2018届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 课件 （全国通用） 97页

第二讲　 三角恒等变换与解三角形 【 知识回顾 】 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ( 1)sin(α±β)=_______________________. (2)cos(α±β)=______________________. (3)tan(α±β)=_____________. sinαcosβ±cosαsinβ cosαcosβ ∓ sinαsinβ 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ( 1)sin2α=____________. (2)cos2α=_____________=_________=_________. (3)tan2α=_________. 2sinαcosα cos 2 α-sin 2 α 2cos 2 α-1 1-2sin 2 α 3. 辅助角公式 asinx+bcosx = 　　　 sin(x+ φ ), 其中 tan φ = . 4. 正弦定理及其变形 在△ ABC 中 , 　　 = 　　　 = 　　　 =2R(R 为△ ABC 的外接圆半径 ). 变形 :a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, sinA = 　 , sinB = 　 , sinC = 　 , a∶b∶c = sinA∶sinB∶sinC . 5. 余弦定理及其变形 在△ ABC 中 ,a 2 =_____________; 变形 :b 2 +c 2 -a 2 =________, cosA =_________ . 6. 三角形面积公式 S △ABC = absinC= bcsinA= acsinB. b 2 +c 2 -2bccosA 2bccosA 【 易错提醒 】 1. 忽视解的多种情况 : 如已知 a,b 和 A, 应先用正弦定理求 B, 由 A+B+C=π, 求 C, 再由正弦定理或余弦定理求边 c, 但解可能有多种情况 . 2. 忽略角的范围 : 应用正、余弦定理求解边、角等量的最值 ( 范围 ) 时 , 要注意角的范围 . 3. 忽视解的实际意义 : 求解实际问题 , 要注意解得的结果要与实际相吻合 . 【 考题回访 】 1.(2016· 全国卷 Ⅲ) 若 tanα = , 则 cos 2 α+2sin2α = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A.cos 2 α +2sin2 α = 　 2.(2016· 全国卷 Ⅲ) 在△ ABC 中 ,B= ,BC 边上的高等于 BC, 则 cosA = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 设△ ABC 中角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , 则由题意得 S △ABC = 　　　　　 　所以 c= a. 由余弦定理得 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB=a 2 + a 2 -2×a× a × = a 2 . 所以 b= a. 所以 cosA = 3.(2015· 全国卷 Ⅰ)sin20°cos10°-cos160°sin10° = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 原式 =sin20 ° cos10 ° +cos20 ° sin10 ° =sin30°= . 4.(2016· 全国卷 Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 若 cosA = , cosC = ,a=1, 则 b=________. 【 解析 】 因为 cosA = , cosC = , 所以 sinA = , sinC = , sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= , 由正弦定理得 , 解得 答案 : 5.(2014· 全国卷 Ⅰ) 已知 a,b,c 分别为△ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边 ,a=2, 且 (2+b)(sinA-sinB)=( c-b)sinC , 则△ ABC 面积的最大值为 ________. 【 解析 】 由 a=2, 且 (2+b)(sinA-sinB)=( c-b)sinC , 即 (a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC, 由正弦定理得 (a+b)(a-b)=(c-b)c, 所以 b 2 +c 2 -a 2 =bc, 又由余弦定理得 cosA= 所以 A=60°, 所以 b 2 +c 2 -4=bc, 即 b 2 +c 2 -bc=4, 则 bc≤4, 所以 S △ABC = bcsinA ≤ ×4× = . 答案 : 热点考向一 　三角变换及求值 命题解读 : 重点考查利用三角恒等变换解决化简求值、求角问题 . 以选择题、填空题为主 , 有时解答题也有出现 . 【 典例 1】 (1)(2016· 全国卷 Ⅱ) 若 , 则 sin2α= 　 ( 　　 ) (2)(2016· 洛阳二模 ) 若 , 且 - <α<0, 则 = 　 ( 　　 ) (3)(2016· 厦门一模 ) 如图 , 圆 O 与 x 轴的正半轴的交点 为 A, 点 C,B 在圆 O 上 , 且点 C 位于第一象限 , 点 B 的坐标 为 ,∠AOC=α. 若 |BC|=1, 则 cos 2 -sin · cos - 的值为 ________. 【 解题导引 】 (1) 利用诱导公式变换角 , 建立已知角和未知角的联系 , 利用三角恒等变换公式求值 . (2) 利用两角和的正切公式 , 求出 tanα 的值 , 将所求式子进行化简求值 . (3) 利用三角函数的定义及三角变换公式求解 . 【 规范解答 】 (1) 选 D. 因为 sin2α= (2) 选 A. 由 又 - <α<0, 所以 sinα =- . 故 (3) 由题意得 |OB|=|BC|=1, 从而△ OBC 为等边三角形 , 所以 sin∠AOB= 又因为 答案 : 【 规律方法 】 1. 化简求值的方法与思路 (1) 方法 :① 采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类 , 做到三角函数名称的统一 ; ② 通过三角恒等变换 , 化繁为简 , 便于化简求值 ; (2) 基本思路 : 找差异 , 化同名 ( 同角 ), 化简求值 . 2. 解决条件求值问题的三个关注点 (1) 分析已知角和未知角之间的关系 , 正确地用已知角来表示未知角 . (2) 正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示 . (3) 求解三角函数中给值求角的问题时 , 要根据已知求这个角的某种三角函数值 , 然后结合角的取值范围 , 求出角的大小 . 