高中数学 2-1-1 合情推理双基限时训练 新人教版选修2-2 4页

‎【名师一号】2014-2015学年高中数学 ‎2-1-1‎ 合情推理双基限时训练 新人教版选修2-2‎ ‎1．下列说法中正确的是(　　)‎ A．合情推理就是正确的推理 B．合情推理就是归纳推理 C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程 D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程 答案　D ‎2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是(　　)‎ ‎①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．‎ A．① B．③‎ C．①② D．①②③‎ 答案　D ‎3．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为(　　)‎ A．V＝abc B．V＝Sh C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)·r(S1，S2，S3，S4分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径)‎ D．V＝(ab＋bc＋ac)·h(h为四面体的高)‎ 解析　面积与体积，边长与面积，圆与球进行类比，应选C.‎ 答案　C ‎4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，又归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)‎ A．f(x) B．－f(x)‎ C．g(x) D．－g(x)‎ 解析 ‎　归纳所给出的导函数知，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，根据这一规律可知，f(x)为偶函数，其导函数g(x)必为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．‎ 答案　D ‎5．已知对正数a和b，有下列命题：‎ ‎①若a＋b＝1，则≤；‎ ‎②若a＋b＝3，则≤；‎ ‎③若a＋b＝6，则≤3.‎ 根据以上三个命题提供的规律猜想：若a＋b＝9，则≤(　　)‎ A．2 B. C．4 D．5‎ 答案　B ‎6．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x轴 ，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的直线方程为(　　)‎ A.＋＋＝1 B.＋＋＝1‎ C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1‎ 答案　A ‎7．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…的前4项的值，由此猜测：‎ an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1的结果为________．‎ 解析　1＝12，‎ ‎1＋2＋1＝4＝22，‎ ‎1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，‎ ‎1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，‎ ‎……‎ 由此可以猜想an＝n2.‎ 答案　n2‎ ‎8．圆的面积S＝πr2，周长c＝2πr，两者满足c＝S′(r)，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________.‎ 解析　球的面积S＝4πr2，‎ 球的体积V＝πr3，‎ 则有S＝V′(r)＝4πr2.‎ 答案　V球＝πr3，S球＝4πr2，满足S＝V′(r)‎ ‎9．观察以下各等式：‎ sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，‎ sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝，‎ sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝.‎ 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为____________________．‎ 答案　sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝ ‎10．下图的倒三角形数阵满足：‎ ‎(1)第1行的n个数分别是1,3,5，…，2n－1；‎ ‎(2)从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和；‎ ‎(3)数阵共有n行．‎ 则第5行的第7个数是________．‎ 解析　观察倒三角形数阵知，每一行均为等差数列，且第1行的公差为2，第2行的公差为4，第3行的公差为8，第4行的公差为16，第5行的公差为32.又推得第5行第一个数字为80，故第5行第7个数字是80＋32×(7－1)＝272.‎ 答案　272‎ ‎11．两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，……，试归纳出n条直线最多有多少个交点．‎ 解　设直线条数为n，最多交点个数为f(n)，则 f(2)＝1，‎ f(3)＝3＝1＋2，‎ f(4)＝6＝1＋2＋3，‎ f(5)＝10＝1＋2＋3＋4，‎ f(6)＝15＝1＋2＋3＋4＋5，‎ ‎……‎ 由此可以归纳出，n条直线交点个数最多为 f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝.‎ ‎12．设an是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，试归纳出这个数列的一个通项公式．‎ 解　当n＝1时，a1＝1，且‎2a22－a21＋a2·a1＝0，‎ 即‎2a22＋a2－1＝0，解得a2＝，‎ 当n＝2时，由 ‎3a‎23－2()2＋a3＝0，‎ 即‎6a23＋a3－1＝0，解得a3＝，‎ ‎……‎ 由此猜想：an＝.‎ ‎13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ 解　(1)选择②式计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.‎ ‎(2)推广到一般情况有三角恒等式：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.‎ 证明：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sin2α＋sinαcosα－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝(sin2α＋cos2α)＝.‎