2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二9月月考数学（理）试题-解析版 13页

安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二9月月考数学（理）试题 一、选择题 ‎1．已知数列满足， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】数列满足， ， ，‎ ‎，由此猜想，故选A.‎ ‎【方法点睛】本题通过观察数列的前几项，归纳出数列通项来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：该数列为等差数列，且，即，解得.‎ 考点：等差数列，数学文化.‎ ‎3．在等差数列中，若，则的值为（ ）‎ A. 20 B. 22 C. 24 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，解得 ‎，且，则，故选C.‎ ‎4．在中，内角所对的边分别为，若的面积为，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，所以，代入上式可得，即，因为，所以 ‎ ，所以，所以，故选C.‎ 考点：三角的面积公式；余弦定理；同角三角函数的基本关系式.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了三角的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系式等知识点的应用，解答中利用三角形的面积公式和余弦定理，可化简条件为，即，同时熟练掌握余弦定理的解答问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．已知在中.若的解有且仅有一个，则满足的条件是（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】已知在中， ，要使的解有且仅有一个，即三角形形状唯一，有两种情况：①为直角三角形；②为钝角三角形，若为直角三角形， ，可得，此时；若为钝角三角形，可得，综上， 或，故选D.‎ ‎6．在中，内角所对的边分别为，且满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意设，，则，，，∴由余弦定理可得，∴‎ 由正弦定理可得，故选：A．‎ 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理．‎ ‎7．在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可得， ， ，① 由及正弦定理可得, ②‎ ‎①②联立可得， ， 即，故选B.‎ ‎8．已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析： ＝，故选A．‎ 考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和公式．‎ ‎9．在中，内角所对的边分别为， 上的高为，且，则的最大值为（ ）‎ A. 3 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据题意，由于∴由余弦定理c2+b2=a2+2bccosA， ==3sinA+2cosA=sin（A+θ）（tanθ=）．故可知的最大值为，选B.‎ 考点：余弦定理,三角函数 点评：本题考查三角函数的最值，难点在于三角形的面积公式与余弦定理的综合运用，辅助角公式的使用，属于难题 ‎10．已知首项为正数的等差数列的前项和为，若和是方程的两根，则使成立的正整数的最大值是（ ）‎ A. 1008 B. 1009 C. 2016 D. 2017‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意知， 数列的首项为正数， ， ， 使成立的正整数的最大值是，故选C.‎ ‎11．在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（ ）‎ A. 依次成等差数列 B. 依次成等差数列 C. 依次成等差数列 D. 依次成等差数列 ‎【答案】C ‎【解析】依次成等差数列， ， 正弦定理得，由余弦定理得 ， ，即依次成等差数列，故选C.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎12．在中，内角所对的边分别为，已知， 是线段上一点，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由 ，可得解得。‎ 又因为，可得， ，得 填B.‎ 二、填空题 ‎13．在等差数列中， ，则数列的前5项和__________．‎ ‎【答案】90‎ ‎【解析】试题分析：∵∴，∴，∴，‎ ‎∴.‎ 考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前n项和公式.‎ ‎14．在中， , 是边上的一点， ， 的面积为 1，则边的长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为， ，在中，由余弦定理可得， ‎ ‎，在中，‎ ‎，由正弦定理可得。‎ 考点：正余弦定理 ‎15．等差数列的前项和为，若，则__________．‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】设公差为，由题意可得, ， ， ，联立三个方程,解得，故答案为.‎ ‎16．已知三角形中， 边上的高与边长相等，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，因此,从而所求最大值是 考点：正余弦定理、面积公式 ‎【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件 即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具 即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ 三、解答题 ‎17．等差数列的前项和为，若 ‎（1）求数列的通项公式和前项和；‎ ‎（2）求数列的前24项和.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由，可求出 ，即可求出等差数列的通项公式和前项和；（2）将代人到中即可求出前24项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1） 由题得 ‎ ‎ ∴， ‎ ‎（2）当时， ，当时， ‎ ‎∴‎ 方法二：‎ ‎∵,,,‎ ‎∴‎ ‎18．已知分别是角的对边，满足 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）的外接圆为圆 (在内部)， ，判断的形状，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）等边三角形.‎ ‎【解析】试题分析：（I）根据正弦定理把化成边的关系可得，约去，即可求得；（II）设中点为，故,圆的半径为 ‎,由正弦定理可知,所以,再根据余弦定理求得，据此判断出三角形性质.‎ 试题解析：（I）由正弦定理可知, , 则 ‎,‎ ‎,‎ 可得.‎ ‎（II）记中点为，‎ 故,圆的半径为,‎ 由正弦公式可知,故,‎ 由余弦定理可知, , 由上可得,又,则,故 为等边三角形.‎ 考点：正弦定理、余弦定理解三角形.‎ ‎19．如图，在四边形中， .‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）内根据余弦定理，求边长,和,再根据正弦定理求;（Ⅱ）根据面积公式需求,而,最后再根据三角形的面积公式.‎ 试题解析：（1）由，可设， ．又∵， ，‎ ‎∴由余弦定理，得，‎ 解得，∴， ，…4分 由正弦定理，得．‎ ‎（2）由（1）得…7分 因为所以 又因为,所以 考点：1.正余弦定理；2.解三角形.‎ ‎20．在中，内角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）若的面积，求证： ；‎ ‎（2）如图，在（1）的条件下，若分别为的中点，且，求.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由题意结合余弦定理和均值不等式的结论即可证得题中的结论；‎ ‎(Ⅱ)由题意可得关于实数的方程组，求解方程组可得.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由及正弦定理可得，‎ 即，‎ 因为，所以，‎ 所以，又，∴，‎ 由可得．‎ 在中，由余弦定理可得，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）因为分别为的中点，‎ 在中，由余弦定理可得，‎ 在中，由余弦定理可得，‎ 由可得，‎ 整理得，所以，由可得． ‎ ‎21．已知数列中， ，数列满足.‎ ‎（1）求证:数列是等差数列，写出的通项公式；‎ ‎（2）求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）， .‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)首先通过已知条件化简变形，凑出这种形式，凑出常数，‎ 就可以证明数列是等差数列，并利用等差数列的通项公式求出通项公式；（Ⅱ）因为与有关，所以利用的通项公式求出数列 的通项公式，把通项公式看成函数，利用函数图像求最大值和最小值.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，‎ ‎∴，∴数列是以1为公差的等差数列. 4分 ‎∵，∴，又∵， ，‎ ‎∴是以为首项， 为公差的等差中项.‎ ‎∴， . 7分 ‎（Ⅱ）∵， ， .‎ ‎∴作函数的图像如图所示：‎ ‎∴由图知，在数列中，最大项为，最小项为. 13分 另解：，当时，数列是递减数列，且.‎ 列举；；.所以在数列中，最大项为，最小项为.‎ 考点：1.等差数列的证明方法；2.利用函数图像求数列的最值.‎ ‎22．设数列的前项和为， .‎ ‎（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；‎ ‎（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ‎ ‎（3）设， ，若不等式对恒成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用，求得，这是等差数列，故；（2），这是等差数列，前向和为，故；（3），利用裂项求和法求得，解得，故.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由,得,相减得.‎ 故数列是以为首项,‎ 以公差的等差数列. .‎ ‎（2）由（1）知,‎ ‎,由 ‎,得,即存在满足条件的自然数.‎ ‎（3）‎ ‎ ,,即单调递增, 故要使恒成立, 只需成立, 即.‎ 故符合条件的最大值为.‎ 考点：数列的基本概念，数列求和，不等式．‎