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  • 2021-07-01 发布

【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版5-4平面向量的综合应用学案

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‎§5.4 平面向量的综合应用 最新考纲 考情考向分析 ‎1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.‎ ‎2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.‎ 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题,求参数范围、最值等问题是考查的热点,一般以选择题、填空题的形式出现,偶尔会出现在解答题中,属于中档题.‎ ‎1.向量在平面几何中的应用 ‎(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:‎ 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 平行向量基本定理 a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0,‎ 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0‎ 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,‎ 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ=(θ为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量 长度问题 数量积的定义 ‎|a|==,‎ 其中a=(x,y),a为非零向量 ‎(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.‎ ‎2.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体.‎ ‎3.向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数)、解析几何结合,常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题.‎ 概念方法微思考 ‎1.根据你对向量知识的理解,你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题?‎ 提示 (1)线段的长度问题.(2)直线或线段平行问题.(3)直线或线段垂直问题.(4)角的问题等.‎ ‎2.如何用向量解决平面几何问题?‎ 提示 用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题,最后把运算结果“翻译”成几何关系.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若∥,则A,B,C三点共线.( √ )‎ ‎(2)在△ABC中,若·<0,则△ABC为钝角三角形.( × )‎ ‎(3)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是菱形.‎ ‎( √ )‎ ‎(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点P满足:=+t(+),t∈R,则点P的轨迹方程是x-y+1=0.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为(  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案 B 解析 =(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6),‎ ‎∴||==2,||==4,‎ ‎||==6,‎ ‎∴||2+||2=||2,‎ ‎∴△ABC为直角三角形.‎ ‎3.平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足·=4,则点P的轨迹方程是____________.‎ 答案 x+2y-4=0‎ 解析 由·=4,得(x,y)·(1,2)=4,即x+2y=4.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.在△ABC中,已知=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,则实数k的值为________________.‎ 答案 -或或 解析 ①若A=90°,则有·=0,即2+3k=0,‎ 解得k=-;‎ ‎②若B=90°,则有·=0,‎ 因为=-=(-1,k-3),‎ 所以-2+3(k-3)=0,解得k=;‎ ‎③若C=90°,则有·=0,即-1+k(k-3)=0,‎ 解得k=.‎ 综上所述,k=-或或.‎ ‎5.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为________.‎ 答案 5‎ 解析 依题意得·=1×(-4)+2×2=0,‎ 所以⊥,所以四边形ABCD的面积为 ||·||=××=5.‎ ‎6.