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  • 2021-07-01 发布

数学卷·2018届广东省汕头市潮师高中高二上学期期中数学试卷(理科) (解析版)

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‎2016-2017学年广东省汕头市潮师高中高二(上)期中数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1.若集合A={x|﹣2<x<1},B={x|0<x<2},则集合A∩B=(  )‎ A.{x|﹣1<x<1} B.{x|﹣2<x<1} C.{x|﹣2<x<2} D.{x|0<x<1}‎ ‎2.已知a<b<0,c<d<0,那么下列判断中正确的是(  )‎ A.a﹣c<b﹣d B.ac>bd C. D.ad>bc ‎3.满足条件的△ABC的个数是(  )‎ A.零个 B.一个 C.两个 D.无数个 ‎4.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点,那么(  )‎ A.D=0,E≠0,F≠0 B.E=F=0,D≠0 C.D=F=0,E≠0 D.D=E=0,F≠0‎ ‎5.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(  )‎ A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α C.若l∥α,m⊂α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m ‎6.如图,△ABC为三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB,则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图(也称主视图)是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动,则2x+4y的最小值是(  )‎ A.8 B.6 C.3 D.4‎ ‎8.已知x1、x2 是方程4x2﹣4mx+m+2=0的两个实根,当x12+x22 取最小值时,实数m的值是(  )‎ A.2 B. C.﹣ D.﹣1‎ ‎ ‎ 二.填空题(每小题5分,共30分)‎ ‎9.空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是(1,1,2)、(2,3,4),则|AB|=  .‎ ‎10.数列,…的一个通项公式是  .‎ ‎11.某市高三数学抽样考试中,对90分以上(含90分)的成绩进行统计,其频率分布图如如图所示,若130~140分数段的人数为90人,则90~100分数段的人数为  .‎ ‎12.已知函数f(x)=ax+a﹣x(a>0,且a≠1),若f(1)=3,则f(2)=  .‎ ‎13.直线x﹣2y﹣3=0与圆(x﹣2)2+(y+3)2=9交于E、F两点,则弦长EF=  .‎ ‎14.正方体的全面积是24,则它的外接球的体积是  .‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共6小题,解答题应写出文字说明,演算步骤或推证过程)‎ ‎15.已知函数f(x)=[sin(+x)﹣sinx]2+m.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若f(x)的最大值为3,求m的值.‎ ‎16.如图,在平行四边形OABC中,点O是原点,点A和点C的坐标分别是(3,0)、(1,3),点D是线段AB上的动点.‎ ‎(1)求AB所在直线的一般式方程;‎ ‎(2)当D在线段AB上运动时,求线段CD的中点M的轨迹方程.‎ ‎17.如图:正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°,∠CBD=30°.‎ ‎(1)求证:AB⊥CD;‎ ‎(2)求二面角D﹣AB﹣C的正切值.‎ ‎18.已知四棱锥S﹣ABCD,底面为正方形,SA⊥底面ABCD,AB=AS=a,M、N分别为AB、SC中点.‎ ‎(Ⅰ)求四棱锥S﹣ABCD的表面积;‎ ‎(Ⅱ)求证:MN∥平面SAD.‎ ‎19.已知圆C:x2+y2+2x﹣6y+1=0,直线l:x+my=3.‎ ‎(1)若l与C相切,求m的值;‎ ‎(2)是否存在m值,使得l与C相交于A、B两点,且(其中O为坐标原点),若存在,求出m,若不存在,请说明理由.‎ ‎20.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30.