数学卷·2018届四川省资阳市简阳市高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版） 25页

‎2016-2017学年四川省资阳市简阳市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．双曲线的焦点坐标是（　　）‎ A． B． C．（0，±2） D．（±2，0）‎ ‎2．某学校高中部学生中，高一年级有700人，高二年级有500人，高三年级有300人．为了了解该校高中学生的健康状况，用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一年级学生中抽取14人，则n为（　　）‎ A．30 B．40 C．50 D．60‎ ‎3．命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是（　　）‎ A．∃x0＞0，x02﹣x0≤0 B．∃x0＞0，x02﹣x0＞0‎ C．∀x＞0，x2﹣x＞0 D．∀x≤0，x2﹣x＞0‎ ‎4．已知命题p与命题q，若命题：（￢p）∨q为假命题则下列说法正确是（　　）‎ A．p真，q真 B．p假，q真 C．p真，q假 D．p假，q假 ‎5．已知点M（4，t）在抛物线x2=4y上，则点M到焦点的距离为（　　）‎ A．5 B．6 C．4 D．8‎ ‎6．若平面α，β，γ中，α⊥β，则“γ⊥β”是“α∥γ”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于100，则输入的整数k的最大值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是12，则正视图中的x的值是（　　）‎ A．3 B．4 C．9 D．6‎ ‎9．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作x轴的垂线交椭圆于点P，过P与原点O的直线交椭圆于另一点Q，则△F1PQ的周长为（　　）‎ A．4 B．8 C． D．‎ ‎11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个三棱柱的高为（　　）‎ A． a B． a C． a D． a ‎12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，且PQ⊥PF1，若，则双曲线离心率e为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20‎ ‎13．某次数学测验，12名同学分数的茎叶图如图：则这些分数的中位数是　　．‎ ‎14．过点M（1，2）的抛物线的标准方程为　　．‎ ‎15．点P为正四面体ABCD的棱BC上任意一点，则直线AP与直线DC所成角的范围是　　．‎ ‎16．如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，对于下列说法：‎ ‎①|CA|≥|CA1|‎ ‎②经过点A、E、A1、D的球的体积为2π ‎③一定存在某个位置，使DE⊥A1C ‎④|BM|是定值 其中正确的说法是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是AB1、BC1的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线MN∥平面ABCD．‎ ‎（Ⅱ）求B1到平面A1BC1的距离．‎ ‎18．如图：区域A是正方形OABC（含边界），区域B是三角形ABC（含边界）．‎ ‎（Ⅰ）向区域A随机抛掷一粒黄豆，求黄豆落在区域B的概率；‎ ‎（Ⅱ）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x，y）落在区域B的概率．‎ ‎19．已知直线L与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，且线段AB的中点M（3，2）．‎ ‎（Ⅰ）求直线L的方程 ‎（Ⅱ）线段AB的长．‎ ‎20．简阳羊肉汤已入选成都市级非遗项目，成为简阳的名片．当初向各地作了广告推广，同时广告对销售收益也有影响．在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；‎ ‎（Ⅲ）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：‎ 广告投入x（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益y（单位：百万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎7‎ 表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=， =﹣．‎ ‎21．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，．‎ ‎（Ⅰ）线段AB上是否存在点M，使AB⊥平面PCM？并给出证明．‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．‎ ‎22．已知椭圆焦点在x轴上，下顶点为D（0，﹣1），且离心率．经过点M（1，0）的直线L与椭圆交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求|AM|的取值范围．‎ ‎（Ⅲ）在x轴上是否存在定点P，使∠MPA=∠MPB．若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省资阳市简阳市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．双曲线的焦点坐标是（　　）‎ A． B． C．（0，±2） D．（±2，0）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦点位置以及c的值，由此可得其焦点坐标．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，‎ 其焦点在y轴上，且c==2；‎ 则其焦点坐标为（0，±2），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．某学校高中部学生中，高一年级有700人，高二年级有500人，高三年级有300人．为了了解该校高中学生的健康状况，用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一年级学生中抽取14人，则n为（　　）‎ A．30 B．40 C．50 D．60‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义和性质进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由分层抽样的性质可得=，‎ 解得n=30，‎ 故选：A ‎　‎ ‎3．命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是（　　）‎ A．