数学卷·2018届福建省宁德市民族中学、柘荣一中等五校联考高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版） 15页

‎2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．‎ ‎1．数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式an为（　　）‎ A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2） D．（﹣1）n+13n﹣2‎ ‎2．在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=8，则a7=（　　）‎ A．3 B．6 C．7 D．8‎ ‎3．在△ABC中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（　　）‎ A．13 B． C． D．21‎ ‎4．若a＜b＜0，则（　　）‎ A．0＜＜1 B．ab＜b2 C．＞ D．＜‎ ‎5．在△ABC中，，则这个三角形一定是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形 ‎6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（　　）‎ A．16 B．6 C．4 D．8‎ ‎7．等差数列{an}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于 （　　）‎ A． B．6 C． D．3‎ ‎8．在△ABC中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（　　）‎ A．60° B．120° C．120°或60° D．45°‎ ‎9．在等比数列{an}中，已知a1=3，公比q=2，则a2和a8的等比中项为（　　）‎ A．48 B．±48 C．96 D．±96‎ ‎10．不等式的解集为 （　　）‎ A．{x|x＜﹣2或x＞3} B．{x|x＜﹣3或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}‎ ‎11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有S16＜0，S17＞0，那么Sn中最小的是（　　）‎ A．S6 B．S7 C．S8 D．S9‎ ‎12．已知x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，则m的取值范围（　　）‎ A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣3y的最大值为　　‎ ‎14．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则数列的通项an=　　．‎ ‎15．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为　　km．‎ ‎16．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知等差数列{an}满足a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{bn}且b2=a4，b3=a8‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}前n项的和Sn．‎ ‎18．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．‎ ‎（1）求∠BDA的大小 ‎（2）求BC的长．‎ ‎19．已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．‎ ‎（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集；‎ ‎（2）求不等式f（x）＜0的解集．‎ ‎20．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC的面积．‎ ‎21．某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m2，鸡舍侧面的造价为20元/m2，地面及其他费用合计为1800元．‎ ‎（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．‎ ‎（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？‎ ‎22．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=nan﹣n（n﹣1）．‎ ‎（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出an的表达式；‎ ‎（2）设数列的前n项和为Pn，求证：Pn＜；‎ ‎（3）设Cn=，Tn=C1+C2+…+Cn，试比较Tn与的大小．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．‎ ‎1．数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式an为（　　）‎ A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2） D．（﹣1）n+13n﹣2‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】根据前几项的特点和规律，可知数列中符号是正负交替，而绝对值为3n﹣2．‎ ‎【解答】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）n+1，绝对值为3n﹣2，故通项公式an=（﹣1）n+1（3n﹣2）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=8，则a7=（　　）‎ A．3 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由题意可得a4=4，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．‎ ‎【解答】解：∵在等差数列{an}中a1=2，a3+a5=8，‎ ‎∴2a4=a3+a5=8，解得a4=4，‎ ‎∴公差d==，‎ ‎∴a7=a1+6d=2+4=6‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．在△ABC中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（　　）‎ A．13 B． C． D．21‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用余弦定理即可得解c的值．‎ ‎【解答】解：∵a=1，b=4，C=60°，‎ ‎∴由余弦定理可得：c===．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．若a＜b＜0，则（　　）‎ A．0＜＜1 B．ab＜b2 C．＞ D．＜‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据已知中a＜b＜0，结合不等式的基本性质，逐一分析四个式子的正误，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵a＜b＜0，‎ ‎∴0＜＜1，正确；‎ ab＜b2，错误；‎ ‎＜＜0，错误；‎ ‎0＜＜1＜，错误；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，，则这个三角形一定是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知及余弦定理即可解得b=c，从而得解．