- 337.50 KB
- 2021-07-01 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2016-2017学年广东省汕头市潮师高中高二(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1.若集合A={x|﹣2<x<1},B={x|0<x<2},则集合A∩B=( )
A.{x|﹣1<x<1} B.{x|﹣2<x<1} C.{x|﹣2<x<2} D.{x|0<x<1}
2.已知a<b<0,c<d<0,那么下列判断中正确的是( )
A.a﹣c<b﹣d B.ac>bd C. D.ad>bc
3.满足条件的△ABC的个数是( )
A.零个 B.一个 C.两个 D.无数个
4.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点,那么( )
A.D=0,E≠0,F≠0 B.E=F=0,D≠0 C.D=F=0,E≠0 D.D=E=0,F≠0
5.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m
6.如图,△ABC为三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB,则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图(也称主视图)是( )
A. B. C. D.
7.已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动,则2x+4y的最小值是( )
A.8 B.6 C.3 D.4
8.已知x1、x2 是方程4x2﹣4mx+m+2=0的两个实根,当x12+x22 取最小值时,实数m的值是( )
A.2 B. C.﹣ D.﹣1
二.填空题(每小题5分,共30分)
9.空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是(1,1,2)、(2,3,4),则|AB|= .
10.数列,…的一个通项公式是 .
11.某市高三数学抽样考试中,对90分以上(含90分)的成绩进行统计,其频率分布图如如图所示,若130~140分数段的人数为90人,则90~100分数段的人数为 .
12.已知函数f(x)=ax+a﹣x(a>0,且a≠1),若f(1)=3,则f(2)= .
13.直线x﹣2y﹣3=0与圆(x﹣2)2+(y+3)2=9交于E、F两点,则弦长EF= .
14.正方体的全面积是24,则它的外接球的体积是 .
三.解答题(本大题共6小题,解答题应写出文字说明,演算步骤或推证过程)
15.已知函数f(x)=[sin(+x)﹣sinx]2+m.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x)的最大值为3,求m的值.
16.如图,在平行四边形OABC中,点O是原点,点A和点C的坐标分别是(3,0)、(1,3),点D是线段AB上的动点.
(1)求AB所在直线的一般式方程;
(2)当D在线段AB上运动时,求线段CD的中点M的轨迹方程.
17.如图:正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°,∠CBD=30°.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)求二面角D﹣AB﹣C的正切值.
18.已知四棱锥S﹣ABCD,底面为正方形,SA⊥底面ABCD,AB=AS=a,M、N分别为AB、SC中点.
(Ⅰ)求四棱锥S﹣ABCD的表面积;
(Ⅱ)求证:MN∥平面SAD.
19.已知圆C:x2+y2+2x﹣6y+1=0,直线l:x+my=3.
(1)若l与C相切,求m的值;
(2)是否存在m值,使得l与C相交于A、B两点,且(其中O为坐标原点),若存在,求出m,若不存在,请说明理由.
20.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30.数列{bn}满足b1=0,bn=2bn﹣1+1,(n∈N,n≥2),
①求数列{an}的通项公式;
②设Cn=bn+1,求证:{Cn}是等比数列,且{bn}的通项公式;
③设数列{dn}满足,求{dn}的前n项和为Tn.
2016-2017学年广东省汕头市潮师高中高二(上)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1.若集合A={x|﹣2<x<1},B={x|0<x<2},则集合A∩B=( )
A.{x|﹣1<x<1} B.{x|﹣2<x<1} C.{x|﹣2<x<2} D.{x|0<x<1}
【考点】并集及其运算.
【分析】由于两个集合已知,故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可.
【解答】解:A∩B={x|﹣2<x<1}∩{x|0<x<2}={x|0<x<1}.故选D.
2.已知a<b<0,c<d<0,那么下列判断中正确的是( )
A.a﹣c<b﹣d B.ac>bd C. D.ad>bc
【考点】不等式比较大小.
【分析】根据不等式的基本性质,在所给的两个不等式两边同乘以﹣1,得到两个大于零的不等式,同向不等式相乘得到结论.
【解答】解:∵a<b<0,c<d<0,
∴﹣a>﹣b>0,﹣c>﹣d>0,
∴ac>bd
故选B.
3.满足条件的△ABC的个数是( )
A.零个 B.一个 C.两个 D.无数个
【考点】正弦定理.
