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- 2021-07-01 发布
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2018-2019学年陕西省商洛市高二下学期期末数学(文)试题
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B.或
C. D.或
【答案】D
【解析】解一元二次不等式化简集合,再进行补集运算,即可得答案;
【详解】
因为
所以或.
故选:D.
【点睛】
本题考查集合的补集运算、一元二次不等式的解法,考查运算求解能力,属于基础题.
2.已知,复数满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用的次幂运算和复数的除法运算,即可得答案;
【详解】
则.
故.
故选:C.
【点睛】
本题考查的次幂运算和复数的除法运算,考查运算求解能力,属于基础题.
3.某学校有2200名学生,现采用系统抽样方法抽取44人,将2200人按1,2,…,2200随机编号,则抽取的44人中,编号落在[101,500]的人数为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】B
【解析】先求出每一个小组的人数,再求编号落在[101,500]的人数.
【详解】
每一个小组的人数为,
所以编号落在[101,500]的人数为.
故选:B
【点睛】
本题主要考查系统抽样,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.
4.已知向量,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意,由向量数量积的计算公式可得cosθ的值,据此分析可得答案.
【详解】
设与的夹角为θ,由、的坐标可得||=5,||=3,•5×0+5×(﹣3)=﹣15,
故, 所以.
故选D
【点睛】
本题考查向量数量积的坐标计算,涉及向量夹角的计算,属于基础题.
5.设满足约束条件 ,则的最大值是( )
A.-3 B.2 C.4 D.6
【答案】D
【解析】先由约束条件画出可行域,再利用线性规划求解.
【详解】
如图即为,满足约束条件的可行域,
由,解得,
由得,
由图易得:当经过可行域的时,直线的纵截距最大,z取得最大值,
所以的最大值为6,
故选.
【点睛】
本题主要考查线性规划求最值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.
6.已知等差数列的前项和,且,则( )
A.4 B.7 C.14 D.
【答案】B
【解析】由题意利用等差数列的定义、通项公式及前项和公式,求出首项和公差的值,可得结论.
【详解】
等差数列的前项和为,且,
,.
再根据,可得,,
则,
故选.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义、通项公式及前项和公式,属于基础题.
7.从数字0,1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直接利用古典概型的概率公式求解.
【详解】
从数字0,1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数有10,12,13,14,20,21,23,24,30,31,32,34,40,41,42,43,共16个,
其中大于30的有31,32,34,40,41,42,43,共7个,
故所求概率为.
故选B
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率的计算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.
8.已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,代入运算即可得解.
【详解】
解:因为,,
所以.
故选:A.
【点睛】
本题考查了两角差的正切公式,属基础题.
9.在长方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取CC1的中点F,连结DF,A1F,EF,推导出四边形BCEF
是平行四边形,从而异面直线AE与A1D所成角即为相交直线DF与A1D所成角,由此能求出异面直线AE与A1D所成角的余弦值.
【详解】
取的中点.连接.
因为为棱的中点,所以,所以四边形为平行四边形.
所以.故异面直线与所成的角即为相交直线与所成的角.
因为,
所以.
所以.即为直角三角形,
从而.
故选D
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
10.设圆 截轴和轴所得的弦分别为和,则四边形的面积是( )
A. B. C. D.8
【答案】C
【解析】先求出|AB|,|CD|,再求四边形的面积.
【详解】
可化为,
令y=0得x=,则,
令x=0得,所以,
四边形的面积.
故答案为:C
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系,考查弦长的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
11.已知函数 在上单调递减,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】等价于在上恒成立,即在上恒成立,再构造函数
并求g(x)的最大值得解.
【详解】
在上恒成立,
则在上恒成立,
令,,
所以在单调递增,
故g(x)的最大值为g(3)=.
故.
故选A
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数研究不等式的恒成立问题,属于基础题.
12.已知三棱锥外接球的表面积为,是边长为1的等边三角形,且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点,则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设球心到平面的距离为,求出外接球的半径R=,再根据求出,再根据求三棱锥的体积.
【详解】
设球心到平面的距离为,
三棱锥外接圆的表面积为,则球的半径为,
所以,故,
由是的中点得:.
故选B
【点睛】
本题主要考查几何体的外接球问题,考查锥体的体积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
二、填空题
13.在正项等比数列中,,,则公比________.
【答案】
【解析】利用等比中项可求出,再由可求出公比.
【详解】
因为,,所以,,解得.
【点睛】
本题考查了等比数列的性质,考查了计算能力,属于基础题.
14.运行如图所示的程序框图,则输出的的值为_____.
【答案】
【解析】模拟程序的运行过程,即可得出程序运行后输出的S值.
【详解】
运行该程序框图,,满足
执行程序满足
执行程序满足
执行程序
不满足,故输出.
故答案为
【点睛】
本题考查了程序框图的运行问题,准确计算是关键,是基础题.
15.已知曲线与轴只有一个交点,则_____.
【答案】
【解析】直接根据函数的解析式,可得,即可得答案;
【详解】
因为的图象可由上下平移得到,
又图象与轴只有一个交点,
故,所以.
