高中数学选修2-2课时练习第五章 模块检测 8页

模块检测 一、选择题 ‎1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．完全归纳推理 B．归纳推理 C．类比推理 D．演绎推理 答案　B 解析　由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B.‎ ‎2．(2013·浙江)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)(　　)‎ A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i 答案　B 解析　(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选B.‎ ‎3．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于(　　)‎ A．10 B．10ln 10＋lg e C.＋ln 10 D．11ln 10‎ 答案　B 解析　∵f′(x)＝10xln 10＋，∴f′(1)＝10ln 10＋lg e，故选B.‎ ‎4．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在(　　)‎ A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．没有出错 答案　A ‎5．观察下列数表规律 则数2 007的箭头方向是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2 007在上行，则2 007＝3＋(n－1)·4⇒n＝502∈N＋.故2 007在上行，又因为在上行奇数的箭头为→an，故选D.‎ ‎6．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a，b的值为(　　)‎ A.或 B. C. D．以上都不对 答案　B 解析　∵f′(x)＝3x2－2ax－b，∴，‎ 解得或.经检验a＝3，b＝－3不合题意，应舍去．‎ ‎7．给出下列命题：‎ ‎①dx＝dt＝b－a(a，b为常数且a0，且a＋b＋c＝1，求证：‎ ‎(1)a2＋b2＋c2≥；(2)＋＋≤.‎ 证明　(1)∵a2＋≥a，b2＋≥b，c2＋≥c，‎ ‎∴＋＋≥a＋b＋c＝.∴a2＋b2＋c2≥.‎ ‎(2)∵≤，≤，≤，三式相加得＋＋≤(a＋b＋c)＋ ‎＝1，∴＋＋≤.‎ ‎17．是否存在常数a，b，使等式＋＋…＋＝对一切n∈N＋都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．‎ 解　若存在常数a，b使等式成立，‎ 则将n＝1，n＝2代入上式，‎ 有得a＝1，b＝4，‎ 即有＋＋…＋＝ 对于一切n∈N＋都成立．‎ 证明如下：‎ ‎(1)当n＝1时，左边＝＝，‎ 右边＝＝，所以等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时等式成立，即 ＋＋…＋＝，‎ 当n＝k＋1时，‎ ＋＋…＋＋ ‎＝＋＝· ‎＝·＝· ‎＝＝，‎ 也就是说，当n＝k＋1时，等式成立，‎ 综上所述，等式对任何n∈N＋都成立．‎ ‎18．(2013·广东)设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(其中k∈R)．‎ ‎(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)当k∈时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.‎ 解　(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)．‎ 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln 2.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表 x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0，ln 2)‎ ln 2‎ ‎(ln 2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知，函数f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．‎ ‎(2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝‎ x(ex－2k)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln (2k)，‎ 令g(k)＝ln(2k)－k，则g′(k)＝－1＝＞0，‎ 所以g(k)在上递增，‎ 所以g(k)≤ln 2－1＝ln 2－ln e＜0，‎ 从而ln (2k)＜k，所以ln(2k)∈[0，k]，‎ 所以当x∈(0，ln(2k))时，f′(x)＜0；‎ 当x∈(ln(2k)，＋∞)时，f′(x)＞0；‎ 所以M＝max{f(0)，f(k)}＝max{－1，(k－1)ek－k3}‎ 令h(k)＝(k－1)ek－k3＋1，则h′(k)＝k(ek－3k)，‎ 令φ(k)＝ek－3k，则φ′(k)＝ek－3＜e－3＜0，‎ 所以φ(k)在上递减，‎ 而φ·φ(1)＝(e－3)＜0，‎ 所以存在x0∈使得φ(x0)＝0，‎ 且当k∈时，φ(k)＞0，当k∈(x0,1)时φ(k)＜0，‎ 所以h(k)在上单调递增，‎ 在(x0,1)上单调递减．‎ 因为h＝－＋＞0，h(1)＝0，‎ 所以h(k)≥0在上恒成立，‎ 当且仅当k＝1时取得“＝”．‎ 综上，函数f(x)在[0，k]上的最大值M＝(k－1)ek－k3.‎