∃x0＞0，x02﹣x0≤0 B．∃x0＞0，x02﹣x0＞0‎ C．∀x＞0，x2﹣x＞0 D．∀x≤0，x2﹣x＞0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．‎ ‎【解答】解：命题是全称命题，‎ 则命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是：‎ ‎∃x0＞0，x02﹣x0＞0，‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．已知命题p与命题q，若命题：（￢p）∨q为假命题则下列说法正确是（　　）‎ A．p真，q真 B．p假，q真 C．p真，q假 D．p假，q假 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由已知中命题：（￢p）∨q为假命题，结合复合命题真假判断的真值表，可得答案．‎ ‎【解答】解：若命题：（￢p）∨q为假命题，‎ 则命题（￢p），q均为假命题，‎ 故命题p为真命题，q为假命题，‎ 故选：C ‎　‎ ‎5．已知点M（4，t）在抛物线x2=4y上，则点M到焦点的距离为（　　）‎ A．5 B．6 C．4 D．8‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】把点M（4，t）代入抛物线方程，解得t．利用抛物线的定义可得：点M到抛物线焦点的距离=t+1．‎ ‎【解答】解：把点M（4，t）代入抛物线方程可得：16=4t，解得t=4．‎ ‎∴点M到抛物线焦点的距离=4+1=5．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．若平面α，β，γ中，α⊥β，则“γ⊥β”是“α∥γ”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由α⊥β，“α∥γ”，可得γ⊥β，而反之不成立，可能α⊥γ．‎ ‎【解答】解：由α⊥β，“α∥γ”，可得γ⊥β，而反之不成立，可能α⊥γ．‎ 因此α⊥β，则“γ⊥β”是“α∥γ”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于100，则输入的整数k的最大值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，即可得解．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=0，n=0‎ 满足条，0≤k，S=3，n=1‎ 满足条件1≤k，S=7，n=2‎ 满足条件2≤k，S=13，n=3‎ 满足条件3≤k，S=23，n=4‎ 满足条件4≤k，S=41，n=5‎ 满足条件5≤k，S=75，n=6‎ 满足条件6≤k，S=141，n=7‎ ‎…‎ 若使输出的结果S不大于100，则输入的整数k不满足条件6≤k，即5≤k＜6，‎ 则输入的整数k的最大值为5．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是12，则正视图中的x的值是（　　）‎ A．3 B．4 C．9 D．6‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，高为x，根据已知中棱锥的体积构造方程，解方程，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，高为x，‎ 棱锥的底面是上底长2，下底长4，高为4的梯形，‎ 故S=×（2+4）×4=12，‎ 又由该几何体的体积是12，‎ ‎∴12=×12x，‎ 即x=3，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】根据题意，设齐王的三匹马分别记为a1，a2，a3，田忌的三匹马分别记为b1，b2，b3，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得齐王胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案．‎ ‎【解答】解：设齐王的三匹马分别记为a1，a2，a3，田忌的三匹马分别记为b1，b2，b3，‎ 齐王与田忌赛马，其情况有：‎ ‎（a1，b1）、（a2，b2）、（a3，b3），齐王获胜；‎ ‎（a1，b1）、（a2，b3）、（a3，b2），齐王获胜；‎ ‎（a2，b1）、（a1，b2）、（a3，b3），齐王获胜；‎ ‎（a2，b1）、（a1，b3）、（a3，b2），田忌获胜；‎ ‎（a3，b1）、（a1，b2）、（a2，b3），齐王获胜；‎ ‎（a3，b1）、（a1，b3）、（a2，b2），齐王获胜；共6种；‎ 则齐王获胜的概率为：p=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作x轴的垂线交椭圆于点P，过P与原点O的直线交椭圆于另一点Q，则△F1PQ的周长为（　　）‎ A．4 B．8 C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知：求得P和Q点坐标，利用两点之间的距离公式，求得丨PQ丨，利用函数的对称性及椭圆的定义求得丨PF1丨+丨QF1丨=4，即可求得△F1‎ PQ的周长．‎ ‎【解答】解：椭圆，a=2，b=，c=1，F1（﹣1，0），F2（1，0），‎ 由PF2⊥F1F2，则P（1，），Q（﹣1，﹣），‎ 则丨PQ丨==，‎ 由题意可知：P关于Q对称，则四边形PF1QF2为平行四边形，丨PF2丨=丨QF1丨，‎ 则丨PF1丨+丨PF2丨=丨QF1丨+丨QF2丨=2a=4，‎ ‎∴丨PF1丨+丨QF1丨=4，‎ ‎∴△F1PQ的周长丨PF1丨+丨QF1丨+丨PQ丨=4+，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1‎ 的中点，以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个三棱柱的高为（　　）‎ A． a B． a C． a D． a ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面ABCD、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PM=RN=QH，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，‎ 以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），‎ ‎∴该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面ABCD、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，‎ 则三这个棱柱的高h=PM=RN=QH，‎ 这个三棱柱的高h=PM===．