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为坐标原点,则·的最大值为 ‎________.‎ 答案 6‎ 解析 方法一 由题意知,=(2,0),‎ 令P(cos α,sin α),则=(cos α+2,sin α).‎ ·=(2,0)·(cos α+2,sin α)=2cos α+4≤6,‎ 故·的最大值为6.‎ 方法二 由题意知,=(2,0),令P(x,y),-1≤x≤1,‎ 则·=(2,0)·(x+2,y)=2x+4≤6,‎ 故·的最大值为6.‎ 题型一 向量在平面几何中的应用 例1 (1)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,∠BAD=,若·=2·,则·=________.‎ 答案 12‎ 解析 (1)方法一 因为·=2·,‎ 所以·-·=·,‎ 所以·=·.‎ 因为AB∥CD,CD=2,∠BAD=,‎ 所以2||=||||cos ,化简得||=2.‎ 故·=·(+)=||2+· ‎=(2)2+2×2cos =12.‎ 方法二 如图,建立平面直角坐标系xAy.‎ 依题意,可设点D(m,m),‎ C(m+2,m),B(n,0),‎ 其中m>0,n>0,‎ 则由·=2·,‎ 得(n,0)·(m+2,m)=2(n,0)·(m,m),‎ 所以n(m+2)=2nm,化简得m=2.‎ 故·=(m,m)·(m+2,m)=2m2+2m=12.‎ ‎(2)在△ABC中,AB=2AC=6,·=2,点P是△ABC所在平面内一点,则当2+2+2取得最小值时,·=________.‎ 答案 -9‎ 解析 ∵·=2,‎ ‎∴·-2=·(-)‎ ‎=·=0,‎ ‎∴⊥,即BA⊥AC.‎ 以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 则B(6,0),C(0,3),设P(x,y),‎ ‎∴2+2+2=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2‎ ‎=3x2-12x+3y2-6y+45‎ ‎=3[(x-2)2+(y-1)2+10].‎ ‎∴当x=2,y=1时,2+2+2有最小值,此时·=(2,1)·(-6,3)=-9.‎ 思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 ‎(1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示.‎ ‎(2)基向量法 适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.‎ 跟踪训练1 (1)已知△ABC外接圆的圆心为O,AB=2,AC=2,A为钝角,M是BC边的中点,则·等于(  )‎ A.3 B.4‎ C.5 D.6‎ 答案 C 解析 ∵M 是BC边的中点,‎ ‎∴=(+),‎ ‎∵O 是△ABC 的外接圆的圆心,‎ ‎∴·=||·||cos∠BAO ‎=||2=×(2)2=6.‎ 同理可得·=||2=×(2)2=4.‎ ‎∴·=(+)· ‎=·+·=×(6+4)=5.‎ ‎(2)(2018·乌海模拟)在△ABC中,BC边上的中线AD的长为2,点P是△ABC所在平面上的任意一点,则·+·的最小值为(  )‎ A.1 B.2 C.-2 D.-1‎ 答案 C 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,使得点D在原点处,点A在y轴上,则A(0,2).‎ 设点P的坐标为(x,y),‎ 则=,=(-x,-y),‎ 故·+·=· ‎=2·=2 ‎=2-2≥-2,‎ 当且仅当x=0,y=1时等号成立.‎ 所以·+·的最小值为-2.‎ 题型二 向量在解析几何中的应用 例2 (1)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 如图,由||=1知点P的轨迹是以A为圆心,以1为半径的圆.‎ 由=知,‎ 点M为PC的中点,‎ 取AC的中点N,连接MN,‎ 则|MN|=|AP|=,‎ 所以点M的轨迹是以N为圆心,以为半径的圆.‎ 因为||=3,‎ 所以||的最大值为3+=,||2的最大值为.故选B.‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上,若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是________.‎ 答案 [-5,1]‎ 解析 方法一 因为点P在圆O:x2+y2=50上,‎ 所以设P点坐标为(x,±)(-5≤x≤5).‎ 因为A(-12,0),B(0,6),‎ 所以=(-12-x,-)‎ 或=(-12-x,),‎ =(-x,6-)或=(-x,6+).因为·≤20,先取P(x,)进行计算,‎ 所以(-12-x)·(-x)+(-)(6-)≤20,‎ 即2x+5≤.‎ 当2x+5<0,即x<-时,上式恒成立.‎ 当2x+5≥0,即x≥-时,(2x+5)2≤50-x2,‎ 解得-≤x≤1,故x≤1.‎ 同理可得P(x,-)时,x≤-5.‎ 又-5≤x≤5,所以-5≤x≤1.‎ 故点P的横坐标的取值范围为[-5,1].‎ 方法二 设P(x,y),‎ 则=(-12-x,-y),=(-x,6-y).‎ ‎∵·≤20,‎ ‎∴(-12-x)·(-x)+(-y)·(6-y)≤20,‎ 即2x-y+5≤0.‎ 如图,作圆O:x2+y2=50,直线2x-y+5=0与⊙O交于E,F两点,‎ ‎∵P在圆O上且满足2x-y+5≤0,‎ ‎∴点P在上.