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- 2021-07-01 发布
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高考专题突破
四
高考
中的立体几何问题
考点自测
课时作业
题型分
类
深度剖析
内容索引
考点自测
1.
正三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,
D
为
BC
中点,
E
为
A
1
C
1
中点,则
DE
与平面
A
1
B
1
BA
的位置关系
为
A.
相交
B
.
平行
C.
垂直相交
D
.
不确定
答案
解析
如图取
B
1
C
1
中点为
F
,连接
EF
,
DF
,
DE
,
则
EF
∥
A
1
B
1
,
DF
∥
B
1
B
,
∴
平面
EFD
∥
平面
A
1
B
1
BA
,
∴
DE
∥
平面
A
1
B
1
BA
.
2.
设
x
、
y
、
z
是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:
①
x
、
y
、
z
均为直线;
②
x
、
y
是直线,
z
是平面;
③
z
是直线,
x
、
y
是平面;
④
x
、
y
、
z
均为平面
.
其中使
“
x
⊥
z
且
y
⊥
z
⇒
x
∥
y
”
为真命题
的是
A.
③④
B.
①③
C
.
②③
D
.
①②
由正方体模型可知
①④
为假命题;由线面垂直的性质定理可知
②③
为真命题
.
答案
解析
3.(2016·
成都模拟
)
如图是一个几何体的三视图
(
侧视图中的弧线是半圆
)
,则该几何体的表面积
是
A.20
+
3π
B.24
+
3π
C.20
+
4π
D.24
+
4π
答案
解析
根据几何体的三视图可知,该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体,其中正方体的棱长为
2
,半圆柱的底面半径为
1
,母线长为
2
,故该几何体的表面积为
4
×
5
+
2
×
π
+
2
×
π
=
20
+
3π.
4.(
2017·
沈阳
调研
)
设
α
,
β
,
γ
是三个平面,
a
,
b
是两条不同直线,有下列三个条件:
①
a
∥
γ
,
b
⊂
β
;
②
a
∥
γ
,
b
∥
β
;
③
b
∥
β
,
a
⊂
γ
.
如果命题
“
α
∩
β
=
a
,
b
⊂
γ
,且
________
,则
a
∥
b
”
为真命题,则可以在横线处填入的条件是
________.(
把所有正确的序号填上
)
答案
解析
①
或
③
由线面平行的性质定理可知,
①
正确
;
当
b
∥
β
,
a
⊂
γ
时,
a
和
b
在同一平面内,且没有公共点,所以平行,
③
正确
.
故
应填入的条件为
①
或
③
.
5.
如图,在三棱锥
P
-
ABC
中,
D
,
E
,
F
分别为棱
PC
,
AC
,
AB
的中点
.
若
PA
⊥
AC
,
PA
=
6
,
BC
=
8
,
DF
=
5.
则直线
PA
与平面
DEF
的位置关系是
________
;平面
BDE
与平面
ABC
的位置关系是
________.(
填
“
平行
”
或
“
垂直
”
)
答案
解析
平行
垂直
①
因为
D
,
E
分别为棱
PC
,
AC
的中点,所以
DE
∥
PA
.
又因为
PA
⊄
平面
DEF
,
DE
⊂
平面
DEF
,所以直线
PA
∥
平面
DEF
.
②
因为
D
,
E
,
F
分别为棱
PC
,
AC
,
AB
的中点,
PA
=
6
,
BC
=
8
,
所以
DE
∥
PA
,
DE
=
PA
=
3
,
EF
=
BC
=
4.
又因为
DF
=
5
,故
DF
2
=
DE
2
+
EF
2
,
所以
∠
DEF
=
90°
,即
DE
⊥
EF
.
又
PA
⊥
AC
,
DE
∥
PA
,所以
DE
⊥
AC
.
因为
AC
∩
EF
=
E
,
AC
⊂
平面
ABC
,
EF
⊂
平面
ABC
,
所以
DE
⊥
平面
ABC
,又
DE
⊂
平面
BDE
,
所以平面
BDE
⊥
平面
ABC
.
题型分类 深度剖析
例
1
(2016·
全国甲卷
)
如图,菱形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
,点
E
,
F
分别在
AD
,
CD
上,
AE
=
CF
,
EF
交
BD
于点
H
,将
△
DEF
沿
EF
折到
△
D
′
EF
的位置
.
