2020年普通高等学校招生全国统一考试6月调研测试卷（重庆市2020届康德卷6月三诊卷）文科数学试题答案 4页

6 月调研测试卷（文科数学）参考答案 第 1页 共 4 页 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 6 月调研测试卷 文科数学参考答案 一、选择题 1～6 BADBCD 7～12 ADDBAC 第 4 题解析：圆心 ( 1 1) ， 在直线 2 3 0x y   上，故无论 m 为何值，直线均与圆相交，选 B． 第 5 题解析： 3.5, 7x y  ，故 ˆ 7 0.16 3.5 6.44a     ，即 0.16 6.44y x  ，2020 年 8 月对应 10x  ， ˆ 8.04y  ，选 C． 第 6 题解析： 2 1.414 ， 2 1 3log 12 2a    ， 2.11 10 ( )2 4b   ， 22( ) 15c   ，故b a c  ，选 D． 第 7 题解析： 2 7 9 63 27a a a a    6 9a  ， 8 9 9 0S S a   ， 9 6 33 a ad     ，选 A． 第 8 题解析：设 ( 2 )c a      ， ，由 55 5 55| | c b b           ， | | 5c  ，选 D． 第 9 题解析：设 n   ，可举出符合 A，B，C 选项的例子，选项 A，在平面 ， 内各取一条与 n 平行的直 线l m， ，则 / /l m ；选项 B，已知 m  ，在平面 外取一条直线 / /l n ，则 / /l m l ， ；选项 C，在平面 内取两条均与 n 平行的直线 l m， ，则 / / / /l m ， . 对于 D 选项， / /l m l m   ， ，又 m  ，故 / /  ，故选 D． 第 10 题解析：相邻音阶的频率之比为 12 1 2 ，键盘 2f 是 1b 后的第 6 个音阶，故频率之比为 6 12 1 1( ) 2 2  ，选 B． 第 11 题解析： ( ) sin 2 cos sin cos2 sin(2 )f x x x x      ，由题知 ( )f x 的图象关于直线 5 12x  对称， 故 52 12 2k      （ k Z ），即 3k    ，故选 A． 第 12 题解析： 2 ln 1 ln( )x x x x   ，故 ln xy x  在 (1 )e， 上单增，在 ( )e  ， 上单减，x e 时 1y e  ， 1x  时 0y  ， x   时 0y  ，可画出 ( )f x 的大致图象， 令 ( )f x t ， 2( ) 1g t t at a    ， 先解关于t 的方程 ( ) 0g t  ， 由题知方程必有两不等实根， 设为 1 2 1 2( )t t t t， ，再解 1 2( ) ( )f x t f x t ， ， 结合 ( )f x 的图象可知，要有 4 个不等实根只需 1 2 10 1 t e t ee      ≤ ，即 (0) 0 1( ) 0 ( ) 0 g g e g e      ≥ ，解得 2 2 2 1 1 1 1 a ea e e ea e            ≤ ， 2 2 1 1e ae e    ，选 C． 1 eO x y 6 月调研测试卷（文科数学）参考答案 第 2页 共 4 页 二、填空题 13． 1 4x 14． 2  15． 2 2 16． 2 2 2 第 14 题解析： sin cos sin sin sin cos sin cosb A a C B A A C B C     ， 0 2a b A B B       故 2B C   ， 2A   ． 第 15 题解析：设圆柱底面半径为 r ，高为 h ，外接球半径为 R ，则 2 8rh  即 4rh  ，外接球体积最小即 R 最小， 2 2 2( ) 2 42 2 h hR r r   ≥ ，当且仅当 22 hr   时等号成立，故此时 2 2h  ． 第 16 题解析：由题知 A 在第一象限， B 在第四象限，由 3AB BP  知 4A Bx x ，则 2A By y  ， 又 A F B， ， 三点共线 2 A B B A B B y y y px x x     2 2 2 2 B BA B yp y py y p    2 A By y p  ， 2 21 2 Ay p   ，即 2Ay p ， Ax p ，由QA 斜率为1得 21 12 2 A A y p x p     2( 2 1)p   ． 三、解答题 17．（12 分） 解：（1）设实验组中未感染病毒和感染病毒的小白鼠分别有 a 只和b 只，参照组中未感染病毒和感染病毒的小白 鼠分别为 c 只和 d 只，则 1250 50 50 3 50 a c b d   ， 且 50a b c d    ， 故 40 10 20 30a b c d   ， ， ， ，列联表如下： 未感染病毒 感染病毒 总计 注射疫苗 40 10 50 未注射疫苗 20 30 50 总计 60 40 100 ……6 分 （2） 2 2 100 (40 30 10 20) 50 10.82850 50 60 40 3K         ，故有 99.9%的把握认为注射“Vero 细胞”狂犬疫苗可 有效预防狂犬病病毒的感染. ……12 分 18．（12 分） 解：（1）由题知 1 26 4 2n n nS S S   ，即 1 2 12( )n n n nS S S S     ，即 1 22 n na a  ，公比为 2 ，……4 分 又 1 1a  ， 12n na   ； ……6 分 （2）由题知{ }nb 是首项为 0 ，公差为1的等差数列，故 1nb n  ，……8 分 2 1 2 2 1 3 2 1 2 4 2 1 4 1 2 1 4 1 1 4 2 3 3 n n n n n nc c c a a a b b b n n                       . …12 分 6 月调研测试卷（文科数学）参考答案 第 3页 共 4 页 ① ② 19．