【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题03导数及其应用学案 21页

专题三 导数及其应用 ‎【导函数的特点】‎ ‎①导数的定义可变形为：‎ ‎②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数， ③可导的周期函数其导函数仍为周期函数， ④并不是所有函数都有导函数．‎ ‎⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数 在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．‎ ‎⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．‎ ‎【导数的几何意义】（即切线的斜率与方程）特别提醒：‎ ‎①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）． ②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直． ③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点， ④显然f′（x0）>0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解．‎ ‎4.【2017重庆二诊】已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）‎ A. 3 B. 1或3 C. 4或6 D. 3或4或6‎ ‎【答案】B ‎（1）当或时，有唯一实根；‎ ‎（2）当时，有三个实根；‎ ‎（3）当或时，有两个实根；‎ ‎（4）当时，无实根.‎ 令，则由，得，‎ 当时，由，‎ 符号情况（1），此时原方程有1个根，‎ 由，而，符号情况（3），此时原方程有2个根，综上得共有3个根；‎ 当时，由，又，‎ 符号情况（1）或（2），此时原方程有1个或三个根，‎ 由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根，‎ 综上得共1个或3个根.‎ 综上所述， 的值为1或3.故选B.‎ ‎5.【2017四川宜宾二诊】已知函数，曲线与曲线关于直线对称，若存在一条过原点的直线与曲线和曲线都相切，则实数的值为_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】曲线与曲线关于对称，所以，则，‎ 设切点的坐标为，则，‎ 所以根据斜率公式可得，解得，‎ 所以此时切线的斜率，所以切线方程为，‎ 设直线与曲线的切点为，‎ 则，所以，‎ 解得，代入，解得。‎ ‎6.【2017黑龙江哈师大附中三模】已知函数为偶函数，当时， ，则曲线在点处的切线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎7．【2017广东佛山二模】曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，切线方程为 即 ‎8.【2017安徽宿州】的图像在处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由知，，所以由点斜式得：，故填．‎ ‎9．【2017河北唐山三模】已知函数， .‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数在区间有唯一零点，证明： .‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.‎ 试题解析：（Ⅰ） ， ，‎ 令， ，‎ 若，即，则，‎ 当时， ， 单调递增，‎ 若，即，则，仅当时，等号成立，‎ 当时， ， 单调递增.‎ 若，即，则有两个零点， ，‎ 由， 得，‎ 当时， ， ， 单调递增；‎ 当时， ， ， 单调递减；‎ 当时， ， ， 单调递增.‎ ‎（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求.‎ 此时， 就是函数在区间的唯一零点.‎ 所以，从而有，‎ 又因为，所以，‎ 令，则，‎ 设，则，‎ 再由（1）知： ， ， 单调递减，‎ 又因为， ，‎ 所以，即 ‎ ‎10.【2017河北石家庄冲刺】已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个零点，证明： .‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）． ‎ ‎①当时， ，则函数为R上的单调递增函数．‎ ‎②当时，令，则．‎ 若，则， 在上是单调减函数；‎ 若，则， 在上是单调增函数.‎ ‎11.【2017安徽黄山二模】已知函数. ‎ ‎（1）若时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，过作切线，已知切线的斜率为，求证： .‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) 见解析.‎ ‎【解析】(1) 由已知得： . ①若 ‎，当或时， ；当时， ，所以的单调递增区间为；单调递减区间为. ②若，故的单调递减区间为；③若，当或时， ；当时， ；所以的单调递增区间为；单调递减区间为.‎ 综上，当时， 单调递增区间为；单调递减区间为， .‎ 当时， 的单调递减区间为；当时， 单调递增区间为 ；单调递减区间为,.‎ ‎12.【2017陕西汉中二模】已知函数 ‎（1）若函数过点，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值；‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎③ 当，即时，‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，则；‎ ‎④当，即时， ， ，‎ 函数在上单调递减，则． ‎ 综上，当时， ；当时， ；当时， ．‎ ‎13.【2017四川宜宾二诊】已知函数且.‎ ‎（I）若，求函数的单调区间；（其中是自然对数的底数）‎ ‎（II）设函数，当时，曲线与 有两个交点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（I）增区间为，减区间为（II）‎ ‎【解析】试题分析：（I）定义域，求得 利用， ，即可判定函数的单调区间；‎ ‎（II）联立与得=， ‎ 令 ‎ 则 ‎ 当时， ， ‎ 由得， ， 在上单调递增 由得， ， 在上单调递减 ‎ 由题意得 ‎ 令，则，‎ 单调递增， ‎ 令单调递增，‎ 时， ， 合题意 当时， ， ‎ 由得， ， 在上单调递增 由得， ， 在上单调递减 ‎ 由题意得 ‎ 令单调递减，‎ ‎ ‎ 令，则，‎ 单调递减 时， 合题意.‎ 综上， 的取值范围是 ‎ ‎14.【2016全国卷1文数21】已知函数．‎ ‎ (I)讨论的单调性；‎ ‎(II)若有两个零点,求的取值范围.‎ ‎【答案】见解析(II) ‎ 当时,,所以在单调递增,在单调递减.‎ ‎③若,则,故当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减.‎ ‎(II)(i)设,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.‎ 又,取b满足b<0且,‎ 则,所以有两个零点.‎ ‎(ii)设a=0,则所以有一个零点.‎ ‎(iii)设a<0,若,则由(I)知,在单调递增.‎ 又当时,<0,故不存在两个零点；若,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又当时<0,故不存在两个零点.‎ 综上,a的取值范围为.‎ ‎【考点】函数单调性,导数应用 ‎【点拨 ‎】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.‎