数列{bn}满足b1=0,bn=2bn﹣1+1,(n∈N,n≥2),‎ ‎①求数列{an}的通项公式;‎ ‎②设Cn=bn+1,求证:{Cn}是等比数列,且{bn}的通项公式;‎ ‎③设数列{dn}满足,求{dn}的前n项和为Tn.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年广东省汕头市潮师高中高二(上)期中数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1.若集合A={x|﹣2<x<1},B={x|0<x<2},则集合A∩B=(  )‎ A.{x|﹣1<x<1} B.{x|﹣2<x<1} C.{x|﹣2<x<2} D.{x|0<x<1}‎ ‎【考点】并集及其运算.‎ ‎【分析】由于两个集合已知,故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可.‎ ‎【解答】解:A∩B={x|﹣2<x<1}∩{x|0<x<2}={x|0<x<1}.故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.已知a<b<0,c<d<0,那么下列判断中正确的是(  )‎ A.a﹣c<b﹣d B.ac>bd C. D.ad>bc ‎【考点】不等式比较大小.‎ ‎【分析】根据不等式的基本性质,在所给的两个不等式两边同乘以﹣1,得到两个大于零的不等式,同向不等式相乘得到结论.‎ ‎【解答】解:∵a<b<0,c<d<0,‎ ‎∴﹣a>﹣b>0,﹣c>﹣d>0,‎ ‎∴ac>bd 故选B.‎ ‎ ‎ ‎3.满足条件的△ABC的个数是(  )‎ A.零个 B.一个 C.两个 D.无数个 ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】利用三角形解的判定方法:即bsinA<a<b,此三角形由两解.即可得出.‎ ‎【解答】解:∵=3,‎ ‎∴,即bsinA<a<b.‎ 因此,此三角形由两解.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎4.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点,那么(  )‎ A.D=0,E≠0,F≠0 B.E=F=0,D≠0 C.D=F=0,E≠0 D.D=E=0,F≠0‎ ‎【考点】圆的切线方程.‎ ‎【分析】圆x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为: +=.可得圆心,半径r=.根据圆与x轴切于原点,即可得出.‎ ‎【解答】解:圆x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为: +=.‎ 圆心,半径r=.‎ ‎∵圆与x轴切于原点,‎ ‎∴=0,F=0,≠0,r>0,‎ 解得D=F=0,E≠0.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(  )‎ A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α C.若l∥α,m⊂α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m ‎【考点】直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】根据题意,依次分析选项:A,根据线面垂直的判定定理判断.C:根据线面平行的判定定理判断.D:由线线的位置关系判断.B:由线面垂直的性质定理判断;综合可得答案.‎ ‎【解答】解:A,根据线面垂直的判定定理,要垂直平面内两条相交直线才行,不正确;‎ C:l∥α,m⊂α,则l∥m或两线异面,故不正确.‎ D:平行于同一平面的两直线可能平行,异面,相交,不正确.‎ B:由线面垂直的性质可知:平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面.故正确.‎ 故选B ‎ ‎ ‎6.如图,△ABC为三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB,则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图(也称主视图)是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图.‎ ‎【分析】根据几何体的三视图的作法,结合图形的形状,直接判定选项即可.