（12 分） 解：（1） AD DC AD DP  ， ， AD  面 PDC ， AD PC  ， ……2 分 取 DC 中点 E ，连接 BE PE， ，由 90ADC DAB     知 / /AB DC ， 又 1AB DE  ，故 / /BE AD ， BE  面 PDC ， BE EP  ， 2 2 11 2PE PB BE DC     ， 90DPC   即 PC PD ，……5 分 PC  面 PAD ； ……6 分 （2）连接 AE ， / /AB EC 且 1AB EC  ， / /AE BC ， / /AE 面 PBC ，故点 A 到平面 PBC 的 距离即为点 E 到平面 PBC 的距离，设为 h ，由题知 2PC PD  ，则 PE DC ， 又由（1）知 AD  面 PDC ，故 AD PE ， PE  面 ABCD ，……8 分 由 E PBC P EBCV V  得 PBC EBCh S PE S   ，其中 PBC 是边长为 2 的等边三角形，……10 分 故 3 112 2h   ， 3 3h  ，所以点 A 到平面 PBC 的距离为 3 3 ．……12 分 20．（12 分） 解：（1） 1( ) 2ln 1f x x a x     ， 2 2 2 2 1 2 5 2( ) ( 1) ( 1) x xf x x x x x       ， 设曲线 ( )y f x 与 x 轴切于点 0 0( ( ))x f x， ，则 0 0 ( ) 0 ( ) 0 f x f x     ，即 2 0 0 0 0 2 5 2 0 12ln 01 x x x a x          由①得 0 1 2x  或 2 ，代入②得 2 2ln 2a   或 1 2ln 2  ； ……4 分 （2） 2 (2 1)( 2)( ) ( 1) x xf x x x     ， ( ) 0 2f x x    或 10 2x  ， 1( ) 0 12f x x     或1 2x  ， 故 ( )f x 在 1(0 )2 ， 和 (2 ) ， 上单增，在 1( 1)2 ， 和 (1 2)， 上单减， 当 0x  时 ln x   ， ( )f x   ，当 1x  且 1x  时 ( )f x   ，当 1x  且 1x  时 ( )f x   ，当 x   时 ( )f x   ， 1( ) 2ln 2 2 (2) 2ln 2 12f a f a     ， ， 显然 1( ) (2)2f f ，故函数 ( )f x 有两个零点，只需 1( ) 02f  或 (2) 0f  ， 2ln 2 2a   或 2ln 2 1a    ．……12 分 21．（12 分） 解：（1） 2 2 22 2 ce a b ca     ， ， 2a b  ，当 P Q， 关于 x 轴对称时，设 0 0 0 0( ) ( )P x y Q x y， ， ， ， 则 2 2 0 0 2 2 12 x y b b   ， 0 0| |S x y ，由均值不等式得 2 2 2 2 0 0 0 0 0 02 2 2 2 2 21 2 | |2 2 x y x y x yb b b b b    ≥ ， 2 0 0| | 2 bx y ≤ ，当且仅当 0 0| | 2 | |x y 时等号成立，由题知 2 2 2 b  ，即 2 2b  ， 2 4a  ， 故椭圆C 的方程为 2 2 14 2 x y  ； ……4 分 C A D B P E 6 月调研测试卷（文科数学）参考答案 第 4页 共 4 页 （2）设直线 PQ 的斜率为 k ，则其方程为 y kx t  ，联立 2 2 14 2 x y y kx t       得 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x ktx t     ， 2 28(2 4 ) 0t k     ，设 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ， ，则 2 1 2 1 22 2 4 2 4 2 1 2 1 kt tx x x xk k      ， ， ……6 分 由直线 AP PQ AQ， ， 的斜率成等比数列得 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3y y kx t kx tk x x x x          ， 即 2 2 2 1 2 1 2 1 2( 3)( ) ( 3)k x x k x x k t x x t      ， 又 3t  ， 1 2( ) 3k x x t    ，即 2 2 4 32 1 k t tk    ， 2 3 2 6 tk t    ，……9 分 代入 0  得 234 2 02 6 t tt     ，整理得 ( 1)( 4) 03 t t t t    ， 4 3t    或 0 1t  ，……11 分 又 2 3 02 6 tk t   ， 3t  或 3t   ，综上， 4 3t    . ……12 分 22．（10 分） 解：（1）曲线 :C 2 2( 1) 1x y   即 2 2 2 0x y y   ，即 2 2 sin 0    即 2sin  ，……5 分 （2）由题知 1l 的极坐标方程为 ( )2 R     ，则 2sin 2sin( ) 2cos2 2 B              ， 故| | 2sinOP  ，| | 2cosAP  ，| | 2cos 2sinBP    ……8 分 1 2(cos sin ) 2cos 1 cos2 sin 2 1 2 sin(2 )2 4ABPS                 ， 故当 2 4 2     即 8   时，面积取得最大值1 2 . ……10 分 23．（10 分） 解：（1） 14 2 1( ) 5 2 1 2 4 1 x x f x x x x x             ， ≥ ， ≤ ， ，三段的值域分别是 9 9 3 32 2y y y   ≤ ， ≤ ， ， 故 ( ) ( 3]f x  ， ，即 3M  ； ……5 分 （2）由（1）知 3 3 1 1 3aba b   ，故 4 4 3 3 3 3 3 3 1 1 1( ) ( )( )3a b ab ab a b a ba b       ， ……7 分 又 0 0a b ， ，所以可由柯西不等式得 3 3 2 3 3 1 1( )( ) (1 1) 4a ba b    ≥ ， 当且仅当 5 2 3a b  时等号成立，故 4 4 4 3a b ab ≥ . ……10 分