(1)
证明:
AC
⊥
HD
′
;
题型一 求空间几何体的表面积与体积
证明
由已知得
AC
⊥
BD
,
AD
=
CD
,
故
AC
∥
EF
,由此得
EF
⊥
HD
,折后
EF
与
HD
保持
垂直关系,即
EF
⊥
HD
′
,
所以
AC
⊥
HD
′
.
解答
所以
OH
=
1
,
D
′
H
=
DH
=
3
,
故
OD
′⊥
OH
.
由
(1)
知
AC
⊥
HD
′
,又
AC
⊥
BD
,
BD
∩
HD
′
=
H
,
所以
AC
⊥
平面
DHD
′
,于是
AC
⊥
OD
′
,
又由
OD
′⊥
OH
,
AC
∩
OH
=
O
,所以
OD
′⊥
平面
ABC
.
(1)
若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解
.
其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积
.
(2)
若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解
.
(3)
若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解
.
思维升华
跟踪训练
1
正三棱锥的高为
1
,底面边长为
2
,
内有一个球与它的四个面都相切
(
如图
).
求:
(1)
这个正三棱锥的表面积;
解答
(2)
这个正三棱锥内切球的表面积与体积
.
解答
设正三棱锥
P
-
ABC
的内切球球心为
O
,连接
OP
,
OA
,
OB
,
OC
,而
O
点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径
r
.
∴
V
P
-
ABC
=
V
O
-
PAB
+
V
O
-
PBC
+
V
O
-
PAC
+
V
O
-
ABC
题型二 空间点、线、面的位置关系
例
2
(2016·
济南模拟
)
如图,在三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,侧棱垂直于底面,
AB
⊥
BC
,
AA
1
=
AC
=
2
,
BC
=
1
,
E
,
F
分别是
A
1
C
1
,
BC
的中点
.
(1)
求证:平面
ABE
⊥
平面
B
1
BCC
1
;
证明
在三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,
BB
1
⊥
底面
ABC
.
因为
AB
⊂
平面
ABC
,
所以
BB
1
⊥
AB
.
又因为
AB
⊥
BC
,
BC
∩
BB
1
=
B
,
所以
AB
⊥
平面
B
1
BCC
1
.
又
AB
⊂
平面
ABE
,
所以平面
ABE
⊥
平面
B
1
BCC
1
.
证明
(2)
求证:
C
1
F
∥
平面
ABE
;
方法一
如图
1
,取
AB
中点
G
,连接
EG
,
FG
.
因为
E
,
F
分别是
A
1
C
1
,
BC
的中点,
所以
FG
∥
AC
,且
FG
=
AC
.
因为
AC
∥
A
1
C
1
,且
AC
=
A
1
C
1
,
所以
FG
∥
EC
1
,且
FG
=
EC
1
,
所以四边形
FGEC
1
为平行四边形
,
所以
C
1
F
∥
EG
.
又因为
EG
⊂
平面
ABE
,
C
1
F
⊄
平面
ABE
,
所以
C
1
F
∥
平面
ABE
.
方法二
如图
2
,取
AC
的中点
H
,连接
C
1
H
,
FH
.
因为
H
,
F
分别是
AC
,
BC
的中点,所以
HF
∥
AB
,
又因为
E
,
H
分别是
A
1
C
1
,
AC
的中点,
所以
EC
1
綊
AH
,
所以四边形
EAHC
1
为平行四边形,
所以
C
1
H
∥
AE
,
又
C
1
H
∩
HF
=
H
,
AE
∩
AB
=
A
,
所以平面
ABE
∥
平面
C
1
HF
,
又
C
1
F
⊂
平面
C
1
HF
,
所以
C
1
F
∥
平面
ABE
.
解答
(3)
求三棱锥
E
-
ABC
的体积
.
因为
AA
1
=
AC
=
2
,
BC
=
1
,
AB
⊥
BC
,
所以三棱锥
E
-
ABC
的体积
(1)
①
证明面面垂直,将
“
面面垂直
”
问题转化为
“
线面垂直
”
问题,再将
“
线面垂直
”
问题转化为
“
线线垂直
”
问题
.