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，且PQ⊥PF1，若，则双曲线离心率e为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，‎ 由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，‎ 在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，‎ 由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，‎ 由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=|PF1|，‎ 即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|，‎ ‎∴（1﹣+）|PF1|=4a，‎ 解得|PF1|=．‎ ‎|PF2|=|PF1|﹣2a=，‎ 由勾股定理可得：2c=|F1F2|==，‎ 可得e=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20‎ ‎13．某次数学测验，12名同学分数的茎叶图如图：则这些分数的中位数是　80　．‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】根据茎叶图求出中位数即可．‎ ‎【解答】解：由茎叶图得这组数据是：‎ ‎68，69，72，75，78，80，80，83，83，88，91，92，‎ 最中间的2个数是80，80，‎ 故中位数是：80，‎ 故答案为：80．‎ ‎　‎ ‎14．过点M（1，2）的抛物线的标准方程为　y2=4x或x2=y．　．‎ ‎【考点】抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】先根据点的位置确定抛物线焦点的位置，然后分焦点在x轴的正半轴时、焦点在y轴的正半轴时两种情况进行求解．‎ ‎【解答】解：点M（1，2）是第一象限的点 当抛物线的焦点在x轴的正半轴时，设抛物线的方程为y2=2px（p＞0）‎ ‎∴4=2p，p=2，即抛物线的方程是y2=4x；‎ 当抛物线的焦点在y轴的正半轴时，设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）‎ ‎∴1=4p，p=，即抛物线的方程是x2=y．‎ 故答案为：y2=4x或x2=y．‎ ‎　‎ ‎15．点P为正四面体ABCD的棱BC上任意一点，则直线AP与直线DC所成角的范围是　　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】利用两个极限位置，求出直线AP与直线DC所成角，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，P在B处，直线AP与直线DC所成角为，‎ P在C处，直线AP与直线DC所成角为，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎16．如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，对于下列说法：‎ ‎①|CA|≥|CA1|‎ ‎②经过点A、E、A1、D的球的体积为2π ‎③一定存在某个位置，使DE⊥A1C ‎④|BM|是定值 其中正确的说法是　①④　．‎ ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】在①中，在△ADE翻转过程中，始终有|CA|≥|CA1|；在②中，A，D，E是定点，A1是动点，经过点A、E、A1、D的球的体积不是定值；在③中，AC与DE不垂直，从而DE与A1C不垂直；在④中，取DC中点N，连MN，NB，根据余弦定理得到|BM|是定值．‎ ‎【解答】解：在①中，在△ADE翻转过程中，始终有|CA|≥|CA1|，故①正确．‎ 在②中，∵AD=AE=A1D=A1E=1，A，D，E是定点，A1是动点，‎ ‎∴经过点A、E、A1、D的球的体积不是定值，故②错误；‎ 在③中，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，‎ ‎∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确，故③不正确．‎ 在④中，取DC中点N，连MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，‎ ‎∴面MNB∥面A1DE，MB⊂面MNB，∴MB∥面A1DE，故④正确；‎ ‎∠A1DE=∠MNB，MN=是定值，NB=DE是定值，‎ 根据余弦定理得到：MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，‎ ‎∴|BM|是定值，故④正确．‎ 故答案为：①④．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是AB1、BC1的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线MN∥平面ABCD．‎ ‎（Ⅱ）求B1到平面A1BC1的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结B1C、AC，则N也是B1C的中点，证明MN∥AC，利用线面平行的判定定理证明MN∥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）由，求出B1到平面A1BC1的距离．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：连结B1C、AC，则N也是B1C的中点 ‎∴MN是△B1AC的中位线，即有MN∥AC…3‎ ‎∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD ‎∴MN∥平面ABCD…‎ ‎（Ⅱ）解：△A1BC1是边长为的等边三角形，∴…‎ 设B1到平面A1BC1的距离为h，由 得，∴…‎ ‎　‎ ‎18．如图：区域A是正方形OABC（含边界），区域B是三角形ABC（含边界）．‎ ‎（Ⅰ）向区域A随机抛掷一粒黄豆，求黄豆落在区域B的概率；‎ ‎（Ⅱ）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x，y）落在区域B的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；模拟方法估计概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据三角形和正方形的面积之比求出满足条件的概率即可；（Ⅱ）求出落在B内的可能，从而求出满足条件的概率即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）向区域A随机抛掷一枚黄豆，‎ 黄豆落在区域B的概率；‎ ‎（Ⅱ）甲、乙两人各掷一次骰子，‎ 占（x，y）共36种结可能．