【数学】2020届一轮复习人教B版三角恒等变换与解三角形学案理 13页

三角恒等变换与解三角形 ‎【2019年高考考纲解读】‎ 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎ 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α.‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎3．正弦定理 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．‎ 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.‎ sin A＝，sin B＝，sin C＝.‎ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.‎ ‎4．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，‎ c2＝a2＋b2－2abcos C.‎ 推论：cos A＝，cos B＝，‎ cos C＝.‎ ‎5．三角形面积公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.‎ ‎6．三角恒等变换的基本思路 ‎(1)“化异为同”，“切化弦”，“‎1”‎的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等．‎ ‎“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．‎ ‎(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＝－等．‎ ‎7．解三角形的四种类型及求解方法 ‎(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．‎ ‎(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．‎ ‎(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．‎ ‎(4)已知三边，利用余弦定理求解． ‎ ‎8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路 把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.‎ ‎【题型示例】‎ 题型一、三角变换及应用 ‎【例1】(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.‎ 答案　－ 解析　∵sin α＋cos β＝1，①‎ cos α＋sin β＝0，②‎ ‎∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，‎ ‎∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，‎ ‎∴sin(α＋β)＝－.‎ ‎ 【变式探究】(1)已知cos＝3sin，则tan＝________.‎ 答案　2－4‎ 解析　∵cos＝3sin，‎ ‎∴－sin α＝－3sin，‎ ‎∴sin α＝3sin＝3sin αcos ＋3cos αsin  ‎＝sin α＋cos α，‎ ‎∴tan α＝，‎ 又tan ＝tan＝ ‎＝＝2－，‎ ‎∴tan＝ ‎＝＝2－4.‎ ‎(2)若＝sin 2θ，则sin 2θ等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　由题意得＝ ‎＝2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，‎ 将上式两边分别平方，得4＋4sin 2θ＝3sin22θ，‎ 即3sin22θ－4sin 2θ－4＝0，‎ 解得sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍去)，‎ 所以sin 2θ＝－.‎ ‎【变式探究】【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以，选A.‎ ‎【变式探究】若tan α＞0，则(　　)‎ A．sin α＞0　　　　 　　B．cos α＞0‎ C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0‎ ‎【举一反三】 (2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.‎ 答案　D ‎【变式探究】(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是________．‎ 解析　sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.‎ 答案　 ‎【举一反三】(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．‎ 解析　∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝＝＝，解得tan β＝3.‎ 答案　3‎ ‎【感悟提升】‎ ‎(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解．‎ ‎(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．‎ ‎(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．‎ ‎【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________．‎ 解析　因为sin B＝且B∈(0，π)，所以 B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.‎ 答案　1‎ 题型二、正、余弦定理 ‎【例2】(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________． ‎ 答案　 解析　∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，‎ ‎∴由正弦定理得 sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.‎ 又sin Bsin C>0，∴sin A＝.‎ 由余弦定理得cos A＝＝＝>0，‎ ‎∴cos A＝，bc＝＝，‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.‎ ‎【举一反三】【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求。‎ ‎【答案】(1)； (2) b=2‎ ‎【解析】b=2（1）由题设及，故 上式两边平方，整理得 ‎ 解得 ‎ ‎（2）由，故 又 由余弦定理 及得 所以b=2.‎ ‎【举一反三】(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.‎ ‎(1)求c；‎ ‎(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．‎ 解　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 即28＝4＋c2－4c·cos ，‎ 即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4.‎ 所以c＝4.‎ ‎(2)由题设可得∠CAD＝，‎ 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.‎ 故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为＝1.‎ 又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，‎ 所以△ABD的面积为.‎ ‎【变式探究】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，c＝8.‎ ‎(1)若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM＝BC，＝2，求AM的值；‎ ‎(2)若b＝12，求△ABC的面积．‎ 解　(1)由题意得M，N是线段BC的两个三等分点，‎ 设BM＝x，则BN＝2x，AN＝2x，‎ 又B＝60°，AB＝8，‎ 在△ABN中，由余弦定理得12x2＝64＋4x2－2×8×2xcos 60°，‎ 解得x＝2(负值舍去)，则BM＝2.‎ 在△ABM中，由余弦定理，‎ 得AB2＋BM2－2AB·BM·cos B＝AM2，‎ AM＝＝＝2.‎ ‎(2)在△ABC中，由正弦定理＝，‎ 得sin C＝＝＝.‎ 又b>c，所以B>C，则C为锐角，所以cos C＝.‎ 则sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C ‎＝×＋×＝，‎ 所以△ABC的面积S＝bcsin A ‎＝48×＝24＋8.‎ ‎【举一反三】 若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．‎ 解析　S＝AB·AC·sin A，∴sin A＝，在锐角三角形中A＝，由余弦定理得BC＝＝7.‎ 答案　 7‎ ‎【变式探究】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________．‎ 解析　因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1. ‎ 答案　1‎ ‎【举一反三】(1)在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．‎ ‎(2)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.‎ ‎①求cos∠CAD的值；‎ ‎②若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．‎ ‎【命题意图】(1)本题主要考查正弦定理等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．‎ ‎(2)本题以平面四边形为载体，考查余弦定理、正弦定理和三角函数的化简求值，第一问可利用余弦定理直接求解，第二问需综合运用两角差的正弦公式和正弦定理．‎ ‎(2)①如题图，在△ADC中，由余弦定理，得 cos∠CAD＝.‎ 故由题设知，cos∠CAD＝＝.‎ ‎②如题图，设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.‎ 因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，‎ 所以sin∠CAD＝ ‎＝＝.‎ sin∠BAD＝ ‎＝＝.‎ 于是sin α＝sin(∠BAD－∠CAD)‎ ‎＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD ‎＝×－×＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理，得＝.‎ 故BC＝＝＝3.‎ ‎【变式探究】△ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝.‎ ‎(1)求A·A；‎ ‎(2)若c－b＝1，求a的值．‎ ‎【解析】解　(1)由cos A＝，且0