②
证明
C
1
F
∥
平面
ABE
:
(
ⅰ
)
利用判定定理,关键是在平面
ABE
中找
(
作
)
出直线
EG
,且满足
C
1
F
∥
EG
.(
ⅱ
)
利用面面平行的性质定理证明线面平行,则先要确定一个平面
C
1
HF
满足面面平行,实施线面平行与面面平行的转化
.
(
2)
计算几何体的体积时,能直接用公式时,关键是确定几何体的高,不能直接用公式时,注意进行体积的转化
.
思维
升华
跟踪训练
2
如图,在三棱锥
S
-
ABC
中,平面
SAB
⊥
平面
SBC
,
AB
⊥
BC
,
AS
=
AB
.
过
A
作
AF
⊥
SB
,垂足为
F
,点
E
,
G
分别是棱
SA
,
SC
的中点
.
求证:
(1)
平面
EFG
∥
平面
ABC
;
证明
由
AS
=
AB
,
AF
⊥
SB
知
F
为
SB
中点,
则
EF
∥
AB
,
FG
∥
BC
,又
EF
∩
FG
=
F
,
AB
∩
BC
=
B
,
因此平面
EFG
∥
平面
ABC
.
(2)
BC
⊥
SA
.
证明
由平面
SAB
⊥
平面
SBC
,平面
SAB
∩
平面
SBC
=
SB
,
AF
⊂
平面
SAB
,
AF
⊥
SB
,
所以
AF
⊥
平面
SBC
,则
AF
⊥
BC
.
又
BC
⊥
AB
,
AF
∩
AB
=
A
,则
BC
⊥
平面
SAB
,
又
SA
⊂
平面
SAB
,因此
BC
⊥
SA
.
题型三 平面图形的翻折问题
例
3
(2015·
陕西
)
如图
1
,在直角梯形
ABCD
中,
AD
∥
BC
,
∠
BAD
=
,
AB
=
BC
=
1
,
AD
=
2
,
E
是
AD
的中点,
O
是
AC
与
BE
的交点
.
将
△
ABE
沿
BE
折起到
△
A
1
BE
的位置,如图
2.
(1)
证明:
CD
⊥
平面
A
1
OC
;
证明
几何画板展示
在题图
1
中,连接
EC
,
因为
AB
=
BC
=
1
,
AD
=
2
,
∠
BAD
=
,
AD
∥
BC
,
E
为
AD
中点,
所以
BC
綊
ED
,
BC
綊
AE
,
所以四边形
BCDE
为平行四边形,故有
CD
∥
BE
,
所以四边形
ABCE
为正方形,所以
BE
⊥
AC
,
即在题图
2
中,
BE
⊥
OA
1
,
BE
⊥
OC
,且
A
1
O
∩
OC
=
O
,
从而
BE
⊥
平面
A
1
OC
,又
CD
∥
BE
,
所以
CD
⊥
平面
A
1
OC
.
(2)
若平面
A
1
BE
⊥
平面
BCDE
,求平面
A
1
BC
与平面
A
1
CD
夹角的余弦值
.
解答
由已知,平面
A
1
BE
⊥
平面
BCDE
,
又由
(1)
知,
BE
⊥
OA
1
,
BE
⊥
OC
,
所以
∠
A
1
OC
为二面角
A
1
-BE
-
C
的平面角,
如图,以
O
为原点,以
OB
,
OC
,
OA
所在的直线为
x
轴,
y
轴,
z
轴,建立空间直角坐标系
,
因为
A
1
B
=
A
1
E
=
BC
=
ED
=
1
,
BC
∥
ED
,
设平面
A
1
BC
的法向量
n
1
=
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,平面
A
1
CD
的法向量
n
2
=
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
,平面
A
1
BC
与平面
A
1
CD
夹角为
θ
,
平面图形的翻折问题,关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况
.
一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化
.
思维
升华
跟踪训练
3
(
2017·
深圳
月考
)
如图
(1)
,四边形
ABCD
为矩形,
PD
⊥
平面
ABCD
,
AB
=
1
,
BC
=
PC
=
2
,作如图
(2)
折叠,折痕
EF
∥
DC
.
其中点
E
,
F
分别在线段
PD
,
PC
上,沿
EF
折叠后,点
P
叠在线段
AD
上的点记为
M
,并且
MF
⊥
CF
.