‎ ‎【解答】解:△ABC为三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC,‎ 且3AA′=BB′=CC′=AB,则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图中,‎ CC′必为虚线,排除B,C,‎ ‎3AA′=BB′说明右侧高于左侧,排除A.‎ 故选D ‎ ‎ ‎7.已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动,则2x+4y的最小值是(  )‎ A.8 B.6 C.3 D.4‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】利用基本不等式和指数的运算性质即可得出.‎ ‎【解答】解:∵点(x,y)在直线x+2y=3上移动,∴x+2y=3.‎ ‎∴2x+4y≥=2==4,当且仅当x=2y=时取等号.‎ ‎∴2x+4y的最小值是4.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.已知x1、x2 是方程4x2﹣4mx+m+2=0的两个实根,当x12+x22 取最小值时,实数m的值是(  )‎ A.2 B. C.﹣ D.﹣1‎ ‎【考点】函数的零点;基本不等式.‎ ‎【分析】由题意可得判别式△≥0,求得 m≥2,或m≤﹣1.化简x12+x22 的解析式为﹣,再利用二次函数的性质可得此式取最小值时m的值.‎ ‎【解答】解:由题意可得 x1+x2=m,x1•x2=,△=16m2﹣16(m+2)≥0,∴m≥2,或m≤﹣1.‎ 当x12+x22=﹣2x1•x2=m2﹣=﹣取最小值时,有m=﹣1,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二.填空题(每小题5分,共30分)‎ ‎9.空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是(1,1,2)、(2,3,4),则|AB|= 3 .‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式.‎ ‎【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可.‎ ‎【解答】解:因为空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是(1,1,2)、(2,3,4),‎ 所以|AB|==3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎10.数列,…的一个通项公式是  .‎ ‎【考点】数列的函数特性;数列的概念及简单表示法.‎ ‎【分析】分别判断出分子和分母构成的数列特征,再求出此数列的通项公式.‎ ‎【解答】解:∵2,4,8,16,32,…是以2为首项和公比的等比数列,‎ 且1,3,5,7,9,…是以1为首项,以2为公差的等差数列,‎ ‎∴此数列的一个通项公式是,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎11.某市高三数学抽样考试中,对90分以上(含90分)的成绩进行统计,其频率分布图如如图所示,若130~140分数段的人数为90人,则90~100分数段的人数为 810 .‎ ‎【考点】频率分布直方图.‎ ‎【分析】先分别求出130~140分数段的频率与90~100分数段的频率,然后根据频率的比值等于人数的比值,求出所求即可.‎ ‎【解答】解:130~140分数段的频率为0.05,‎ ‎90~100分数段的频率为0.45,‎ 故90~100分数段的人数为9×90=810.‎ 故答案为:810‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=ax+a﹣x(a>0,且a≠1),若f(1)=3,则f(2)= 7 .‎ ‎【考点】函数的值.‎ ‎【分析】由f(1)=3得到a+a﹣1=3,平方后整理即可得到f(2)的值.‎ ‎【解答】解:由f(x)=ax+a﹣x,且f(1)=3得,‎ a+a﹣1=3,‎ 所以a2+a﹣2=(a+a﹣1)2﹣2=9﹣2=7.‎ 故答案为7.‎ ‎ ‎ ‎13.直线x﹣2y﹣3=0与圆(x﹣2)2+(y+3)2=9交于E、F两点,则弦长EF= 4 .‎ ‎【考点】点到直线的距离公式;直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】由圆的方程找出圆心与半径r,利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d,利用垂径定理及勾股定理即可求出弦EF的长.