【分析】利用三角形解的判定方法:即bsinA<a<b,此三角形由两解.即可得出.
【解答】解:∵=3,
∴,即bsinA<a<b.
因此,此三角形由两解.
故选C.
4.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点,那么( )
A.D=0,E≠0,F≠0 B.E=F=0,D≠0 C.D=F=0,E≠0 D.D=E=0,F≠0
【考点】圆的切线方程.
【分析】圆x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为: +=.可得圆心,半径r=.根据圆与x轴切于原点,即可得出.
【解答】解:圆x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为: +=.
圆心,半径r=.
∵圆与x轴切于原点,
∴=0,F=0,≠0,r>0,
解得D=F=0,E≠0.
故选:C.
5.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m
【考点】直线与平面平行的判定.
【分析】根据题意,依次分析选项:A,根据线面垂直的判定定理判断.C:根据线面平行的判定定理判断.D:由线线的位置关系判断.B:由线面垂直的性质定理判断;综合可得答案.
【解答】解:A,根据线面垂直的判定定理,要垂直平面内两条相交直线才行,不正确;
C:l∥α,m⊂α,则l∥m或两线异面,故不正确.
D:平行于同一平面的两直线可能平行,异面,相交,不正确.
B:由线面垂直的性质可知:平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面.故正确.
故选B
6.如图,△ABC为三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB,则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图(也称主视图)是( )
A. B. C. D.
【考点】简单空间图形的三视图.
【分析】根据几何体的三视图的作法,结合图形的形状,直接判定选项即可.
【解答】解:△ABC为三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC,
且3AA′=BB′=CC′=AB,则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图中,
CC′必为虚线,排除B,C,
3AA′=BB′说明右侧高于左侧,排除A.
故选D
7.已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动,则2x+4y的最小值是( )
A.8 B.6 C.3 D.4
【考点】基本不等式.
【分析】利用基本不等式和指数的运算性质即可得出.
【解答】解:∵点(x,y)在直线x+2y=3上移动,∴x+2y=3.
∴2x+4y≥=2==4,当且仅当x=2y=时取等号.
∴2x+4y的最小值是4.
故选:D.
8.已知x1、x2 是方程4x2﹣4mx+m+2=0的两个实根,当x12+x22 取最小值时,实数m的值是( )
A.2 B. C.﹣ D.﹣1
【考点】函数的零点;基本不等式.
【分析】由题意可得判别式△≥0,求得 m≥2,或m≤﹣1.化简x12+x22 的解析式为﹣,再利用二次函数的性质可得此式取最小值时m的值.
【解答】解:由题意可得 x1+x2=m,x1•x2=,△=16m2﹣16(m+2)≥0,∴m≥2,或m≤﹣1.
当x12+x22=﹣2x1•x2=m2﹣=﹣取最小值时,有m=﹣1,
故选D.
二.填空题(每小题5分,共30分)
9.空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是(1,1,2)、(2,3,4),则|AB|= 3 .
【考点】空间两点间的距离公式.
【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可.
【解答】解:因为空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是(1,1,2)、(2,3,4),
所以|AB|==3.
故答案为:3.
10.数列,…的一个通项公式是 .
【考点】数列的函数特性;数列的概念及简单表示法.
【分析】分别判断出分子和分母构成的数列特征,再求出此数列的通项公式.
【解答】解:∵2,4,8,16,32,…是以2为首项和公比的等比数列,
且1,3,5,7,9,…是以1为首项,以2为公差的等差数列,
∴此数列的一个通项公式是,
故答案为:.
11.某市高三数学抽样考试中,对90分以上(含90分)的成绩进行统计,其频率分布图如如图所示,若130~140分数段的人数为90人,则90~100分数段的人数为 810 .
【考点】频率分布直方图.
【分析】先分别求出130~140分数段的频率与90~100分数段的频率,然后根据频率的比值等于人数的比值,求出所求即可.
【解答】解:130~140分数段的频率为0.05,
90~100分数段的频率为0.45,
故90~100分数段的人数为9×90=810.
故答案为:810
12.已知函数f(x)=ax+a﹣x(a>0,且a≠1),若f(1)=3,则f(2)= 7 .
【考点】函数的值.
【分析】由f(1)=3得到a+a﹣1=3,平方后整理即可得到f(2)的值.