(1)
证明:
CF
⊥
平面
MDF
;
证明
几何画板展示
因为
PD
⊥
平面
ABCD
,
AD
⊂
平面
ABCD
,
所以
PD
⊥
AD
.
又因为
ABCD
是矩形,
CD
⊥
AD
,
PD
与
CD
交于点
D
,
所以
AD
⊥
平面
PCD
.
又
CF
⊂
平面
PCD
,
所以
AD
⊥
CF
,即
MD
⊥
CF
.
又
MF
⊥
CF
,
MD
∩
MF
=
M
,所以
CF
⊥
平面
MDF
.
解答
(2)
求三棱锥
M
-
CDE
的体积
.
因为
PD
⊥
DC
,
PC
=
2
,
CD
=
1
,
∠
PCD
=
60°
,
如图,过点
F
作
FG
⊥
CD
交
CD
于点
G
,
题型四 立体几何中的存在性问题
例
4
(2016·
邯郸第一中学研究性考试
)
在直棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,
AA
1
=
AB
=
AC
=
1
,
E
,
F
分别是
CC
1
,
BC
的中点,
AE
⊥
A
1
B
1
,
D
为棱
A
1
B
1
上的点
.
(1)
证明:
DF
⊥
AE
.
证明
∵
AE
⊥
A
1
B
1
,
A
1
B
1
∥
AB
,
∴
AE
⊥
AB
.
又
∵
AA
1
⊥
AB
,
AA
1
∩
AE
=
A
,
∴
AB
⊥
平面
A
1
ACC
1
.
又
∵
AC
⊂
平面
A
1
ACC
1
,
∴
AB
⊥
AC
.
以
A
为原点建立如图所示的空间直角坐标系
Axyz
,
即
(
x
,
y
,
z
-
1)
=
λ
(1,0,0)
,则
D
(
λ
,
0,1)
,
(2)
是否存在一点
D
,使得平面
DEF
与平面
ABC
所成的锐二面角的余弦值
为
?
若
存在,说明点
D
的位置;若不存在,说明理由
.
解答
结论:存在一点
D
,使得平面
DEF
与平面
ABC
所成的锐二面角的余弦值
为
.
理由如下:
由题意知平面
ABC
的法向量为
m
=
(0,0,1).
设平面
DEF
的法向量为
n
=
(
x
,
y
,
z
)
,
令
z
=
2(1
-
λ
)
,则
n
=
(3,1
+
2
λ
,
2(1
-
λ
)).
∴
存在满足条件的点
D
,此时
D
为
A
1
B
1
的中点
.
(1)
对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后
在
该
假设
条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论则否定假设
.
(2)
对于探索性问题用向量法比较容易入手
.
一般先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程是否有解的问题,若有解且满足题意则存在,若有解但不满足题意或无解则不存在
.
思维
升华
跟踪训练
4
如图,四棱柱
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,侧棱
A
1
A
⊥
底面
ABCD
,
AB
∥
DC
,
AB
⊥
AD
,
AD
=
CD
=
1
,
AA
1
=
AB
=
2
,
E
为棱
AA
1
的中点
.
(1)
证明:
B
1
C
1
⊥
CE
;
证明
如图,以点
A
为原点,分别以
AD
,
AA
1
,
AB
所在直线为
x
轴,
y
轴,
z
轴建立空间直角坐标系,依题意得
A
(0,0,0)
,
B
(0,0,2)
,
C
(1,0,1)
,
B
1
(0,2,2)
,
C
1
(1,2,1)
,
E
(0,1,0).
解答
(2)
求二面角
B
1
-
CE
-
C
1
的正弦值;
消去
x
,得
y
+
2
z
=
0
,不妨令
z
=
1
,可得一个法向量为
m
=
(
-
3
,-
2,1).
由
(1)
知,
B
1
C
1
⊥
CE
,又
CC
1
⊥
B
1
C
1
,
CC
1
∩
CE
=
C
,可得
B
1
C
1
⊥
平面
CEC
1
,
设平面
B
1
CE
的法向量
m
=
(
x
,
y
,
z
)
,
(3)
设点
M
在线段
C
1
E
上,且直线
AM
与平面
ADD
1
A
1
所成角的正弦值
为
,
求线段
AM
的长
.
