黑龙江省伊春市第二中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 10页

‎2019——2020学年度第一学期中考考试 高三学年 文科数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1、已知集合，则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ 2、 已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎3、如图是两组各5名工人某日的产量数据（单位：件），若两组的中位数相等，且平均值也一样，则的值分别为（ ）‎ ‎ A B ‎ 6 5 9‎ ‎ 2 5 6 1 7 ‎ ‎ 4 7 8‎ A、3， 5 B、5，‎5 C、3，7 D、5，7‎ ‎4、在边长为2的正方形内随机的取一点，取到的点P到正方形中心的距离大于1的概率为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎5、已知实数满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A. B.4 C.5 D.6‎ ‎6、若各项均为正数的等比数列的前n项和为,则（ ）‎ A.124 B.123 C.122 D.121‎ ‎7、图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8、设向量，且，则向量与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9、在中，角所对的边分别是外接圆半径，则的值为（  ）‎ A． 7 B．13 C. 31 D． 20 ‎ ‎10、设曲线在点（3,2）处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）‎ A． 2 B．-2 C. D． ‎ ‎11、在正方体中，过AB作一垂直于的平面交平面于直线，动点M在上，则直线BM与所成角的余弦值的最大值是（ ）‎ A．1 B． C. D． ‎ ‎12、已知函数是定义在R上的奇函数，，且，则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡对应题号后的横线上．)‎ ‎13、某班有50名学生,男生30名,女生20名,现按分层抽样方法,从中抽取5名学生参加某项活动,则男生抽 名.‎ ‎14、曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为 。‎ ‎15、若已知函数的定义域为R，则实数a取值范围是 。‎ ‎16、在边长为2的菱形ABCD中，,点E为线段CD上的任意一点，则的最大值为 。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17、在公差为的等差数列中,已知,且,,成等比数列. (1).求,; (2).若,求.‎ ‎18、已知数列前项和为，且.‎ ‎（1）.数列的通项公式；‎ ‎（2）.若，求的前项和.‎ ‎19、已知向量,,且 ‎ ‎(1).将y表示为x的函数，并求的单调递增区间；‎ ‎(2).已知分别为的三个内角对应的边长，若,且,‎ 求的面积．‎ ‎20、每年春晚都是万众瞩目的时刻，这些节目体现的文化内涵、历史背景等反映了社会的进步，国家的富强，人民生活水平的提高等。某学校高三年级主任开学初为了解学生在看春晚后对节目体现的文化内涵、历史背景等是否会在今年的高考题中体现进行过思考，特地随机抽取100名高三学生（其中文科学生50，理科学生50名），进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：‎ ‎“思考过”‎ ‎“没思考过”‎ 总计 文科学生 ‎40‎ ‎10‎ 理科学生 ‎30‎ 总计 ‎100‎ ‎（1）补充完整所给表格，并根据数据计算是否有的把握认为看春晚后会思考节目体现的文化内涵、历史背景等与文理科学生有关；‎ ‎（2）从这100名高三学生中随机抽取一人，求该学生来自“没思考过”的学生的概率；‎ ‎（3）从上表的“没思考过”的文理科学生中按分层抽样选出6人，在从这6人中随机抽取2人，求这2人恰好来自理科学生的概率。‎ 附参考公式：，其中 P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎21、已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点E在上，且，，O为的中点，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求点E到平面的距离．‎ ‎22、已知函数.‎ ‎(1)当时,求曲线在点处的切线斜率;‎ ‎(2)讨论函数的单调性;‎ ‎(3)当函数有极值时,若对任意的恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎2019----2020学年度第一学期期中考考试 高三数学文科试卷答案 一、选择题 ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7 ‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 11‎ ‎ 12‎ ‎ A ‎ ‎ C ‎ A ‎ B ‎ A ‎ D ‎ D ‎ C ‎ B ‎ B ‎ D ‎ C ‎ 二、填空题 13、3 14、 15、 16、2‎ ‎17、解：（1）.由题意,得,∴, ∴或.∴或. （2）.设数列的前项和为. ∵,由1得,, 则当时, . 当时, . 综上所述, ‎ ‎18、解：（1）当时，得；‎ 当时，，，‎ 两式相减得 数列是以3为首项，公比为3的等比数列。所以 ‎（2）由(1)得 所以 ①‎ ①乘以3得 ②‎ ①减去②得=‎ 所以 ‎ ‎19、解析 (1).由得, ‎ 即 ‎∴,，即递增区间为 ‎(2).因为，所以,‎ 因为，所以． 由余弦定理得：,即 ‎ ‎∴,因为所以 ∴. ‎ ‎“思考过”‎ ‎“没思考过”‎ 总计 文科学生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 理科学生 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 总计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎20、解：（1）‎ 由上表得 故有95%的把握认为看春晚后会思考节目体现的文化内涵、历史背景等与文理科学生有关。‎ ‎（2）从表中可知，100名高三学生中“没思考过”的学生有30人 所以任意抽取一人是来自“没思考过”的学生的概率为 ‎(3)由题意得,抽取的100名学生中“没思考过”的有文科生10人,理科生20人 则抽取的6人中文科生有2人,分别记为A,B,理科生有4人,分别记为e,f,g,h 则从这6人中任意抽取2人的所以情况为：（A，B），（A，e）, （A，f），（A，g），（A，h），(B ,e)，(B ,f)，(B ,g)，(B ,h)，(e ,f)，(e ,g)，(e ,h)，(f ,g)，(f ,h)，(g ,h)共15种；‎ 而2人都来自理科学生的情况为：(e ,f)，(e ,g)，(e ,h)，(f ,g)，(f ,h)，(g ,h)共6种，‎ 所以，所以这2人恰好来自理科学生的概率为。‎ ‎21.‎ ‎ ‎ 解：（1）如图，连接，∵平面平面，，O为的中点，‎ ‎∴，∴平面，． ‎ ‎∵四边形为矩形，，，∴，，，，，‎ ‎∴，∴，‎ 又，，∴平面．∵平面，∴．‎ ‎（2）方法一 设，点到平面的距离为，由（1）知平面，‎ ‎∴，∴，，‎ ‎∵，∴， ‎ ‎∴，∴，即点到平面的距离为．‎ ‎22、答案：(1)当时,,∴,即所求切线斜率为.‎ ‎(2)由题意,知函数的定义域为,‎ ‎①当时,,则,函数在上单调递增.‎ ‎②当时,,令,则,‎ 在和上,,∴函数单调递增;‎ 在上,,∴函数单调递减.‎ ‎(3)由(2),可知当时,函数在上有极值.‎ 可化为,‎ ‎∵,∴.‎ 设,则,‎ 当时,,函数单调递减;‎ 当时, ,函数单调递增.‎ ‎∴当时,,∴,∴.‎ 又,∴,即实数a的取值范围是.‎ ‎ ‎