‎ 由得F点的横坐标为1,‎ 又D点的横坐标为-5,‎ ‎∴P点的横坐标的取值范围为[-5,1].‎ 思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用 ‎(1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.‎ ‎(2)工具作用:利用a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量),a∥b⇔a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.‎ 跟踪训练2 (2019·沈阳质检)已知圆C:x2+y2-2x-2y+3=0,点A(0,m)(m>0),A,B两点关于x轴对称.若圆C上存在点M,使得·=0,则当m取得最大值时,点M的坐标是(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 由题意得圆的方程为(x-1)2+(y-)2=1,‎ B(0,-m),设M(x,y),‎ 由于·=0,‎ 所以(x,y-m)·(x,y+m)=0,‎ 所以x2+y2-m2=0,所以m2=x2+y2,‎ 由于x2+y2表示圆C上的点到原点距离的平方,‎ 所以连接OC,并延长和圆C相交,交点即为M,‎ 此时m2最大,m也最大.‎ ‎|OM|=1+2=3,∠MOx=60°,‎ 所以xM=3×sin 30°=,yM=3×sin 60°=.故选C.‎ 题型三 向量的其他应用 命题点1 向量在不等式中的应用 例3 已知O是坐标原点,点A(-1,2),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是(  )‎ A.[-1,0] B.[0,1]‎ C.[1,3] D.[1,4]‎ 答案 D 解析 作出点M(x,y)满足的平面区域如图阴影部分所示(含边界),‎ 设z=·,‎ 因为A(-1,2),M(x,y),‎ 所以z=·=-x+2y,‎ 即y=x+z.‎ 平移直线y=x,由图象可知,‎ 当直线y=x+z经过点C(0,2)时,截距最大,‎ 此时z最大,最大值为4,‎ 当直线y=x+z经过点B时,截距最小,‎ 此时z最小,最小值为1,‎ 故1≤z≤4,即1≤·≤4.‎ 命题点2 向量在解三角形中的应用 例4 (2019·赤峰模拟)在△ABC中,若||=2,且·cos C+·cos A=·sin B.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ 解 (1)因为=+,‎ 所以·cos C+·cos A=·sin B ‎=(+)·sin B,‎ 即(cos C-sin B)+(cos A-sin B)=0.‎ 而向量,是两个不共线的向量,‎ 所以所以cos C=cos A,‎ 因为A,C∈(0,π),‎ 所以A=C.在等腰△ABC中,A+B+C=π,‎ 所以2A+B=π,A=-.‎ 所以cos A=cos=sin =sin B,‎ 所以sin =2sin cos ,‎ 因为sin ≠0,所以cos =.‎ 综合0<<,所以=,B=.‎ ‎(2)由(1)知,A=C=,‎ 由正弦定理,得=,‎ 所以||=2,‎ S△ABC=||||sin =×2×2×=.‎ 思维升华 利用向量的载体作用,可以将向量与三角函数、不等式结合起来,解题时通过定义或坐标运算进行转化,使问题的条件结论明晰化.‎ 跟踪训练3 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,已知向量m=,n=(c,b-2a),且m·n=0.‎ ‎(1)求∠C的大小;‎ ‎(2)若点D为边AB上一点,且满足=,||=,c=2,求△ABC的面积.‎ 解 (1)因为m=(cos B,cos C),n=(c,b-2a),m·n=0,‎ 所以ccos B+(b-2a)cos C=0,‎ 在△ABC中,由正弦定理得,‎ sin Ccos B+(sin B-2sin A)cos C=0,‎ sin A=2sin Acos C,‎ 又sin A≠0,‎ 所以cos C=,而C∈(0,π),所以∠C=.‎ ‎(2)由=知,-=-,‎ 所以2=+,‎ 两边平方得4||2=b2+a2+2bacos∠ACB=b2+a2+ba=28.①‎ 又c2=a2+b2-2abcos∠ACB,‎ 所以a2+b2-ab=12.②‎ 由①②得ab=8,‎ 所以S△ABC=absin∠ACB=2.‎ ‎1.在△ABC中,(+)·=||2,则△ABC的形状一定是(  )‎ A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 C 解析 由(+)·=||2,‎ 得·(+-)=0,‎ 即·(++)=0,‎ ‎2·=0,‎ ‎∴⊥,∴A=90°.‎ 又根据已知条件不能得到||=||,‎ 故△ABC一定是直角三角形.‎ ‎2.在▱ABCD中,||=8,||=6,N为DC的中点,=2,则·等于(  )‎ A.48 B.36‎ C.24 D.12‎ 答案 C 解析 ·=(+)·(+)‎ ‎=· ‎=2-2‎ ‎=×82-×62=24,故选C.‎ ‎3.已知△ABC满足-=k(其中k是常数),则△ABC的形状一定是(  )‎ A.正三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 ‎ 答案 C 解析 如图所示,在边AB(或取延长线)上取点B′,使得AB′=1,在边AC(或取延长线)上取点C′,使得AC′=1,‎ 由题意结合平面向量的运算法则可知 =,=,‎ 而-=,‎ 据此可得=k,从而BC∥B′C′,‎ 结合平面几何知识可知=,‎ 而AB′=AC′,故AB=AC.