ ‎2．(2015·湖南高考)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. D　[由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴＝.‎ 又b2＝c2－a2，∴＝，‎ 即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.]‎ ‎3．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A.－＝1(y>0)‎ B.－＝1(x>0)‎ C.－＝1(y>0)‎ D.－＝1(x>0)‎ B　[由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5.‎ 所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．]‎ ‎4．(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)‎ A.　　　 B. C. D. A　[由题意知a＝，b＝1，c＝，‎ ‎∴F1(－，0)，F2(，0)，‎ ‎∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．‎ ‎∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，‎ 即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，‎ ‎∴－y＝1，即x＝2＋2y，‎ ‎∴2＋2y－3＋y<0，∴－0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝__________. ‎ ‎【导学号：01772319】‎ 　[双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝.]‎ ‎8．(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．‎ ‎2　[如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c.‎ 又2|AB|＝3|BC|，‎ ‎∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，‎ ‎∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．]‎ 三、解答题 ‎9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程. ‎ ‎【导学号：01772320】‎ ‎[解]　椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.3分 设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ ‎∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，8分 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.‎ ‎∴＝3，得a＝3，b＝4，10分 ‎∴双曲线G的方程为－＝1.12分 ‎10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)求证：·＝0；‎ ‎(3)求△F1MF2的面积. ‎ ‎【导学号：01772321】‎ ‎[解]　(1)∵e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．‎ ‎∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.2分 ‎∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.‎ ‎∴双曲线方程为x2－y2＝6.4分 ‎(2)证明：∵＝(－3－2，－m)，‎ ＝(2－3，－m)．‎ ‎∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.6分 ‎∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，‎ ‎∴·＝0.8分 ‎(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4.‎ 由(2)知m＝±.10分 ‎∴△F1MF2的高h＝|m|＝，‎ ‎∴S△F1MF2＝×4×＝6.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·河南中原名校联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为(　　)‎ A.　　　　　 B. C. D. D　[由题意可求得|AB|＝，所以S△OAB＝××c＝，整理得＝.因此e＝.]‎ ‎2．(2017·天津河西区质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为__________．‎ x2－＝1　[由双曲线的渐近线y＝±x，即bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切，‎ ‎∴＝，则b2＝3a2.①‎ 又双曲线的一个焦点为F(2,0)，‎ ‎∴a2＋b2＝4，②‎ 联立①②，解得a2＝1，b2＝3.‎ 故所求双曲线的方程为x2－＝1.]‎ ‎3．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．‎ ‎(1)求双曲线C2的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围. ‎ ‎【导学号：01772322】‎ ‎[解]　(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.4分 故C2的方程为－y2＝1.5分 ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，‎ 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.‎ 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得 ‎∴k2≠且k2<1.①‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝－.8分 ‎∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)‎ ‎＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.‎ 又·>2，得x1x2＋y1y2>2，‎ ‎∴>2，即>0，‎ 解得