数学卷·2018届广西南宁八中高二上学期期中考试数学文试卷（解析版） 13页

‎2016-2017学年广西南宁八中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．数列{an}中，如果an=3n（n=1，2，3，…），那么这个数列是（　　）‎ A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列 C．首项为3的等比数列 D．首项为1的等比数列 ‎2．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎3．在等比数列{an}中，a1=，q=，an=，则项数n为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎4．不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（　　）‎ A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0‎ ‎5．下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（　　）‎ A．（0，2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣2） D．（2，0）‎ ‎6．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知数列{an}的前n项和Sn=，则a4=（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎8．不等式≥2的解集为（　　）‎ A．[﹣1，0） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）‎ ‎9．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．5 B．3 C．7 D．﹣8‎ ‎10．如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（　　）‎ A． B．4 C．9 D．18‎ ‎11．一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（　　）‎ A．63 B．108 C．75 D．83‎ ‎12．若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（　　）‎ ‎①a+b＜ab ‎ ‎②|a|＞|b|‎ ‎③a＜b ‎ ‎④+＞2．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案填在答题卡相应横线上．‎ ‎13．已知等比数列{an}中，a1•a2•…•a5=32，则a3=　　．‎ ‎14．在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=　　．‎ ‎15．若不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a+b=　　．‎ ‎16．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）在△ABC中，A=120°，a=，S△ABC=，求b，c．‎ ‎18．（12分）已知M={x||5﹣2x|﹣1＜2}，N={x|x2﹣5x+6＜0}‎ 求：（1）M∪N；‎ ‎（2）M∩（∁RN）．‎ ‎19．（12分）已知等比数列{an}中，，求其第4项及前5项和．‎ ‎20．（12分）设{an}为等差数列，Sn是其前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{}的前n项和，‎ ‎（1）求a1和d；‎ ‎（2）求Tn．‎ ‎21．（12分）某工厂修建一个长方体无盖储水池，其容积为1800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为x米．‎ ‎（1）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；‎ ‎（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？‎ ‎22．（12分）设数列{an}的前项n和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．‎ ‎（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式．‎ ‎（2）求数列{an﹣n}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广西南宁八中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．数列{an}中，如果an=3n（n=1，2，3，…），那么这个数列是（　　）‎ A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列 C．首项为3的等比数列 D．首项为1的等比数列 ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】令n=1，代入已知的通项公式，求出a1的值，当n大于等于2时，表示出an﹣1，进而确定出为定值，故此数列为等比数列，可得出首项为a1的值，从而得到正确的选项．‎ ‎【解答】解：∵an=3n，‎ ‎∴当n=1时，a1=3，‎ ‎∴当n≥2时，an﹣1=3n﹣1，‎ ‎∴=3，‎ ‎∴数列{an}为首项是3，公比是3的等比数列．‎ 故选C ‎【点评】此题考查了等比数列的通项公式，其中由当n≥2时，为定值，判断出数列{an}为首项是3，公比是3的等比数列是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】三角形的面积公式．‎ ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】利用三角形面积公式S△ABC=即可得出．‎ ‎【解答】解：S△ABC===．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形面积公式S△ABC=，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．在等比数列{an}中，a1=，q=，an=，则项数n为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据等比数列的通项公式建立等式关系，然后根据指数函数的单调性解指数方程即可求出项数n．‎ ‎【解答】解：∵{an}是等比数列 ‎∴=a1qn﹣1=×==‎ 解得：n=5‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及解指数方程，属于基础题，是对基础知识的考查，是送分题．‎ ‎　‎ ‎4．不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（　　）‎ A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，知a＜0，且△=b2﹣4ac＜0．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，‎ ‎∴a＜0，‎ 且△=b2﹣4ac＜0，‎ 综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了分类讨论及函数的思想解决问题的能力，考查学生掌握解集为R的意义及二次函数的图象与性质，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎5．