‎ 即△ABC为等腰三角形.‎ ‎4.(2018·朝阳模拟)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,若函数f(x)=x3+|a|x2+a·bx+1在R上存在极值,则a和b夹角的取值范围为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 f ′(x)=x2+|a|x+a·b,设a和b的夹角为θ,‎ 因为f(x)有极值,‎ 所以Δ=|a|2-4a·b >0,‎ 即Δ=|a|2-4|a|·|b|·cos θ>0,‎ 即cos θ<,所以θ∈.‎ ‎5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的射影为C,若=,·=48,则抛物线的方程为(  )‎ A.y2=8x B.y2=4x C.y2=16x D.y2=4x 答案 B 解析 如图所示,由=,得F为线段AB的中点,‎ ‎∵|AF|=|AC|,∴∠ABC=30°,‎ 由·=48,得|BC|=4.‎ 则|AC|=4,∴由中位线的性质,‎ 有p=|AC|=2,‎ 故抛物线的方程为y2=4x.故选B.‎ ‎6.(2019·辽阳测试)在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=1,AB=BC=2,∠BCD=120°,动点P和Q分别在线段BC和CD上,且=λ,=,则·的最大值为(  )‎ A.-2 B.- C. D. 答案 D 解析 因为AB∥CD,CD=1,AB=BC=2,∠BCD=120°,‎ 所以ABCD是直角梯形,且CM=,∠BCM=30°,‎ 以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 因为=λ,=,动点P和Q分别在线段BC和CD上,则λ∈,‎ B(2,0),P(2-λ,λ),Q,‎ 所以· =(2-λ,λ)· ‎=5λ+-4-.‎ 令f(λ)=5λ+-4-且λ∈,‎ 由对勾函数性质可知,当λ=1时可取得最大值,‎ 则f(λ)max=f(1)=5+-4-=.‎ ‎7.在菱形ABCD中,若AC=4,则·=________.‎ 答案 -8‎ 解析 设∠CAB=θ,AB=BC=a,‎ 由余弦定理得a2=16+a2-8acos θ,∴acos θ=2,‎ ‎∴·=4×a×cos(π-θ)=-4acos θ=-8.‎ ‎8.已知|a|=2|b|,|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x-a·b=0有两相等实根,则向量a与b的夹角是________.‎ 答案  解析 由已知可得Δ=|a|2+4a·b=0,‎ 即4|b|2+4×2|b|2cos θ=0,∴cos θ=-.‎ 又∵θ∈[0,π],∴θ=.‎ ‎9.如图,A是半径为5的圆C上的一个定点,单位向量在A点处与圆C相切,点P是圆C上的一个动点,且点P与点A不重合,则·的取值范围是________.‎ 答案 [-5,5]‎ 解析 如图所示,以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.‎ 设点P(x,y),B(1,0),A(0,0),‎ 则=(1,0),=(x,y),‎ 所以·=(x,y)·(1,0)=x.‎ 因为点P在圆x2+(y-5)2=25上,‎ 所以-5≤x≤5,即-5≤·≤5.‎ ‎10.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,M是抛物线C上一点,若FM的延长线交x轴的正半轴于点N,交抛物线C的准线l于点T,且=,则|NT|=________.‎ 答案 3‎ 解析 画出图形如图所示.由题意得抛物线的焦点F(0,1),准线为y=-1.‎ 设抛物线的准线与y轴的交点为E,过M作准线的垂线,垂足为Q,交x轴于点P.‎ 由题意得△NPM∽△NOF,‎ 又=,即M为FN的中点,‎ ‎∴||=|OF|=,|OP|= =,‎ ‎∴||=+1=,|ON|=2|OP|=2,‎ ‎∴||=||=.‎ 又==,‎ 即==,解得||=3.‎ ‎11.已知四边形ABCD为平行四边形,点A的坐标为(-1,2),点C在第二象限,=(2,2),且与的夹角为,·=2.‎ ‎(1)求点D的坐标;‎ ‎(2)当m为何值时,+m与垂直.‎ 解 (1)设C(x,y),D(a,b),则=(x+1,y-2).‎ ‎∵与的夹角为,·=2,‎ ‎∴==,‎ 化为(x+1)2+(y-2)2=1.①‎ 又·=2(x+1)+2(y-2)=2,化为x+y=2.②‎ 联立①②解得或 又点C在第二象限,∴C(-1,3).‎ 又=,∴(a+1,b-3)=(-2,-2),‎ 解得a=-3,b=1.‎ ‎∴D(-3,1).‎ ‎(2)由(1)可知=(0,1),‎ ‎∴+m=(2m,2m+1),‎ =-=(-2,-1).‎ ‎∵+m与垂直,‎ ‎∴(+m)·=-4m-(2m+1)=0,‎ 解得m=-.‎ ‎12.已知A,B,C是△ABC的内角,a,b,c分别是其对边长,向量m=(,cos A+1),n=(sin A,-1),m⊥n.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若a=2,cos B=,求b的值.‎ 解 (1)∵m⊥n,‎ ‎∴m·n=sin A+(cos A+1)×(-1)=0,‎ ‎∴sin A-cos A=1,∴sin=.‎ ‎∵0