【 题组过关 】 1.(2016· 海口二模 ) 已知 则 sin 的值是　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 2.(2016· 武汉一模 ) 若 tanα =2tan , 则 = 　 ( 　　 ) A.1 B.2 　　　 C.3 　　　 D.4 【 解析 】 选 C. 3.(2016· 长春一模 ) 若 cos(2α-β)=- , sin(α-2β)= ,0<β< <α< , 则 α+β 的 值为 ________. 【 解析 】 因为 cos(2 α - β )=- 且 <2 α - β < π , 所以 sin(2α-β)= . 因为 sin(α-2β)= 且 - <α-2β< , 所以 cos(α-2β)= . 所以 cos(α+β )=cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos(2α-β)·cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β) =- × + × = . 因为 < α+β < , 所以 α+β = . 答案 : 【 加固训练 】 1.(2016· 成都一模 ) = 　 ( 　　 ) A.4 　　　 B.2 　　　 C.-2 　　　 D.-4 【 解析 】 选 D. 2.(2016· 德州一模 ) 已知 α∈ , 则 cosα 等于　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 因为 α∈ , 所以 α + ∈ 因为 所以 所以 热点考向二 　正弦定理与余弦定理 命题解读 : 主要考查利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角与面积等基础问题 , 或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形 , 或利用正、余弦定理解决实际问题 , 三种题型都有可能出现 . 命题角度一　利用正、余弦定理进行边、角、面积的 计算 【 典例 2】 (2016· 昆明一模 ) 在锐角△ ABC 中 , a,b,c 是 角 A,B,C 的对边 , 且 a=2csinA. (1) 求角 C 的大小 . (2) 若 c= , 且△ ABC 的面积为 , 求 a+b 的值 . 【 题目拆解 】 解答本例第 (2) 问 , 可拆解成两个小题 : ① 求 ab 的值 ; ② 求 a+b 的值 . 【 规范解答 】 (1) 由正弦定理得 : sinA =2sinCsinA, 因为 A,C 是锐角 , 所以 sinC = , 所以 C=60°. (2) 由已知得 ,△ABC 的面积 S= absinC = , 所以 ab =6. 由余弦定理得 c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC=(a+b) 2 -3ab, 所以 (a+b) 2 =25, 所以 a+b =5. 【 母题变式 】 1. 在本例条件下 , 求 sinA+sinB 的取值范围 . 【 解析 】 由本例可知 C=60 ° , 所以 A+B=120 ° , 所以 sinA+sinB=sinA+sin(120°-A) =sinA+ cosA+ sinA= sinA+ cosA 又△ ABC 为锐角三角形 , 所以 0°AD, 所以 AD=3. (2) 在△ ABD 中 , 由正弦定理可知 又由 cos∠BAD= , 可知 sin∠BAD= , 所以 sin∠ADB= 因为∠ ADB=∠DAC+∠C,∠DAC= . 所以 cosC = . 【 加固训练 】 1.(2016· 烟台一模 ) 设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边 分别为 a,b,c , 若 bcosC+ccosB = asinA , 则△ ABC 的形状 为　 ( 　　 ) A. 直角三角形　　 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形　　 D. 不确定 【 解析 】 选 A. 由题可知 sinBcosC+sinCcosB =sin 2 A, 即 sin(B+C )=sin 2 A,sinA=sin 2 A, 因为 sinA≠0, 所以 sinA =1, 因为 0c. 已知 =2,cosB= ,b=3. 求 : ①a 和 c 的值 ; ② cos(B -C) 的值 . 【 解题导引 】 (1) 利用等差数列的性质及三角恒等变换求解 . (2)① 结合向量的数量积公式 , 将 转化为 cacosB 的形式 , 再根据题目所给条件由余弦定理可列出关于 a 与 c 的方程组 , 然后求解出 a,c 的值 ,② 由同角基本关系式结合正弦定理及两角差的余弦公式 , 可求出 cos(B -C) 的值 . 【 规范解答 】 (1) 选 D. 由条件 , 得 tanC = tanB,tanA = tanB , 所以△ ABC 为锐角三角形 . 又 tanA =- tan(C+B )= 得 tanB =2, 所以 tanA =1, 所以 tan(B -A)= 因为 B>A, 所以 cos(B -A)= . (2)① 由 =2, 得 cacosB =2, 又 cosB = , 所以 ac=6. 由余弦定理 , 得 a 2 +c 2 =b 2 +2accosB. 又 b=3, 所以 a 2 +c 2 =9+2×6× =13. 因为 a>c, 所以 a=3,c=2. ② 在△ ABC 中 , sinB = 由正弦定理 , 得 sinC = 因为 a=b>c, 所以 C 是锐角 . 因此 cosC = 则 cos(B -C)= cosBcosC+sinBsinC 【 易错警示 】 解答本题 (2) 易出现以下三种错误 (1) 解题中易忽略条件“ a>c”, 而产生增解 . (2) 解题中易忽略角 B 为三角形内角 , 即 sinB >0, 而产生增解 . (3) 未注明角 C 的限制条件而产生错解 . 【 规律方法 】 与解三角形有关的交汇问题的关注点 (1) 根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化 . (2) 结合内角和定理、面积公式等 , 灵活运用三角恒等变换公式 . 【 题组过关 】 1.(2016· 肇庆一模 )△ABC 中角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c , 满足 ≥ 1, 则角 A 的范围是　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 由 ≥ 1, 得 b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b), 化简 , 得 b 2 +c 2 -a 2 ≥bc, 即 即 cosA≥ (0