下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（　　）‎ A．（0，2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣2） D．（2，0）‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】本题考查的是不等式所表示的平面区域内点所满足的条件的问题，解决此问题只需将点代入验证即可 ‎【解答】解：将四个点的坐标分别代入不等式组，‎ 解可得，满足条件的是（0，﹣2），‎ 故选C．‎ ‎【点评】代入验证法是确定点是不是在平面内既简单又省时的一种方法 ‎　‎ ‎6．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0），由余弦定理可求得答案．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4‎ 可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）‎ 由余弦定理可得，=‎ 故选：D ‎【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题．‎ ‎　‎ ‎7．已知数列{an}的前n项和Sn=，则a4=（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；定义法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】根据数列通项公式和前n项和公式的关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵Sn=，‎ ‎∴a4=S4﹣S3=﹣=，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查数列项的求解，根据项和和之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．不等式≥2的解集为（　　）‎ A．[﹣1，0） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法．‎ ‎【解答】解：⇔⇔⇔⇔﹣1≤x＜0‎ 故选A ‎【点评】本题考查简单的分式不等式求解，属基本题．在解题中，要注意等号．‎ ‎　‎ ‎9．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．5 B．3 C．7 D．﹣8‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．‎ ‎【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．‎ ‎　‎ ‎10．如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（　　）‎ A． B．4 C．9 D．18‎ ‎【考点】基本不等式；对数的运算性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用对数的运算法则及对数的性质求出mn的范围，利用基本不等式求出m+n的最值．‎ ‎【解答】解：∵log3m+log3n=4‎ ‎∴m＞0，n＞0，mn=34=81‎ ‎∴m+n ‎ 答案为18‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查对数的运算法则、对数方程的解法、利用基本不等式求最值．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•马山县期中）一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（　　）‎ A．63 B．108 C．75 D．83‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和，求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．‎ 则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48=12，‎ ‎∴第三个n项的和为：=3，‎ ‎∴前3n项的和为60+3=63．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的前n项的和．解题的关键是利用等比数列每k项的和也成等比数列的性质．‎ ‎　‎ ‎12．（2015春•随州期末）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（　　）‎ ‎①a+b＜ab ‎ ‎②|a|＞|b|‎ ‎③a＜b ‎ ‎④+＞2．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由已知条件可得b＜a＜0，利用不等式的性质，逐一分析各选项，从而确定正确答案．‎ ‎【解答】解：∵＜＜0，∴b＜a＜0．‎ ‎∴a+b＜0，ab＞0，|b|＞|a|，故①正确，②③错误．‎ ‎∵a、b同号且a≠b，∴、均为正．‎ ‎∴+＞2=2．‎ 故④正确．‎ ‎∴正确的不等式有2个．‎ 故选B．‎ ‎【点评】依据给定的条件，利用不等式的性质，判断不等式或有关的结论是否成立，是高考考查的重点内容，需熟练掌握．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案填在答题卡相应横线上．‎ ‎13．（2016秋•西乡塘区校级期中）已知等比数列{an}中，a1•a2•…•a5=32，则a3=　2　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式求解．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}中，a1•a2•…•a5=32，‎ ‎∴，解得a3=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的第3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎14．（2006•江苏）在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用正弦定理和题设中的条件求得AC．‎ ‎【解答】解：由正弦定理得，‎ 解得 故答案为4‎ ‎【点评】本题主要考查解三角形的基本知识．已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理 ‎　‎ ‎15．（2016秋•西乡塘区校级期中）若不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a+b=　﹣10　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由题意和三个二次的关系可得，解方程组可得．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，‎ ‎∴a＜0且，解得，‎ ‎∴a+b=﹣12+2=﹣10‎ 故答案为：﹣10‎ ‎【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及韦达定理，属基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（2015秋•湛江校级期中）已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为　an=2n﹣3　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；待定系数法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由已知结合等差中项的概念列式求得a，则等差数列的前三项可求，由此求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得，2（a+1）=（a﹣1）+（2a+3），‎ 解得：a=0．