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  • 2021-07-01 发布

高中数学选修2-2课时练习第五章 模块检测

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模块检测 一、选择题 ‎1.“金导电、银导电、铜导电、锡导电,所以一切金属都导电”.此推理方法是(  )                   ‎ A.完全归纳推理 B.归纳推理 C.类比推理 D.演绎推理 答案 B 解析 由特殊到一般的推理为归纳推理.故选B.‎ ‎2.(2013·浙江)已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)(  )‎ A.-3+i B.-1+3i C.-3+3i D.-1+i 答案 B 解析 (-1+i)(2-i)=-2+i+2i+1=-1+3i,故选B.‎ ‎3.设f(x)=10x+lg x,则f′(1)等于(  )‎ A.10 B.10ln 10+lg e C.+ln 10 D.11ln 10‎ 答案 B 解析 ∵f′(x)=10xln 10+,∴f′(1)=10ln 10+lg e,故选B.‎ ‎4.若大前提:任何实数的平方都大于0,小前提:a∈R,结论:a2>0,那么这个演绎推理出错在(  )‎ A.大前提 B.小前提 C.推理形式 D.没有出错 答案 A ‎5.观察下列数表规律 则数2 007的箭头方向是(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 因上行奇数是首项为3,公差为4的等差数列,若2 007在上行,则2 007=3+(n-1)·4⇒n=502∈N+.故2 007在上行,又因为在上行奇数的箭头为→an,故选D.‎ ‎6.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,则a,b的值为(  )‎ A.或 B. C. D.以上都不对 答案 B 解析 ∵f′(x)=3x2-2ax-b,∴,‎ 解得或.经检验a=3,b=-3不合题意,应舍去.‎ ‎7.给出下列命题:‎ ‎①dx=dt=b-a(a,b为常数且a0,且a+b+c=1,求证:‎ ‎(1)a2+b2+c2≥;(2)++≤.‎ 证明 (1)∵a2+≥a,b2+≥b,c2+≥c,‎ ‎∴++≥a+b+c=.∴a2+b2+c2≥.‎ ‎(2)∵≤,≤,≤,三式相加得++≤(a+b+c)+ ‎=1,∴++≤.‎ ‎17.是否存在常数a,b,使等式++…+=对一切n∈N+都成立?若不存在,说明理由;若存在,请用数学归纳法证明.‎ 解 若存在常数a,b使等式成立,‎ 则将n=1,n=2代入上式,‎ 有得a=1,b=4,‎ 即有++…+= 对于一切n∈N+都成立.‎ 证明如下:‎ ‎(1)当n=1时,左边==,‎ 右边==,所以等式成立.‎ ‎(2)假设n=k(k≥1,且k∈N+)时等式成立,即 ++…+=,‎ 当n=k+1时,‎ ++…++ ‎=+=· ‎=·=· ‎==,‎ 也就是说,当n=k+1时,等式成立,‎ 综上所述,等式对任何n∈N+都成立.‎ ‎18.(2013·广东)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(其中k∈R).‎ ‎(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当k∈时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.‎ 解 (1)当k=1时,f(x)=(x-1)ex-x2,f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2).‎ 令f′(x)=0,得x1=0,x2=ln 2.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表 x ‎(-∞,0)‎ ‎0‎ ‎(0,ln 2)‎ ln 2‎ ‎(ln 2,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知,函数f(x)的递减区间为(0,ln 2),递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞).‎ ‎(2)f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=xex-2kx=‎ x(ex-2k),令f′(x)=0,得x1=0,x2=ln (2k),‎ 令g(k)=ln(2k)-k,则g′(k)=-1=>0,‎ 所以g(k)在上递增,‎ 所以g(k)≤ln 2-1=ln 2-ln e<0,‎ 从而ln (2k)<k,所以ln(2k)∈[0,k],‎ 所以当x∈(0,ln(2k))时,f′(x)<0;‎ 当x∈(ln(2k),+∞)时,f′(x)>0;‎ 所以M=max{f(0),f(k)}=max{-1,(k-1)ek-k3}‎ 令h(k)=(k-1)ek-k3+1,则h′(k)=k(ek-3k),‎ 令φ(k)=ek-3k,则φ′(k)=ek-3<e-3<0,‎ 所以φ(k)在上递减,‎ 而φ·φ(1)=(e-3)<0,‎ 所以存在x0∈使得φ(x0)=0,‎ 且当k∈时,φ(k)>0,当k∈(x0,1)时φ(k)<0,‎ 所以h(k)在上单调递增,‎ 在(x0,1)上单调递减.‎ 因为h=-+>0,h(1)=0,‎ 所以h(k)≥0在上恒成立,‎ 当且仅当k=1时取得“=”.‎ 综上,函数f(x)在[0,k]上的最大值M=(k-1)ek-k3.‎

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