解答
设
θ
为直线
AM
与平面
ADD
1
A
1
所成的角,则
课时作业
1.(2016·
北京顺义区一模
)
如图所示,已知平面
α
∩
平面
β
=
l
,
α
⊥
β
.
A
,
B
是直线
l
上的两点,
C
,
D
是平面
β
内的两点,且
AD
⊥
l
,
CB
⊥
l
,
DA
=
4
,
AB
=
6
,
CB
=
8.
P
是平面
α
上的一动点,且有
∠
APD
=
∠
BPC
,则四棱锥
P
-
ABCD
体积的最大值
是
答案
解析
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
由题意知,
△
PAD
,
△
PBC
是直角三角形,
又
∠
APD
=
∠
BPC
,所以
△
PAD
∽△
PBC
.
因为
DA
=
4
,
CB
=
8
,所以
PB
=
2
PA
.
作
PM
⊥
AB
于点
M
,由题意知,
PM
⊥
β
.
令
AM
=
t
(0<
t
<6)
,则
PA
2
-
t
2
=
4
PA
2
-
(6
-
t
)
2
,
所以
PA
2
=
12
-
4
t
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2.(2016·
江西赣中南五校第一次联考
)
已知
m
,
n
是两条不同的直线,
α
,
β
,
γ
是三个不同的平面,则下列命题中正确
的是
A.
若
α
⊥
γ
,
α
⊥
β
,则
γ
∥
β
B
.
若
m
∥
n
,
m
⊂
α
,
n
⊂
β
,则
α
∥
β
C.
若
m
∥
n
,
m
⊥
α
,
n
⊥
β
,则
α
∥
β
D
.
若
m
∥
n
,
m
∥
α
,则
n
∥
α
答案
解析
√
对于
A
,若
α
⊥
γ
,
α
⊥
β
,则
γ
∥
β
或相交
;
对于
B
,若
m
∥
n
,
m
⊂
α
,
n
⊂
β
,则
α
∥
β
或相交
;
对于
D
,若
m
∥
n
,
m
∥
α
,则
n
∥
α
或
n
⊂
α
.
故选
C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3.(2016·
华中师大附中质检
)
已知三棱锥
D
-
ABC
的三个侧面与底面全等,且
AB
=
AC
=
,
BC
=
2
,则二面角
D
-
BC
-
A
的大小为
________.
答案
解析
90°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
如图,取
BC
的中点
E
,连接
AE
,
DE
,
∵
AB
=
AC
,
∴
AE
⊥
BC
.
又三棱锥
D
-
ABC
的三个侧面与底面全等,
∴
BD
=
CD
,
∴
DE
⊥
BC
,
则
∠
AED
是二面角
D
-
BC
-
A
的平面角
.
由
AE
2
+
DE
2
=
AD
2
,知
∠
AED
=
90°.
故二面角
D
-
BC
-
A
的大小为
90°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4.
如图梯形
ABCD
中,
AD
∥
BC
,
∠
ABC
=
90°
,
AD
∶
BC
∶
AB
=
2
∶
3
∶
4
,
E
、
F
分别是
AB
、
CD
的中点,将四边形
ADFE
沿直线
EF
进行翻折,给出四个结论:
①
DF
⊥
BC
;
②
BD
⊥
FC
;
③
平面
DBF
⊥
平面
BFC
;
④
平面
DCF
⊥
平面
BFC
.
在翻折过程中,可能成立的结论是
______.(
填写结论序号
)
②③
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
因为
BC
∥
AD
,
AD
与
DF
相交不垂直,所以
BC
与
DF
不垂直,则
①
错误;设点
D
在平面
BCF
上的射影为点
P
,当
BP
⊥
CF
时就有
BD
⊥
FC
,而
AD
∶
BC
∶
AB
=
2
∶
3
∶
4
,可使条件满足,所以
②
正确
;
当
点
P
落在
BF
上时,
DP
⊂
平面
BDF
,从而平面
BDF
⊥
平
面
BCF
,所以
③
正确
;
因为
点
D
的投影不可能在
FC
上,所以平面
DCF
⊥
平面
BFC
不成立,即
④
错误
.
故答案为
②③
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5.