‎ 其中落在B内的有26种可能，‎ 即（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），‎ ‎（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，2），‎ ‎（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），‎ ‎（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），‎ ‎（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），‎ 点（x，y）落在区B的概率p==．‎ ‎　‎ ‎19．已知直线L与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，且线段AB的中点M（3，2）．‎ ‎（Ⅰ）求直线L的方程 ‎（Ⅱ）线段AB的长．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直线L：y﹣2=k（x﹣3），直线方程与抛物线方程联立化为：k2x2﹣6kx+（2﹣3k）2=0，根据线段AB的中点M（3，2），即可求出k的值，‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=6，利用|AB|=x1+x2+p即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设直线L：y﹣2=k（x﹣3），‎ 由消去y整理得，k2x2﹣6kx+（2﹣3k）2=0‎ 当k=0时，显然不成立．‎ 当k≠0时．，‎ 又得，，‎ ‎∴直线L：y﹣2=x﹣3，即x﹣y﹣1=0；‎ ‎（Ⅱ）又焦点F（1，0）满足直线L：x﹣y﹣1=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 又|AB|=|FA|+|FB|=（x1+1）+（x2+1），‎ x1+x2=6，‎ ‎∴|AB|=8．‎ ‎　‎ ‎20．简阳羊肉汤已入选成都市级非遗项目，成为简阳的名片．当初向各地作了广告推广，同时广告对销售收益也有影响．在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；‎ ‎（Ⅲ）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：‎ 广告投入x（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益y（单位：百万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎7‎ 表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=， =﹣．‎ ‎【考点】线性回归方程；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；‎ ‎（Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）•m=0.5m=1，故m=2；…‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]，‎ 其中点分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，‎ 故可估计平均值为1×0.16+3×0.2+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5；…‎ ‎（Ⅲ）空白栏中填5．‎ 由题意可知，，，，，‎ 根据公式，可求得，，‎ 即回归直线的方程为．…‎ ‎　‎ ‎21．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，．‎ ‎（Ⅰ）线段AB上是否存在点M，使AB⊥平面PCM？并给出证明．‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当m是AB的中点时，推导出AB⊥PM，AB⊥CM，从而得到AB⊥平面PCM．‎ ‎（Ⅱ）取AB中点O，以O为坐标原点，以OC，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当m是AB的中点时，AB⊥平面PCM．‎ 证明如下：‎ ‎∵AP=PB，∴AB⊥PM…‎ 又△ACB中，AB=BC，∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC是正三角形，∴AB⊥CM，‎ 又 PM∩CM=M，∴AB⊥平面PCM．…‎ 解：（Ⅱ）取AB中点O，‎ 由AB=PC=2，，解得PO=1，，‎ ‎∴OP2+OC2=PC2，∴OP⊥OC…‎ 以O为坐标原点，以OC，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直坐标系O﹣xyz，‎ 则B（0，1，0），，P（0，0，1），，‎ ‎∴，，‎ 设平面DCP的一个法向量为，则，，‎ ‎∴，∴，y=0，∴…‎ 设平面BCP的一个法向量为，则，，‎ ‎∴，∴，，‎ ‎∴…‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵二面角B﹣PC﹣D为钝角，‎ ‎∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．…‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆焦点在x轴上，下顶点为D（0，﹣1），且离心率．经过点M（1，0）的直线L与椭圆交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求|AM|的取值范围．‎ ‎（Ⅲ）在x轴上是否存在定点P，使∠MPA=∠MPB．若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为由已知得，又a2=b2+c2，∴a2=3，b2=1，‎ ‎（Ⅱ） 设A（x1，y1），用x1，y1表示|AM|，再利用，求出|AM|的最小值．‎ ‎（Ⅲ）假设x轴上存在定点P（m，0）满足条件，B（x2，y2）．当直线L的斜率存在时，设直线L方程为：y=k（x﹣1）由消去y整理得，（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由∠MPA=∠MPB得kPA+kPB=0，即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为由已知得，‎ 又a2=b2+c2，∴a2=3，b2=1，即椭圆方程为…‎ ‎（Ⅱ） 设A（x1，y1），‎ 即，‎ 又，得 ‎∴所以当x1=时，|AM|的最小值为…6分 ‎（Ⅲ）假设x轴上存在定点P（m，0）满足条件，B（x2，y2）．‎ 当直线L的斜率存在时，设直线L方程为：y=k（x﹣1）‎ 由消去y整理得，（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0…‎ 由∠MPA=∠MPB得kPA+kPB=0，即，…‎ 又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）即=0．‎ ‎，‎ 即m=3，P（3，0）‎ 当直线L的斜率不存在时，也满足条件．‎ ‎∴定点P坐标为（3，0）…‎