故答案为:.
【点睛】
本题考查函数的平移问题,考查对平移知识的理解,属于基础题.
16.设分别为双曲线的左右焦点,过的直线交双曲线左支于两点,且,,,则双曲线的离心率为
__________.
【答案】
【解析】结合双曲线的定义,求出a的值,再由,,得到为直角,求出c的值,即得双曲线的离心率.
【详解】
结合双曲线的定义, ,
又,可得,,
即,
又,,,故为直角,
所以,,
所以双曲线的离心率为.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质,考查离心率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
三、解答题
17.在中,角的对边分别为,.
(1)求;
(2)若,,求的周长.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由余弦定理化简即得A的值;(2)由题得,,再利用正弦定理求出a,c,即得△ABC的周长.
【详解】
解:(1)根据,可得
所以.
又因为,所以.
(2),,所以,,
因为,所以,,
则的周长为.
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
18.如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,且,,,,,,.
(1)证明:平面;
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)先证明,,再证明平面;(2)连接,求出AC,CB的长,再求四棱锥的体积.
【详解】
(1)证明:因为 ,,
所以,即,
同理可得,
因为,所以平面.
(2)解:连接,
,,
.
.
【点睛】
本题主要考查线面垂直关系的证明,考查锥体的体积是计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
19.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程及焦点到准线的距离;
(2)若直线与交于两点,求的值.
【答案】(1),4;(2)16.
【解析】(1)求得双曲线的右焦点,可得抛物线的焦点,则方程以及焦准距可求;(2)联立抛物线方程和直线方程,运用韦达定理,可得所求.
【详解】
(1)双曲线的右焦点的坐标为,
则,即,
所以抛物线C的方程为,
焦点到准线的距离为4.
(2)联立,
得,
因为,所以.
【点睛】
本题考查双曲线的方程和抛物线的方程和性质,考查直线和抛物线方程联立,运用韦达定理,属于基础题.
20.为了研究广大市民对共享单车的使用情况,某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查,得到如下数据:
每周使用次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
4
3
3
7
8
30
女
6
5
4
4
6
20
合计
10
8
7
11
14
50
认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑共享单车”.
(1)分别估算男、女“喜欢骑共享单车”的概率;
(2)请完成下面的2×2列联表,并判断能否有95%把握,认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关.
不喜欢骑共享单车
喜欢骑共享单车
合计
男
女
合计
附表及公式:,其中.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)男用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为,女用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为(2)填表见解析,没有95%的把握认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关
【解析】(1)利用古典概型的概率估算男、女“喜欢骑共享单车”的概率;(2)先完成列联表,再利用独立性检验判断能否有95%把握,认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关.
【详解】
解:(1)由调查数据可知,男用户中“喜欢骑共享单车”的比率为,
因此男用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为.
女用户中“喜欢骑共享单车”的比率为,
因此女用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为.
(2)由图中表格可得列联表如下:
不喜欢骑共享单车
喜欢骑共享单车
合计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100
将列联表代入公式计算得:
所以没有95%的把握认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关.
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率的计算,考查独立性检验,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
21.已知函数.
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)若函数在上的最小值为,求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)利用导数的几何意义求曲线在处的切线方程;(2)由题得,再对m分类讨论求出函数f(x)的最小值,解方程即得m的值.
【详解】
解:(1),则
,,
所以曲线在处的切线方程为,
即.
(2)由,可得
①若,则在上恒成立,即在上单调递减,
则的最小值为,故,不满足,舍去;
②若,则在上恒成立,即在单调递增,
则的最小值为,故,不满足,舍去;
③若,则当时,;当时,,
∴在上单调递减,在上单调递增,
∴的最小值为,解得,满足.
综上可知,实数的值为.
【点睛】
本题主要考查切线方程的求法,考查利用导数求函数的最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属于中档题.
22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)若与相交于两点,,求;
(2)圆的圆心在极轴上,且圆经过极点,若被圆截得的弦长为,求圆的半径.
【答案】(1)6;(2)13.
【解析】(1)将直线参数方程代入圆的直角坐标方程,利用求解得到结果;(2)写出的普通方程并假设圆的直角坐标方程,利用弦长为建立与的关系,再结合圆心到直线距离公式得到方程,解方程求得,即为圆的半径.
【详解】
(1)由,得
将代入,得
设两点对应的参数分别为,则
故
(2)直线的普通方程为
设圆的方程为
圆心到直线的距离为
因为,所以
解得:或(舍)
则圆的半径为
【点睛】
本题考查直线参数方程中参数的几何意义、极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程.解决直线参数方程问题中距离之和或积的关键,是明确直线参数方程标准形式中的参数的几何意义,将距离问题转化为韦达定理的形式.
23.设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)去绝对值,将化为分段函数,解不等式即可;
(2)根据绝对值三角不等式可知,则有,解不等式即可.
【详解】
(1)当时,,
故不等式的解集为;
(2),
,
则或,
解得或,
故的取值范围为.
【点睛】
本题考查解绝对值不等式,考查绝对值三角不等式的应用,属于中档题.