【解答】解:由f(x)=ax+a﹣x,且f(1)=3得,
a+a﹣1=3,
所以a2+a﹣2=(a+a﹣1)2﹣2=9﹣2=7.
故答案为7.
13.直线x﹣2y﹣3=0与圆(x﹣2)2+(y+3)2=9交于E、F两点,则弦长EF= 4 .
【考点】点到直线的距离公式;直线与圆的位置关系.
【分析】由圆的方程找出圆心与半径r,利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d,利用垂径定理及勾股定理即可求出弦EF的长.
【解答】解:由圆(x﹣2)2+(y+3)2=9,得到圆心坐标为(2,﹣3),半径r=3,
∵圆心(2,﹣3)到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==,
∴弦EF=2=4.
故答案为:4
14.正方体的全面积是24,则它的外接球的体积是 4π .
【考点】球的体积和表面积;球内接多面体.
【分析】通过正方体的表面积,先求球的内接正方体的棱长,再求正方体的对角线的长,就是球的直径,然后求其体积.
【解答】解:设正方形的棱长为a,
∵球的内接正方体的表面积为24,
即6a2=24,∴a=2,
所以正方体的棱长是:2
正方体的对角线2,所以球的半径R是
所以球的体积: R3=()3=4π,
故答案为:.
三.解答题(本大题共6小题,解答题应写出文字说明,演算步骤或推证过程)
15.已知函数f(x)=[sin(+x)﹣sinx]2+m.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x)的最大值为3,求m的值.
【考点】正弦函数的定义域和值域;三角函数的化简求值;三角函数的周期性及其求法.
【分析】先对原函数进行整理得到f(x)=1﹣sin2x+m;
(1)直接代入周期计算公式即可;
(2)直接把sin2x=﹣1代入即可求出结论.
【解答】解:因为f(x)=(cosx﹣sinx)2+m…
=cos2x+sin2x﹣2cosx•sinx+m…
=1﹣sin2x+m…
(1)f(x)的最小正周期为T==π. …
(2)当sin2x=﹣1时f(x)有最大值为2+m,…
∴2+m=3,
∴m=1.…
16.如图,在平行四边形OABC中,点O是原点,点A和点C的坐标分别是(3,0)、(1,3),点D是线段AB上的动点.
(1)求AB所在直线的一般式方程;
(2)当D在线段AB上运动时,求线段CD的中点M的轨迹方程.
【考点】与直线有关的动点轨迹方程;直线的一般式方程.
【分析】(1)求出AB 所在直线的向量,然后求出AB所在的直线方程;
(2)设点M的坐标是(x,y),点D的坐标是(x0,y0),利用平行四边形,推出M与D坐标关系,利用当D在线段AB上运动,求线段CD的中点M的轨迹方程.
【解答】(本小题满分10分)
解:(1)∵AB∥OC,∴AD所在直线的斜率为:KAB=KOC==3.
∴AB所在直线方程是y﹣0=3(x﹣3),即3x﹣y﹣9=0.
(2):设点M的坐标是(x,y),点D的坐标是(x0,y0),
由平行四边形的性质得点B的坐标是(4,6),
∵M是线段CD的中点,∴x=,y=,
于是有x0=2x﹣1,y0=2y﹣3,
∵点D在线段AB上运动,
∴3x0﹣y0﹣9=0,(3≤x0≤4),
∴3(2x﹣1)﹣(2y﹣3)﹣9=0
即6x﹣2y﹣9=0,(2≤x≤).
17.如图:正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°,∠CBD=30°.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)求二面角D﹣AB﹣C的正切值.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(1)利用平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,可得DC⊥平面ABC,利用线面垂直的性质,可得DC⊥AB;
(2)过C作CE⊥AB于E,连接ED,可证∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角.设CD=a,则BC==,从而EC=BCsin60°=,在Rt△DEC中,可求tan∠DEC.
【解答】(1)证明:∵DC⊥BC,且平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,
∴DC⊥平面ABC,
又AB⊂平面ABC,
∴DC⊥AB.…
(2)解:过C作CE⊥AB于E,连接ED,
∵AB⊥CD,AB⊥EC,CD∩EC=C,
∴AB⊥平面ECD,
又DE⊂平面ECD,∴AB⊥ED,
∴∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角,…
设CD=a,则BC==,
∵△ABC是正三角形,
∴EC=BCsin60°=,
在Rt△DEC中,tan∠DEC=.…
18.已知四棱锥S﹣ABCD,底面为正方形,SA⊥底面ABCD,AB=AS=a,M、N分别为AB、SC中点.