‎ ‎∴等差数列{an}的前三项为﹣1，1，3．‎ 则a1=﹣1，d=2．‎ ‎∴an=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．‎ 故答案为：an=2n﹣3．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）（2013秋•白城期末）在△ABC中，A=120°，a=，S△ABC=，求b，c．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】由 =，可得bc=4 ①．再由余弦定理可得 21=b2+c2+4，即 b2+c2=17 ②．由①②解得 b和c的值．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵A=120°，a=，S△ABC=，∴=，即 bc=4 ①．‎ 再由余弦定理可得 a2=21=b2+c2﹣2bc•cosA=b2+c2+bc=b2+c2+4，∴b2+c2=17 ②．‎ 由①②解得 b=4，c=1； 或者b=1，c=4．‎ ‎【点评】本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•西乡塘区校级期中）已知M={x||5﹣2x|﹣1＜2}，N={x|x2﹣5x+6＜0}‎ 求：（1）M∪N；‎ ‎（2）M∩（∁RN）．‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】先化简M，N，再根据并集和补集和交集的定义即可求出．‎ ‎【解答】解：（1）由|5﹣2x|﹣1＜2，即|5﹣2x|＜3，即﹣3＜5﹣2x＜3，解得1＜x＜4，即M=（1，4），‎ N={x|x2﹣5x+6＜0}=（2，3），‎ ‎∴M∪N=（1，4）‎ ‎（2）∁RN=（﹣∞，2]∪[3，+∞）‎ ‎∴M∩（∁RN）=（1，2]∪[3，4）‎ ‎【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014秋•济南校级期末）已知等比数列{an}中，，求其第4项及前5项和．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】设公比为q，由已知得 ，解得，a1=8，由此利用等比数列的通项公式和前n项和公式能求出其第4项及前5项和．‎ ‎【解答】解：设公比为q，…（1分）‎ 由已知得 …（3分）②‎ 即…‎ ‎②÷①得 ，…（7分）‎ 将代入①得 a1=8，…（8分）‎ ‎∴，…（10分）‎ ‎…（12分）‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•西乡塘区校级期中）设{an}为等差数列，Sn是其前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{}的前n项和，‎ ‎（1）求a1和d；‎ ‎（2）求Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：根据等差数列前n项和的性质可知：S7=7a4=7，S15=15a8=75，求得a4=1，a8=5，由d==1，a4=a1+（4﹣1）d=1，即可求得a1的值；‎ ‎（2）由（1）可知：Sn=na1+=﹣，则=n﹣，当n=1时，=﹣2，数列{}是以﹣2为首项，以为公差的等差数列，根据等差数列前n项和公式即可求得Tn．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，‎ 由等差数列的性质可知：S7=7a4=7，S15=15a8=75，‎ 则a4=1，a8=5，‎ ‎∴d==1，‎ 由a4=a1+（4﹣1）d=1，‎ ‎∴a1=﹣2，‎ ‎∴a1为﹣2，d=1；‎ ‎（2）由（1）可知：等差数列{an}前n项和Sn，Sn=na1+=﹣，‎ ‎=n﹣，‎ 当n=1时，=﹣2，‎ ‎∴数列{}是以﹣2为首项，以为公差的等差数列，‎ ‎∴Tn==，‎ 数列{}的前n项和Tn=．‎ ‎【点评】本题考查等差数列通项公式及前n项和性质，考查等差前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014秋•兰山区期中）某工厂修建一个长方体无盖储水池，其容积为1800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为x米．‎ ‎（1）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；‎ ‎（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【专题】应用题；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）分析题意，本小题是一个建立函数模型的问题，可设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，由题中所给的关系，将此两者用池底长方形长x表示出来．‎ ‎（2）此小题是一个花费最小的问题，依题意，建立起总造价的函数解析式，由解析式的结构发现，此函数的最小值可用基本不等式求最值，从而由等号成立的条件求出池底边长度，得出最佳设计方案．‎ ‎【解答】解：（1）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有S1=600（平方米），‎ 可知，池底长方形宽为米，则S2=6（x+）（平方米），‎ ‎（2）设总造价为y，则y=600×150+6（x+）×120=90000+14400‎ 当且仅当x=，即x=10时取等号，‎ 所以x=10时，总造价最低为90000+14400元．‎ ‎【点评】本题考查函数模型的选择与应用，解题的关键是建立起符合条件的函数模型，故分析清楚问题的逻辑联系是解决问题的重点，此类问题的求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2014春•庆安县校级期末）设数列{an}的前项n和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．‎ ‎（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式．‎ ‎（2）求数列{an﹣n}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）由已知条件推导出a1=3，an=2an﹣1+3，从而得到an+3=2（an﹣1+3），a1+3=6，由此能证明数列{bn}是首项为6，公比为2的等比数列，进而求出an=3•2n﹣3．‎ ‎（2）由an﹣n=3•2n﹣3﹣n，能求出数列{an﹣n}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】（1）证明：∵Sn=2an﹣3n，‎ ‎∴a1=S1=2a1﹣3，解得a1=3，‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣3，‎ ‎∴an=2an﹣1+3，‎ ‎∴an+3=2（an﹣1+3），‎ 又a1+3=6，bn=an+3，‎ ‎∴数列{bn}是首项为6，公比为2的等比数列，‎ ‎∴an+3=6•2n﹣1=3•2n，‎ ‎∴an=3•2n﹣3．‎ ‎（2）解：∵an﹣n=3•2n﹣3﹣n，‎ ‎∴Sn=3×﹣3n﹣‎ ‎=6•2n﹣﹣﹣6．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．‎