数学理卷·2018届辽宁省沈阳铁路实验中学高二下学期期中考试（2017-04） 11页

沈阳铁路实验中学2016-2017学年度下学期期中考试 ‎ 高二数学（理）‎ ‎ 时间：120分钟 分数：150分 ‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．已知是实数， 是纯虚数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．不等式的解集与的解集相同，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．函数在实数集上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定 “自然数 中恰有一个偶数”时正确的假设为（ ）‎ A．自然数都是奇数 ‎ B．自然数都是偶数 ‎ C．自然数 中至少有两个偶数 D．自然数 中至少有两个偶数或都是奇数 ‎5．已知，则（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎6．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A．（－∞，－2] B．[－2,2] C．[－2，＋∞） D．[0，＋∞）‎ ‎7．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变成时，左边增加了（ ）‎ A．1项 B．项 C．项 D．项 ‎8．已知定义在上的函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．曲线直线，以及轴所围成的封闭图形的面积是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．下列推理过程属于演绎推理的为（ ）‎ A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某种药物先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验 B．由得出 C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点 D．通项公式形如的数列为等比数列，则数列为等比数列 ‎11．已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．函数在实数集上连续可导，且在上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 (共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.)‎ ‎13．设是虚数单位，则 ．‎ ‎14．定积分 ．‎ ‎15．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是 ．‎ ‎16．观察下列不等式：‎ ‎， ， ， ，‎ 照此规律，第个不等式为 ．‎ 三、解答题（满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ ‎（1）设是两个不相等的正数,若,用综合法证明：；‎ ‎（2）已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，用分析法证明： ＜.‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)=|x－1|‎ ‎(1)解关于x;的不等式f(x)+x2－1>0；‎ ‎(2)若f(x)=－|x+3|＋m，f(x)＜g(x)的解集非空，求实数m的取值范围.‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 已知函数（），.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数， ，求的单调区间和最小值.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知， .‎ ‎（1）若函数在上为单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若当时，对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3．‎ ‎（1）当a＝－2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；‎ ‎（2）设a＞－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知函数且.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间与极值；‎ ‎（2）当时， 恒成立，求的取值范围.‎ 沈阳铁路实验中学2016-2017学年度下学期高二数学期中考试（理）‎ 参考答案 ‎1．A ‎【解析】为纯虚数, ,故选A.‎ ‎2．C ‎【解析】‎ 依题意，，将代入，解得，.‎ ‎3．D ‎【解析】解：由题意可知： ，由题意可知，导函数大于等于零恒成立，即判别式 ，解得： ，‎ 结合选项可知，函数在实数集上单调递增的一个充分不必要条件是 .‎ 本题选择D选项.‎ ‎4．D ‎【解析】‎ 试题分析：反证法证明时首先假设所要证明的结论的反面成立，因此本题中需反设为：自然数 中至少有两个偶数或都是奇数 ‎5．D ‎【解析】 ， ， ，那么 ，故选D.‎ ‎6．C ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，分2种情况讨论；‎ ‎①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；‎ ‎②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（+1），即a≥-（|x|+ ）；‎ 又由|x|+ ≥2，则-（|x|+ ）≤-2；‎ 要使不等式+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可；‎ 综上可得，a的取值范围是[-2，+∞）；‎ ‎7．D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，当时，不等式的左侧为，当时，不等式的左侧为，所以变成时，左边增加了，共有项，故选D.‎ ‎8．D ‎【解析】，由题意得： ，解得： 故选D.‎ ‎9．D ‎【解析】‎ 试题分析：所求面积，选D ‎10．D ‎【解析】‎ 试题分析：所谓演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.对于D, 通项公式形如的数列为等比数列，由于数列的通项公式是形如的数列，所以数列为等比数列，因此选项D推理过程属于演绎推理，故选D.‎ ‎11．D ‎【解析】‎ 由题意得，，则为奇函数且在上单调递增，不等式对任意实数恒成立，则在恒成立，分离参数，又因为（当且仅当时，取等号），则，故选D.‎ ‎12．A ‎【解析】解：令 ，则 ，‎ 据此可知： 单调递减， ，‎ ‎ ，‎ 结合所给选项，只有A选项符合题意.‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：．‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据定积分的几何性质可知，表示圆的上半部分，所以所求定积分等于圆面积的四分之一，即.‎ ‎15．20‎ ‎【解析】因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.‎ ‎16． ‎ ‎【解析】由归纳推理可得，第个不等式为．‎ ‎17．【解析】‎ 试题解析：（1）因为a＞0，b＞0，且a≠b,‎ 所以a+b=（a+b）（）=1+1+＞2+2=4．所以a+b＞4 ‎ ‎（2）因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，‎ 要证明原不等式成立，只需证明 即证b2－ac＜3a2，又b＝－（a＋c），从而只需证明（a＋c）2－ac＜3a2，‎ 即证（a－c）（2a＋c）＞0，‎ 因为a－c＞0,2a＋c＝a＋c＋a＝a－b＞0，‎ 所以（a－c）（2a＋c）＞0成立，故原不等式成立．‎ 考点：综合法与分析法 ‎18．(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)由题意原不等式可化为：‎ ‎ 即：‎ ‎ 由得 ‎ 由得 ‎ 综上原不等式的解为 ‎(Ⅱ)原不等式等价于 令，即，‎ 由，所以，‎ 所以.‎ ‎19．【解析】‎ ‎（1）切线方程为；（2）的单调增区间为，减区间为， 的最小值为..‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，‎ 由即，得，‎ 则的解析式为，即有， ‎ 所以所求切线方程为.‎ ‎（2）∵，∴，‎ 由，得或，‎ 由，得，‎ ‎∵，‎ ‎∴的单调增区间为，减区间为，‎ ‎∵，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎20．（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题解析：‎ ‎（1）定义域为， ，‎ 因为在上为单调函数，则方程在上无实根.‎ 故，则.‎ ‎（2），则，对一切恒成立.‎ 设，则，‎ 当单调递减，‎ 当单调递增.‎ 在上，有唯一极小值，即为最小值.‎ 所以，因为对任意恒成成立，‎ 故.‎ ‎21. 【解析】解：（1）当a＝－2时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0．‎ 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，‎ 则y＝‎ 其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈（0,2）时，y＜0．‎ 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．‎ ‎（2）当x∈时，f（x）＝1＋a．‎ 不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3．所以x≥a－2对x∈都成立．‎ 故≥a－2，即．从而a的取值范围是．‎ ‎22．（1）当时，函数取极大值，无极小值；（2）.‎ ‎【解析】试题解析：‎ ‎（1）当时，函数，‎ ‎，‎ 当时, ，当时， .‎ 所以函数的单调增区间为,单调减区间为，‎ 当时，函数取极大值，无极小值. ‎ ‎（2）令，根据题意，当时， 恒成立.‎ ‎.‎ ‎①当， 时， 恒成立，‎ 所以在上是增函数，且，所以不符合题意；‎ ‎②当， 时， 恒成立，‎ 所以在上是增函数，且，所以不符合题意；‎ ‎③当时， ,恒有,故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，‎ 即,解得，故. ‎ 综上， 的取值范围是.‎