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- 2021-07-01 发布
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第二节函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)增函数、减函数
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为函数y＝f(x)的最大值
M为函数y＝f(x)的最小值
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．( )
(3)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
3．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A 由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．
4．若函数y＝x2－2ax＋1在(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，2]
解析：选C 函数y＝x2－2ax＋1图象的对称轴方程为x＝a，要使该函数在(－∞，2]上是减函数，则需满足a≥2.
5．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．
解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]．
答案：[－1,1]和[5,7]
6．函数f(x)＝在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________．
解析：易知f(x)在[－2,0]上是减函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－－(－2)＝.
答案：
确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.
[典题领悟]
1．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解：法一：设－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
2．求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
解：易知f(x)＝
＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]
，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
[解题师说]
1．掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(如典题领悟第1题)
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(如典题领悟第2题)
(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．(如典题领悟第1题)
2．熟记函数单调性的4个常用结论
(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝的单调性相同．
3．谨防3种失误
(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则．(如冲关演练第1题)
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．
(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
[冲关演练]
1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：选D 由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
2．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选C 由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，对于f(x)＝－x，因为y＝
eq f(1,x)与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
3．已知函数y＝，那么( )
A．函数的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)
B．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．函数的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)
D．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析：选A 函数y＝可看作是由y＝向右平移1个单位长度得到的，∵y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y＝的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A.
4．判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
解：设x1，x2是任意两个正数，且x10，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0， ]上是减函数；
当≤x1a，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0)在(0， ]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
[考什么·怎么考]
函数的值域(最值)是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式，还有立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的值域(最值)问题.高考中选择题、填空题、解答题都有考查.
方法(一) 性质法求函数的值域(最值)
1．函数y＝的值域为________．
解析：由y＝，可得x2＝.
由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1，
故所求函数的值域为[－1,1)．
答案：[－1,1)
2．若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.
解析：∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，
∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即解得a＝1，b＝.
答案：1
[方法点拨]
(1)先进行转化与分离，再利用函数的性质(如x2≥0，ex>0等)求解即可．
(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么f(x)在区间端点处取最值；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么ymax＝f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么ymin＝f(b)，从而得出值域．
方法(二) 数形结合法求函数的值域(最值)
3．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
解析：
函数y＝
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
4．设函数f(x)＝的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是________．
解析：因为函数f(x)＝的图象过点(1,1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f
(x)＝画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，
当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．
而f(x)的值域为[－1，＋∞)，f(g(x))的值域为[0，＋∞)，因为g(x)是二次函数，
所以g(x)的值域是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
[方法点拨]
先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，求出值域或最值．
方法(三) 换元法求函数的值域(最值)
5．函数y＝x＋的最大值为________．
解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.
可令x＝cos θ，θ∈[0，π]，
则y＝cos θ＋sin θ＝sin，θ∈，
所以－1≤y≤，故原函数的最大值为.
答案：[]
6．已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为________．
解析：∵≤f(x)≤，
∴≤≤.
令t＝，
则f(x)＝(1－t2)，
令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，
即y＝－(t－1)2＋1.
∴当t＝时，y有最小值；
当t＝时，y有最大值.
∴g(x)的值域为.
答案：
[方法点拨]
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．
方法(四) 分离常数法求函数的值域(最值)
7．函数y＝的值域为________．
解析：y＝＝＝3＋，
因为≠0，所以3＋≠3，
所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
答案：{y|y∈R且y≠3}
8．当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________．
解析：由y＝，可得y＝－.
∵－3≤x≤－1，∴≤－≤，
∴≤y≤3
∴所求函数的最小值为
答案：
[方法点拨]
通过配凑函数解析式的分子，把函数分离成常数和分式的形式，而此式的分式，只有分母中含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．
[怎样快解·准解]
求函数值域（最值）的类型及其方法
(1)若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；当函数解析式中出现偶次方幂、绝对值等时，可利用函数的性质(如x2≥0，|x|≥0，≥0，ex>0等)确定函数的值域或最值．
(2)若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．
(3)形如求y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(4)形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．
函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力.在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等.
常见的命题角度有：
(1)比较函数值的大小；
(2)解函数不等式；
(3)利用单调性求参数的取值范围(或值).
[题点全练]
角度(一) 比较函数值的大小
1．(2018·哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：选D 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<f>f(e)，
∴b>a>c.
[题型技法] 比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
角度(二) 解函数不等式
2．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．
解析：∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上递增．
∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
又f＝0，知f＝－f＝0.
故原不等式f(logx)>0可化为
f(logx)>f或f或－f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)0，且a≠1.
又函数f(x)在R上单调，而二次函数y＝ax2－x－的图象开口向上，
所以函数f(x)在R上单调递减，
故有即
所以a∈.
[题型技法] 利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[题“根”探求]
看个性
角度(一)是函数值大小的比较，转化为在同一单调区间内的自变量的大小比较；
角度(二)是角度(一)的拓展，是把函数不等式问题转化为两函数值大小比较问题；
角度(三)是在角度(一)和角度(二)基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较
找共性
对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是：
[冲关演练]
1．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知可得解得－33，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．
答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
2．已知函数f(x)＝x|2x－a|(a>0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a的值是________．
解析：f(x)＝x|2x－a|＝(a>0)，
作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是，所以解得a＝8.
答案：8
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝x D．y＝x＋
解析：选A 函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．
2．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综上，实数a的取值范围是.
3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.
所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.
4．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
解析：选B y＝|x|(1－x)
＝
＝
＝
画出函数的大致图象如图所示．
由图易知原函数在上单调递增．
5．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析：选A 因为f(x)是偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以f(π)＞f(3)＞f(2)，
即f(π)＞f(－3)＞f(－2)．
6．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选B ∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.
7．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
8．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为________．
解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
9．若函数f(x)＝在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________.
解析：由f(x)＝的图象知，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a]⊆(0，＋∞)，
∴f(x)＝在[2，a]上也是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，
∴＋＝，∴a＝4.
答案：4
10．给定函数：①y＝x；②y＝log(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．
解析：①y＝x在(0,1)上递增；②因为t＝x＋1在(0,1)上递增，且0＜＜1，故y＝log(x＋1)在(0,1)上递减；③结合函数图象可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④因为u＝x＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增，故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
答案：②③
B级——中档题目练通抓牢
1．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B．[－6，－4]
C. D.
解析：选B 由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．
2．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )
A．(－1,2)
B．(1,4)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析：选D 由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f(x＋1)＜1即为f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
3．(2018·河南平顶山一模)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有>0，记a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．ax2，
∵>0，
∴x2f(x1)－x1f(x2)>0，
∴＝－>0，
即>，
∴是(0，＋∞)上的增函数．
∵1<30.2<30.5<2,0<0.32<1，log25>2，
∴0.32<30.2f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
解析：选D ∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－21时，f(x)<0.
(1)证明：f(x)为单调递减函数．
(2)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
解：(1)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则>1，由于当x>1时，f(x)<0，
所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1)
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