如图,在正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,点
E
是棱
BC
的中点,点
F
是棱
CD
上的动点,
当
=
______
时,
D
1
E
⊥
平面
AB
1
F
.
1
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
如图,连接
A
1
B
,则
A
1
B
是
D
1
E
在平面
ABB
1
A
1
内的射影
.
∵
AB
1
⊥
A
1
B
,
∴
D
1
E
⊥
AB
1
,
又
∵
D
1
E
⊥
平面
AB
1
F
⇒
D
1
E
⊥
AF
.
连接
DE
,则
DE
是
D
1
E
在底面
ABCD
内的射影,
∴
D
1
E
⊥
AF
⇒
DE
⊥
AF
.
∵
ABCD
是正方形,
E
是
BC
的中点,
∴
当且仅当
F
是
CD
的中点时,
DE
⊥
AF
,
即当点
F
是
CD
的中点时,
D
1
E
⊥
平面
AB
1
F
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6.
如图,在三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
中,
∠
BAC
=
90°
,
AB
=
AC
=
2
,
A
1
A
=
4
,
A
1
在底面
ABC
的射影为
BC
的中点,
D
是
B
1
C
1
的中点
.
(1)
证明:
A
1
D
⊥
平面
A
1
BC
;
证明
1
2
3
4
5
6
7
8
9
设
E
为
BC
的中点,
由题意得
A
1
E
⊥
平面
ABC
,
因为
AE
⊂
平面
ABC
,所以
A
1
E
⊥
AE
.
因为
AB
=
AC
,所以
AE
⊥
BC
.
又
A
1
E
∩
BC
=
E
,故
AE
⊥
平面
A
1
BC
.
由
D
,
E
分别为
B
1
C
1
,
BC
的中点,得
DE
∥
B
1
B
且
DE
=
B
1
B
,从而
DE
∥
A
1
A
且
DE
=
A
1
A
,
所以四边形
A
1
AED
为平行四边形
.
故
A
1
D
∥
AE
.
又因为
AE
⊥
平面
A
1
BC
,所以
A
1
D
⊥
平面
A
1
BC
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解答
(2)
求二面角
A
1
-
BD-B
1
的平面角的余弦值
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
方法一
如图所示,作
A
1
F
⊥
BD
且
A
1
F
∩
BD
=
F
,连接
B
1
F
.
由
AE
=
EB
=
,
∠
A
1
EA
=
∠
A
1
EB
=
90°
,得
A
1
B
=
A
1
A
=
4.
由
A
1
D
=
B
1
D
,
A
1
B
=
B
1
B
,得
△
A
1
DB
与
△
B
1
DB
全等
.
由
A
1
F
⊥
BD
,得
B
1
F
⊥
BD
,
因此
∠
A
1
FB
1
为二面角
A
1
-BD-B
1
的平面角
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
方法二
以
CB
的中点
E
为原点,分别以射线
EA
,
EB
为
x
,
y
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
Exyz
,如图所示
.
由题意知各点坐标如下:
设平面
A
1
BD
的法向量为
m
=
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
平面
B
1
BD
的法向量为
n
=
(
x
2
,
y
2
,
z
2
).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7.(2016·
山东牟平一中期末
)
如图,在四棱柱
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,
AC
⊥
B
1
D
,
BB
1
⊥
底面
ABCD
,
E
,
F
,
H
分别为
AD
,
CD
,
DD
1
的中点,
EF
与
BD
交于点
G
.
(1)
证明:平面
ACD
1
⊥
平面
BB
1
D
;
∵
BB
1
⊥
平面
ABCD
,
AC
⊂
平面
ABCD
,
∴
AC
⊥
BB
1
.
又
AC
⊥
B
1
D
,
BB
1
∩
B
1
D
=
B
1
,
∴
AC
⊥
平面
BB
1
D
.
∵
AC
⊂
平面
ACD
1
,
∴
平面
ACD
1
⊥
平面
BB
1
D
.
证明
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(2)
证明:
GH
∥
平面
ACD
1
.
证明
设
AC
∩
BD
=
O
,连接
OD
1
.
∵
E
,
F
分别为
AD
,
CD
的中点,
EF
∩
OD
=
G
,
∴
G
为
OD
的中点
.
∵
H
为
DD
1
的中点,
∴
HG
∥
OD
1
.