‎ ‎【解答】解：∵，‎ 又∵cosC=，‎ ‎∴=，整理可得：b2=c2，‎ ‎∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（　　）‎ A．16 B．6 C．4 D．8‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用三角形面积公式即可得解．‎ ‎【解答】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，‎ ‎∴S△ABC=absinC==8．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．等差数列{an}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于 （　　）‎ A． B．6 C． D．3‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列与求和公式及其性质即可得出．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可得：S15==15a8=45，则a8=3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（　　）‎ A．60° B．120° C．120°或60° D．45°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值，结合B的范围由特殊角的三角函数值即可得解．‎ ‎【解答】解：∵a=2，b=6，A=30°，‎ ‎∴由正弦定理可得：sinB===，‎ ‎∵B∈（0°，180°），‎ ‎∴B=120°或60°．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．在等比数列{an}中，已知a1=3，公比q=2，则a2和a8的等比中项为（　　）‎ A．48 B．±48 C．96 D．±96‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】先求出a2和a8，由此能求出a2和a8的等比中项．‎ ‎【解答】解：∵在等比数列{an}中，a1=3，公比q=2，‎ ‎∴a2=3×2=6，‎ ‎=384，‎ ‎∴a2和a8的等比中项为=±48．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．不等式的解集为 （　　）‎ A．{x|x＜﹣2或x＞3} B．{x|x＜﹣3或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】不等式即即＞0，即（x﹣3）•（x+2）＞0，由此求得x的范围．‎ ‎【解答】解：不等式，即＞0，即（x﹣3）•（x+2）＞0，‎ 求得x＞3，或x＜﹣2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有S16＜0，S17＞0，那么Sn中最小的是（　　）‎ A．S6 B．S7 C．S8 D．S9‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由S16＜0，S17＞0，利用求和公式及其性质可得：a8＜0，a9＞0，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵S16＜0，S17＞0，‎ ‎∴=8（a8+a9）＜0， =17a9＞0，‎ ‎∴a8＜0，a9＞0，‎ ‎∴公差d＞0．‎ ‎∴Sn中最小的是S8．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，则m的取值范围（　　）‎ A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】要使不等式x+y≥2m﹣1恒成立，只要求出x+y的最小值，得到关于m的不等式解之即可．‎ ‎【解答】解：x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，‎ 所以（x+y）（+）=10+≥10=16，‎ 当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；‎ 故m的取值范围是（﹣]；‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣3y的最大值为　5　‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．‎ ‎【解答】解：由z=x﹣3y得y=，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：‎ 平移直线y=，‎ 由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，‎ 此时z最大，‎ 由，解得，即C（2，﹣1）．‎ 代入目标函数z=x﹣3y，‎ 得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎14．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则数列的通项an=　2n﹣1　．‎ ‎【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】运用累加法求解：an﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵a1=1，an+1=an+2n，‎ ‎∴a2﹣a1=2，‎ a3﹣a2=22，‎ ‎…‎ an﹣an﹣1=2n﹣1，‎ 相加得：an﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1，‎ an=2n﹣1，‎ 故答案为：2n﹣1，‎ ‎　‎ ‎15．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为　　km．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】根据题意求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长 ‎【解答】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，‎ 在△ABC中，根据正弦定理得：BC==海里，‎ 则这时船与灯塔的距离为海里．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎16．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】先设剪成的小正三角形的边长为x表示出S的解析式，然后求S的最小值，令3﹣x=t，代入整理，利用基本不等式得到最小值．