‎ ‎【解答】解:由圆(x﹣2)2+(y+3)2=9,得到圆心坐标为(2,﹣3),半径r=3,‎ ‎∵圆心(2,﹣3)到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==,‎ ‎∴弦EF=2=4.‎ 故答案为:4‎ ‎ ‎ ‎14.正方体的全面积是24,则它的外接球的体积是 4π .‎ ‎【考点】球的体积和表面积;球内接多面体.‎ ‎【分析】通过正方体的表面积,先求球的内接正方体的棱长,再求正方体的对角线的长,就是球的直径,然后求其体积.‎ ‎【解答】解:设正方形的棱长为a,‎ ‎∵球的内接正方体的表面积为24,‎ 即6a2=24,∴a=2,‎ 所以正方体的棱长是:2‎ 正方体的对角线2,所以球的半径R是 ‎ 所以球的体积: R3=()3=4π,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共6小题,解答题应写出文字说明,演算步骤或推证过程)‎ ‎15.已知函数f(x)=[sin(+x)﹣sinx]2+m.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若f(x)的最大值为3,求m的值.‎ ‎【考点】正弦函数的定义域和值域;三角函数的化简求值;三角函数的周期性及其求法.‎ ‎【分析】先对原函数进行整理得到f(x)=1﹣sin2x+m;‎ ‎(1)直接代入周期计算公式即可;‎ ‎(2)直接把sin2x=﹣1代入即可求出结论.‎ ‎【解答】解:因为f(x)=(cosx﹣sinx)2+m…‎ ‎=cos2x+sin2x﹣2cosx•sinx+m…‎ ‎=1﹣sin2x+m…‎ ‎(1)f(x)的最小正周期为T==π. …‎ ‎(2)当sin2x=﹣1时f(x)有最大值为2+m,…‎ ‎∴2+m=3,‎ ‎∴m=1.…‎ ‎ ‎ ‎16.如图,在平行四边形OABC中,点O是原点,点A和点C的坐标分别是(3,0)、(1,3),点D是线段AB上的动点.‎ ‎(1)求AB所在直线的一般式方程;‎ ‎(2)当D在线段AB上运动时,求线段CD的中点M的轨迹方程.‎ ‎【考点】与直线有关的动点轨迹方程;直线的一般式方程.‎ ‎【分析】(1)求出AB 所在直线的向量,然后求出AB所在的直线方程;‎ ‎(2)设点M的坐标是(x,y),点D的坐标是(x0,y0),利用平行四边形,推出M与D坐标关系,利用当D在线段AB上运动,求线段CD的中点M的轨迹方程.‎ ‎【解答】(本小题满分10分)‎ 解:(1)∵AB∥OC,∴AD所在直线的斜率为:KAB=KOC==3.‎ ‎∴AB所在直线方程是y﹣0=3(x﹣3),即3x﹣y﹣9=0.‎ ‎(2):设点M的坐标是(x,y),点D的坐标是(x0,y0),‎ 由平行四边形的性质得点B的坐标是(4,6),‎ ‎∵M是线段CD的中点,∴x=,y=,‎ 于是有x0=2x﹣1,y0=2y﹣3,‎ ‎∵点D在线段AB上运动,‎ ‎∴3x0﹣y0﹣9=0,(3≤x0≤4),‎ ‎∴3(2x﹣1)﹣(2y﹣3)﹣9=0‎ 即6x﹣2y﹣9=0,(2≤x≤).‎ ‎ ‎ ‎17.如图:正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°,∠CBD=30°.‎ ‎(1)求证:AB⊥CD;‎ ‎(2)求二面角D﹣AB﹣C的正切值.‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系.‎ ‎【分析】(1)利用平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,可得DC⊥平面ABC,利用线面垂直的性质,可得DC⊥AB;‎ ‎(2)过C作CE⊥AB于E,连接ED,可证∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角.设CD=a,则BC==,从而EC=BCsin60°=,在Rt△DEC中,可求tan∠DEC.‎ ‎【解答】(1)证明:∵DC⊥BC,且平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,‎ ‎∴DC⊥平面ABC,‎ 又AB⊂平面ABC,‎ ‎∴DC⊥AB.…‎ ‎(2)解:过C作CE⊥AB于E,连接ED,‎ ‎∵AB⊥CD,AB⊥EC,CD∩EC=C,‎ ‎∴AB⊥平面ECD,‎ 又DE⊂平面ECD,∴AB⊥ED,‎ ‎∴∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角,…‎ 设CD=a,则BC==,‎ ‎∵△ABC是正三角形,‎ ‎∴EC=BCsin60°=,‎ 在Rt△DEC中,tan∠DEC=.