(Ⅰ)求四棱锥S﹣ABCD的表面积;
(Ⅱ)求证:MN∥平面SAD.
【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】(Ⅰ)由条件可得△SAB≌△SAD,△SBC≌△SCD,再根据S表面积=2S△SAB+2S△SBC+SABCD 运算求得结果.
(Ⅱ)取SD中点P,利用三角形的中位线的性质证得AMNP是平行四边形,可得MN∥AP.再根据直线和平面平行的判定的定理证得MN∥平面SAD.
【解答】解:(Ⅰ)∵SA⊥底面ABCD,∴SA⊥AB,SA⊥AD,SA⊥BC.
又BC⊥AB,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥SB,同理,CD⊥SD,
∴△SAB≌△SAD,△SBC≌△SCD.
又∵SB=a,∴S表面积=2S△SAB+2S△SBC+SABCD
=.
(Ⅱ)取SD中点P,连接MN、NP、PA,则NP=CD,且NP∥CD.
又AM=CD,且AM∥CD,∴NP=AM,NP∥AM,∴AMNP是平行四边形.
∴MN∥AP,而AP⊂平面SAD,MN不在平面SAD内,∴MN∥平面SAD.
19.已知圆C:x2+y2+2x﹣6y+1=0,直线l:x+my=3.
(1)若l与C相切,求m的值;
(2)是否存在m值,使得l与C相交于A、B两点,且(其中O为坐标原点),若存在,求出m,若不存在,请说明理由.
【考点】直线和圆的方程的应用.
【分析】(1)将圆的方程转化为标准方程,求得圆心和半径,由圆心到直线的距离等于半径来求解.
(Ⅱ)先假设存在m,由圆的方程和直线方程联立由韦达定理分别求得x1x2,y1y2由,求解,然后,再由判别式骓即可.
【解答】解:(1)由圆方程配方得(x+1)2+(y﹣3)2=9,
圆心为C(﹣1,3),半径为r=3,
若l与C相切,则得=3,
∴(3m﹣4)2=9(1+m2),
∴m=.
(2)假设存在m满足题意.
由x2+y2+2x﹣6y+1=0,x=3﹣my
消去x得(m2+1)y2﹣(8m+6)y+16=0,
由△=(8m+6)2﹣4(m2+1)•16>0,得m>,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=,y1y2=.
=x1x2+y1y2
=(3﹣my1)(3﹣my2)+y1y2
=9﹣3m(y1+y2)+(m2+1)y1y2
=9﹣3m•+(m2+1)•
=25﹣=0
24m2+18m=25m2+25,m2﹣18m+25=0,
∴m=9±2,适合m>,
∴存在m=9±2符合要求.
20.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30.数列{bn}满足b1=0,bn=2bn﹣1+1,(n∈N,n≥2),
①求数列{an}的通项公式;
②设Cn=bn+1,求证:{Cn}是等比数列,且{bn}的通项公式;
③设数列{dn}满足,求{dn}的前n项和为Tn.
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比关系的确定;数列递推式.
【分析】①等差数列{an}中,依题意,解关于首项a1与公差d的方程组,即可求得数列{an}的通项公式;
②可求得=2(n≥2,n∈N),c1=b1+1=1,从而可确定{cn}是以1为首项,2为公比的等比数列,继而可得{bn}的通项公式;
③通过裂项法可求得dn=(﹣)+2n﹣1﹣1,再利用分组求和、公式法求和即可求得{dn}的前n项和为Tn.
【解答】解:①由a2=a1+d=4,S5=5a1+d=30得:a1=2,d=2,
∴an=2+2(n﹣1)=2n…
②∵bn=2bn﹣1+1,cn=bn+1,
∴===2(n≥2,n∈N)
∴{cn}是以2为公比的等比数列.
又∵c1=b1+1=1,
∴cn=bn+1=1×2n﹣1=2n﹣1,
∴bn=2n﹣1﹣1…
③∵dn=+bn=+2n﹣1﹣1=(﹣)+2n﹣1﹣1,
∴Tn=[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)]+(1+2+22+…+2n﹣1)﹣n
=(1﹣)+﹣n
=2n﹣n﹣