‎ ‎【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S==，（0＜x＜1）‎ 令3﹣x=t，t∈（2，3），‎ ‎∴S===，当且仅当t=即t=2时等号成立；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知等差数列{an}满足a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{bn}且b2=a4，b3=a8‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}前n项的和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由等差数列的性质可知：，求得首项及公差，根据等差数列通项公式即可求得数列{an}的通项公式，即可求得a4，a8，根据等比数列性质求得首项及公比，即可求得数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可知：采用分组求和，根据等比数列及等差数列前n项和公式，即可求得数列{cn}前n项的和Sn．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则由，可得，…‎ 解得：，‎ ‎∴由等差数列通项公式可知：an=a1+（n﹣1）d=n，‎ ‎∴数列{an}的通项公式an=n，‎ ‎∴a4=4，a8=8‎ 设等比数列{bn}的公比为q，则，‎ 解得，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵…‎ ‎∴，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎∴数列{cn}前n项的和Sn=．‎ ‎　‎ ‎18．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．‎ ‎（1）求∠BDA的大小 ‎（2）求BC的长．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知及余弦定理可求cos∠BDA的值，结合角的范围即可得解．‎ ‎（2）由（1）及已知可求∠BDC=30°，利用正弦定理即可得解BC的值．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…‎ ‎=…‎ ‎∴∠BDA=60°…‎ ‎（2）∵AD⊥CD，‎ ‎∴∠BDC=30°…‎ 在△ABC中，由正弦定理得，…‎ ‎∴． …‎ ‎　‎ ‎19．已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．‎ ‎（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集；‎ ‎（2）求不等式f（x）＜0的解集．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）根据一元二次不等式的解法计算即可．‎ ‎（2）对系数a进行讨论，根据一元二次不等式的解法求f（x）＜0的解集．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，依题意得x2﹣3x+2≤0‎ 因式分解为：（x﹣2）（x﹣1）≤0，‎ 解得：x≥1或x≤2．‎ ‎∴1≤x≤2．‎ 不等式的解集为{x|1≤x≤2}．‎ ‎（2）依题意得x2﹣3ax+2a2＜0‎ ‎∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0…‎ 对应方程（x﹣a）（x﹣2a）=0‎ 得x1=a，x2=2a 当a=0时，x∈∅．‎ 当a＞0时，a＜2a，∴a＜x＜2a；‎ 当a＜0时，a＞2a，∴2a＜x＜a；‎ 综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅；‎ 当a＞0时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}；‎ 当a＜0时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}；‎ ‎　‎ ‎20．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由2bsinA=a，以及正弦定理，得sinB，结合B为锐角，即可得解．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理可得：a2+c2﹣ac=36，由a+c=8，解得ac的值，根据三角形面积公式即可得解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由2bsinA=a，以及正弦定理，得sinB=，‎ 又∵B为锐角，‎ ‎∴B=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，‎ ‎∴a2+c2﹣ac=36，‎ ‎∵a+c=8，‎ ‎∴ac=，‎ ‎∴S△ABC==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎21．某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m2，鸡舍侧面的造价为20元/m2，地面及其他费用合计为1800元．‎ ‎（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．‎ ‎（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）分别算出房子的两个侧面积乘以20再加上房子的正面面积乘以40再加上屋顶和地面的造价即为总造价；‎ ‎（2）我们可以先求房屋总造价的函数解析式，利用基本不等式即可求出函数的最小值，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）…‎ ‎=…‎ 定义域是（0，7]…‎ ‎（2）∵，…‎ 当且仅当即x=6时取=…‎ ‎∴y≥80×12+1800=2760…‎ 答：当侧面长度x=6时，总造价最低为2760元．…‎ ‎　‎ ‎22．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=nan﹣n（n﹣1）．‎ ‎（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出an的表达式；‎ ‎（2）设数列的前n项和为Pn，求证：Pn＜；‎ ‎（3）设Cn=，Tn=C1+C2+…+Cn，试比较Tn与的大小．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由Sn=nan﹣n（n﹣1），Sn+1=（n+1）an+1﹣（n+1）n，两式相减整理得：an+1﹣an=2，{an}是以首项为a1=1，公差为2的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得数列{an}通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得，利用裂项相消法，即可求得数列的前n项和为Pn，Pn=；‎ ‎（3），由“错位相减法”即可求得，利用作差法即可求得＞0，即可求得Tn＞．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵Sn=nan﹣n（n﹣1）‎ ‎∴Sn+1=（n+1）an+1﹣（n+1）n…‎ ‎∴an+1=Sn+1﹣Sn=（n+1）an+1﹣nan﹣2n…‎ ‎∴nan+1﹣nan﹣2n=0‎ ‎∴an+1﹣an=2，‎ ‎∴{an}是以首项为a1=1，公差为2的等差数列 …‎ 由等差数列的通项公式可知：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，‎ 数列{an}通项公式an=2n﹣1；…‎ ‎（2）证明：由（1）可得，‎ ‎…‎ ‎=…‎ ‎（3）∴，‎ ‎=，‎ 两式相减得…‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎∴…‎ ‎∴…‎ ‎∵n∈N*，‎ ‎∴2n＞1，‎ ‎∴，‎ ‎∴…‎ ‎　‎