…‎ ‎ ‎ ‎18.已知四棱锥S﹣ABCD,底面为正方形,SA⊥底面ABCD,AB=AS=a,M、N分别为AB、SC中点.‎ ‎(Ⅰ)求四棱锥S﹣ABCD的表面积;‎ ‎(Ⅱ)求证:MN∥平面SAD.‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由条件可得△SAB≌△SAD,△SBC≌△SCD,再根据S表面积=2S△SAB+2S△SBC+SABCD 运算求得结果.‎ ‎(Ⅱ)取SD中点P,利用三角形的中位线的性质证得AMNP是平行四边形,可得MN∥AP.再根据直线和平面平行的判定的定理证得MN∥平面SAD.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵SA⊥底面ABCD,∴SA⊥AB,SA⊥AD,SA⊥BC.‎ 又BC⊥AB,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥SB,同理,CD⊥SD,‎ ‎∴△SAB≌△SAD,△SBC≌△SCD.‎ 又∵SB=a,∴S表面积=2S△SAB+2S△SBC+SABCD ‎=.‎ ‎(Ⅱ)取SD中点P,连接MN、NP、PA,则NP=CD,且NP∥CD.‎ 又AM=CD,且AM∥CD,∴NP=AM,NP∥AM,∴AMNP是平行四边形.‎ ‎∴MN∥AP,而AP⊂平面SAD,MN不在平面SAD内,∴MN∥平面SAD. ‎ ‎ ‎ ‎19.已知圆C:x2+y2+2x﹣6y+1=0,直线l:x+my=3.‎ ‎(1)若l与C相切,求m的值;‎ ‎(2)是否存在m值,使得l与C相交于A、B两点,且(其中O为坐标原点),若存在,求出m,若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用.‎ ‎【分析】(1)将圆的方程转化为标准方程,求得圆心和半径,由圆心到直线的距离等于半径来求解.‎ ‎(Ⅱ)先假设存在m,由圆的方程和直线方程联立由韦达定理分别求得x1x2,y1y2由,求解,然后,再由判别式骓即可.‎ ‎【解答】解:(1)由圆方程配方得(x+1)2+(y﹣3)2=9,‎ 圆心为C(﹣1,3),半径为r=3,‎ 若l与C相切,则得=3,‎ ‎∴(3m﹣4)2=9(1+m2),‎ ‎∴m=.‎ ‎(2)假设存在m满足题意.‎ 由x2+y2+2x﹣6y+1=0,x=3﹣my 消去x得(m2+1)y2﹣(8m+6)y+16=0,‎ 由△=(8m+6)2﹣4(m2+1)•16>0,得m>,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y1+y2=,y1y2=.‎ ‎=x1x2+y1y2‎ ‎=(3﹣my1)(3﹣my2)+y1y2‎ ‎=9﹣3m(y1+y2)+(m2+1)y1y2‎ ‎=9﹣3m•+(m2+1)•‎ ‎=25﹣=0‎ ‎24m2+18m=25m2+25,m2﹣18m+25=0,‎ ‎∴m=9±2,适合m>,‎ ‎∴存在m=9±2符合要求.‎ ‎ ‎ ‎20.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30.数列{bn}满足b1=0,bn=2bn﹣1+1,(n∈N,n≥2),‎ ‎①求数列{an}的通项公式;‎ ‎②设Cn=bn+1,求证:{Cn}是等比数列,且{bn}的通项公式;‎ ‎③设数列{dn}满足,求{dn}的前n项和为Tn.‎ ‎【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比关系的确定;数列递推式.‎ ‎【分析】①等差数列{an}中,依题意,解关于首项a1与公差d的方程组,即可求得数列{an}的通项公式;‎ ‎②可求得=2(n≥2,n∈N),c1=b1+1=1,从而可确定{cn}是以1为首项,2为公比的等比数列,继而可得{bn}的通项公式;‎ ‎③通过裂项法可求得dn=(﹣)+2n﹣1﹣1,再利用分组求和、公式法求和即可求得{dn}的前n项和为Tn.‎ ‎【解答】解:①由a2=a1+d=4,S5=5a1+d=30得:a1=2,d=2,‎ ‎∴an=2+2(n﹣1)=2n…‎ ‎②∵bn=2bn﹣1+1,cn=bn+1,‎ ‎∴===2(n≥2,n∈N)‎ ‎∴{cn}是以2为公比的等比数列.‎ 又∵c1=b1+1=1,‎ ‎∴cn=bn+1=1×2n﹣1=2n﹣1,‎ ‎∴bn=2n﹣1﹣1…‎ ‎③∵dn=+bn=+2n﹣1﹣1=(﹣)+2n﹣1﹣1,‎ ‎∴Tn=[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)]+(1+2+22+…+2n﹣1)﹣n ‎=(1﹣)+﹣n ‎=2n﹣n﹣‎ ‎ ‎