陕西省西安市电子科技大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 14页

‎2019～2020学年度第一学期期中考试高二年级数学试题（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） ‎ ‎1.设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为(　　)‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 23‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作可行域，再结合图象确定最优解，解得结果.‎ ‎【详解】先作可行域，则直线过点A(2,1)时取最小值7，选B.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求最值问题，考查基本分析求解能力，属基本题.‎ ‎2.已知点和点在直线的两侧，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把所给点的坐标代入代数式中，两式的乘积小于0计算即可.‎ ‎【详解】因为点和点在直线的两侧 所以 即 ‎ 解得： ‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查了二元一次不等式与平面区域，平面中直线把平面分成三个部分，直线两侧的点的坐标代入直线方程左侧的代数式的值异号.‎ ‎3.若设、为实数，且，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式转化为指数运算即可求解。‎ ‎【详解】由基本不等式可得，又因为，所以（当且仅当等号成立）‎ 故答案：D ‎【点睛】本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础。‎ ‎4.设，则下列不等式中正确的是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】取，则，，只有B符合．故选B．‎ 考点：基本不等式．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎5.若函数在处取最小值，则等于（ ）‎ A. 3 B. C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.‎ ‎【详解】当时，，则 ‎ ，‎ 当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.不等式的解集是（ )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：且且 ‎，化简得解集为 考点：分式不等式解法 ‎7.方程的两根都大于2，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程的两根都大于2，则其对应的函数与轴的两个交点都在直线的右边，由图象的特征知，应有对称轴大于2，且，解不等式组即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】令，其对称轴为 ‎ 由已知方程的两根都大于2‎ 所以 ，即 ‎ 解得： ‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，考查了一元二次方程的特征，考查将其转化为方程组解参数范围的能力，属于中等题.‎ ‎8.若函数的图象恒在轴上方，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对二次项系数进行讨论，利用二次函数的图像性质，列出不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】当,且时，即，图象恒在轴上方，故成立 当时，函数的图象恒在轴上方，故有 ，解得 ‎ 故的取值范围是 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，关键是对二次项系数进行讨论，属于中等题.‎ ‎9.在中，内角，边长，，则此三角形的面积为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理求出，结合大边对大角确定角为钝角或锐角，进行分类讨论，求出，利用面积公式即可求解.‎ 详解】由正弦定理得：‎ 由于，边长，，则，即为钝角或锐角 所以 ‎ 当为锐角时， ‎ 所以 ‎ 当为钝角时，‎ 所以 则此三角形的面积为或 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，要注意角可能为钝角也可以为锐角，属于基础题.‎ ‎10.在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B），且2sinAcosB＝sinC，‎ ‎∴sin（A－B）＝0．∴A＝B．‎ ‎11.如果数列的前项和为，那么数列的通项公式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用计算即可.‎ ‎【详解】当时，‎ 当时， ‎ 即 ，故数列为等比数列 则 ‎ 因为，所以 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了已知来求，关键是利用来求解，属于基础题.‎ ‎12. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A. B. C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C。‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） ‎ ‎13.若、满足，则的最大值是_______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示过点和定点的直线的斜率，画出不等式表示的平面区域，即可求解.‎ ‎【详解】表示过点和定点的直线的斜率 不等式表示的平面区域如下图所示，点C ‎ 当过定点的直线通过点C时，斜率最大，即 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用线性规划求最值的问题，关键是利用表示的几何意义，属于基础题.‎ ‎14.已知，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，确定，从而得到.‎ ‎【详解】因为，所以 ，解得：‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.‎ ‎15.已知三角形的三边为，，面积，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形面积公式以及余弦定理结合三角函数的平方关系即可求解.‎ ‎【详解】由题意可得：‎ 所以 又因为 ，解得： 或（舍）‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式、余弦定理、三角函数的公式，关键是熟练运用各种公式来解答.‎ ‎16.在数列中,=,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题可得，.‎ 三、解答题（共5小题，每小题14分，共70分） ‎ ‎17.解不等式.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）当时，不等式解集为或；‎ 当时，不等式解集为且；‎ 当时，不等式解集为或；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对因式分解，对根的大小进行讨论，即可求解；‎ ‎(2)由于分母大于0恒成立，所以将原不等式转化为，求解即可得出答案.‎ ‎【详解】（1）∵，∴.‎ ‎①当时，或，不等式解集为或；‎ ‎②当时，不等式为，不等式解集为且；‎ ‎③当时，或，不等式解集为或.‎ ‎（2）对任意实数都成立 所以等价于 即，解得 则不等式的解集为 ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式以及分式不等式的解法，属于基础题.‎ ‎18.已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．‎ ‎(1)当a＝4时，求函数f(x)的最小值；‎ ‎(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）6（2）‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由a＝4，∴f(x)＝＝x＋＋2≥6，当x＝2时，取得等号．即当x＝2时，f(x)min＝6.‎ ‎(2)x∈[1，＋∞)，>0恒成立，即x∈[1，＋∞)，x2＋2x＋a>0恒成立．‎ 等价于a>－x2－2x，当x∈[1，＋∞)时恒成立，‎ 令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，‎ ‎∴a>g(x)max＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a的取值范围是.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎19.已知，，分别为三个内角，，的对边，．‎ ‎（）求．‎ ‎（）若，的面积为，求，．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（）由题意利用正弦定理边化角可得，化简可得，则．‎ ‎（）由题意结合三角形面积公式可得，故，结合余弦定理计算可得，则．‎ 试题解析：‎ ‎（）∵在中，，‎ 利用正弦定理可得，‎ 化简可得，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（）若，的面积为，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 又由余弦定理可得，‎ ‎∴，‎ 故．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？‎ ‎【答案】点B在使∠AOB＝的位置时，四边形OACB面积最大 ‎【解析】‎ 设∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos∠AOB＝12＋22－2×1×2×cosα ‎＝5－4cosα，‎ 于是，四边形OACB的面积为 S＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OBsinα＋AB2‎ ‎＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)‎ ‎＝sinα－cosα＋＝2sin＋.‎ 因为0＜α＜π，所以当α－＝，α＝，即∠AOB＝时，‎ 四边形OACB面积最大 ‎21.已知等差数列满足：，，的前项和为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 设数列公差为,将，表示为的表达式，求解即可得到通项公式；‎ ‎(2)利用裂项求和即可求解.‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为 由已知得，解得.‎ 故数列的通项为.‎ ‎（2）由于 ‎∴.‎ ‎∴.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式以及利用裂项求和来求数列的和，属于中档题.‎