∵
GH
⊄
平面
ACD
1
,
OD
1
⊂
平面
ACD
1
,
∴
GH
∥
平面
ACD
1
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8.(2016·
四川广安第二次诊断
)
如图,在四棱锥
P
-
ABCD
中,
PA
⊥
底面直角梯形
ABCD
,
∠
DAB
为直角,
AD
=
CD
=
2
,
AB
=
1
,
E
,
F
分别为
PC
,
CD
的中点
.
(1)
求证:
CD
⊥
平面
BEF
;
证明
1
2
3
4
5
6
7
8
9
如图,以
A
为原点,
AB
所在直线为
x
轴,
AD
所在直线为
y
轴,
AP
所在直线为
z
轴建立空间直角坐标系,则
A
(0,0,0)
,
B
(1,0,0)
,
C
(2,2,0)
,
D
(0,2,0)
,
F
(1,2,0)
,
设
PA
=
b
,则
P
(0,0
,
b
).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
又
BE
∩
BF
=
B
,由此得
CD
⊥
平面
BEF
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(2)
设
PA
=
k
,且二面角
E
-
BD
-
C
的平面角大于
30°
,求
k
的取值范围
.
解答
1
2
3
4
5
6
7
8
9
设
E
在
xOy
平面上的射影为
G
,过点
G
作
GH
⊥
BD
,垂足为点
H
,连接
EH
,
又
EH
⊂
平面
EGH
,
∴
EH
⊥
BD
,
从而
∠
EHG
即为二面角
E
-
BD
-
C
的平面角
.
由
PA
=
k
,得
P
(0,0
,
k
)
,
E
(1,1
,
)
,
G
(1,1,0).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
即
x
-
2
y
=-
1
.
①
1
2
3
4
5
6
7
8
9
由
k
>0
知
∠
EHG
是锐角,由
∠
EHG
>30°
,
得
tan
∠
EHG
>tan 30°
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9.(
2017·
铁
岭
调研
)
如图所示,平面
ABDE
⊥
平面
ABC
,
△
ABC
是等腰直角三角形,
AC
=
BC
=
4
,四边形
ABDE
是直角梯形,
BD
∥
AE
,
BD
⊥
BA
,
BD
=
AE
=
2
,
O
,
M
分别为
CE
,
AB
的中点
.
(1)
求证:
OD
∥
平面
ABC
;
证明
1
2
3
4
5
6
7
8
9
如图,取
AC
中点
F
,连接
OF
,
FB
.
∵
F
是
AC
中点,
O
为
CE
中点,
∴
OF
∥
DB
且
OF
=
DB
,
∴
四边形
BDOF
是平行四边形,
∴
OD
∥
FB
.
又
∵
FB
⊂
平面
ABC
,
OD
⊄
平面
ABC
,
∴
OD
∥
平面
ABC
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解答
(2)
求直线
CD
和平面
ODM
所成角的正弦值;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∵
平面
ABDE
⊥
平面
ABC
,平面
ABDE
∩
平面
ABC
=
AB
,
DB
⊂
平面
ABDE
,且
BD
⊥
BA
,
∴
DB
⊥
平面
ABC
.
∵
BD
∥
AE
,
∴
EA
⊥
平面
ABC
.
又
△
ABC
是等腰直角三角形,且
AC
=
BC
,
∴∠
ACB
=
90°
,
∴
以
C
为原点,分别以
CA
,
CB
所在直线为
x
,
y
轴,以过点
C
且与平面
ABC
垂直的直线为
z
轴,建立空间直角坐标系,如图所示
.
∵
AC
=
BC
=
4
,
∴
C
(0,0,0)
,
A
(4
,
0,0)
,
B
(0,4,0)
,
D
(0,4,2)
,
E
(4,0,4)
,
O
(2,0,2)
,
M
(2,2,0)
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
设平面
ODM
的法向量为
n
=
(
x
,
y
,
z
)
,
令
x
=
2
,得
y
=
1
,
z
=
1
,
∴
n
=
(2,1,1).
设直线
CD
和平面
ODM
所成角为
θ
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(3)
能否在
EM
上找一点
N
,使得
ON
⊥
平面
ABDE
?若能,请指出点
N
的位置,并加以证明;若不能,请说明理由
.
解答
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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