【数学】2019届一轮复习人教A版计数原理与排列组合基本问题学案 21页

第84题 计数原理与排列组合基本问题 I．题源探究·黄金母题 ‎【例1】用1，5，9，13中的任意一个数作为分子，4，8，12，16中的任意一个数作为分母，‎ ‎（1）可构成多少个不同的分数？‎ ‎（2）可构成多少个不同的真分数？‎ ‎【答案】（1）16；（2）10．‎ ‎【解析】（1）“一件事情”是“构成一个分数”．由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是偶数，所以以1，5，9，13中任意一个为分子，都可以与4，8，12，16中的任意一个构成分数．因此可以分两步来构成分数：第一步，选分子，有4种选法，第二步，选分母，也有4种选法．故共有不同的分数（个）．‎ ‎（2）“一件事情”是“构成一个真分数”．分四类：分子为1时，分母可以从4，8，12，16中任选一个，有4个；分子为5时，分母可以从8，12，16中选一个，有3个；分子为9时，分母可以从12，16中选一个，有2个；分子为13时，分母只能选16，有1个．故共有不同的真分数（个）．‎ 精彩解读 ‎【试题 】人教A版选修2-3P12习题1．1T3．‎ ‎【母题评析】本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，考查考生的分析问题、解决问题以及基本计算能力．‎ ‎【思路方法】审题时弄清楚本题是完成那件事，完成这件事是分类还是分步，进而选择加法原理（乘法原理）解题．‎ ‎【例2】用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？‎ ‎【答案】648‎ ‎【解析】解法一：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能为0，因此分两步完成排列．第一步，排百位上的数字，可以从从1到9这九个数字中任取一个，有种选法；第二步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任取2个，有种选法．根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为．‎ ‎【试题 】人教A版选修2-3P19例4．‎ ‎【母题评析】本题考查有限制条件的计数问题，考查考生的分析问题、解决问题以及基本计算能力．‎ ‎【思路方法】‎ 解法二：符合条件的三位数可分成以下三类：‎ 第一类，每一位数字都不是0的三位数有个；‎ 第二类，个位数字是0的三位数有个；‎ 第三类，十位数字是0的三位数有个．‎ 根据分类加法计数原理，符合条件的三位数的个数为．‎ 解法三：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为，其中0在百位上的排列数是，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数个数，即所求的三位数的个数为．‎ 分析问题时，可以充分利用树形图或框图进行分析．可以从不同的角度分析与思考（直接法或间接法），相互检验，从而得到正确的解答．‎ II．考场精彩·真题回放 ‎【例1】【2017高考全国II理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法．故选D．‎ ‎【例2】【2017高考浙江16】从6男2女共8名 生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答）‎ ‎【答案】660‎ ‎【命题意图】这类题主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及简单的排列组合的应用题，考查考生的分析问题、解决问题以及基本计算能力．‎ ‎【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．‎ ‎【难点中心】‎ ‎1．解答此类问题要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”‎ ‎【解析】由题意可得：总的选择方法为种方法，其中不满足题意的选法有种方法，则满足题意的选法有：种．‎ ‎【例3】【2016高考江苏卷】（1）求 的值；‎ ‎（2）设m，nN*，n≥m，求证：‎ ‎【答案】（1）0；（2）详见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据组合数公式化简求值；（2）设置（1）目的指向应用组合数性质解决问题，而组合数性质不仅有课本上的，而且可由（1）归纳出的；单纯从命题角度看，可视为关于n的等式，可结合数 归纳法求证；从求和角度看，左边式子可看做展开式中含项的系数，再利用错位相减求和得含项的系数，从而达到化简求证的目的．‎ 试题解析：（1）解：‎ ‎（2）证明：当时，结论显然成立，当时 ‎ : ]‎ ‎，‎ 因此 ‎，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的逆向思维方法．‎ ‎2．解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置）的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）．‎ ‎【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数 归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型．组合数性质不仅有课本上介绍的，，更有，现在又有，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用．‎ III．理论基础·解题原理 ‎1．分类加法计数原理 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．‎ ‎2．分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．‎ ‎3．排列与排列数、组合与组合数 ‎（1）排列的定义：‎ 从个不同元素中，任取个不同元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．‎ ‎（2）排列数的定义：‎ 从个不同元素中，任取个不同元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．‎ ‎（3）排列数计算公式：（其中）．‎ ‎（i）若，排列称为全排列，记（称为的阶乘）；‎ ‎（ii）规定；‎ ‎（iii）排列数的性质：．‎ ‎4．组合与组合数 ‎（1）组合的定义：‎ 从个不同元素中，取出个不同元素组成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．‎ ‎（2）组合数的定义：‎ 从个不同元素中，取出个不同元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．‎ ‎（3）组合数计数公式：（其中）．‎ 规定．‎ ‎（4）排列数与组合数的关系：．‎ ‎（5）组合数的性质：（i）；（ii）；（iii）．‎ IV．题型攻略·深度挖掘 ‎【考试方向】‎ 这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．‎ ‎【技能方法】‎ ‎1．运用分类加法计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准．分类应满足：完成一类事情的任何一种方法，必须属于某一类且仅属于某一类，即类与类之间具有确定性与并列性．‎ ‎2．运用分步乘法计数原理时，要确定分步的标准．分步必须满足：完成一件事情必须且只须完成这几步，即各个步骤是相互依存的，且“步”与“步”之间具有连续性．‎ ‎3．对于既要运用分类加法计数原理，又要运用分步乘法计数原理的复杂问题，可以恰当地画出示意图或树形图来进行分析，使问题的分析过程更直观、更明晰，便于探索规律．‎ ‎4．解答计数应用问题的总体思路：‎ 根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了，此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：‎ ‎(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；‎ ‎(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题； ‎ ‎(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得．‎ ‎5．排列数与组合数的计算问题 含有排列数或组合数的方程都是在限定的正整数范围内求解，利用这一点可以根据题目的要求首先对方程进行化简．证明题一般用A＝或C＝及组合数的性质．证明过程中要注意阶乘的运算及技巧．‎ ‎【易错指导】‎ ‎1．注意分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理特点是独立、互斥，即任何一类任何一种方法都能独立完成这件事，各类互不相关；分步乘法计数原理特点是关联、连续，即完成一件事需按先后顺序分步进行，每一步缺一不可，只有当所有步骤完成，这件事才完成．‎ ‎2．在处理具体的应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”还是“分步”的具体标准是什么，选择合理、简洁的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏．‎ ‎3．排列与组合的区别 排列与组合的共同点是“从个不同元素中，任取个不同元素”；而不同点是排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“只需组成一组（与顺序无关）”．因此，“有序”与“无序”是排列与组合的重要标志．“有序”为排列问题，“无序”为组合问题．‎ V．举一反三·触类旁通 考向1 分类加法计数原理 ‎【例1】【2018湖南（长郡中 、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】甲、乙、丙、丁、戊五位同 相约去 校图书室借、、、四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅类课外书，则不同的借阅方案种类为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【例2】【2018百校联盟TOP20三月联考】某山区希望小 为丰富 生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有 （ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】B ‎【解析】若种植2块西红柿，则他们在13，14或24位，其中两位是黄瓜和茄子，所以共有种种植方式；若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共种．故选B． ~ ‎ ‎【例3】书架上层放有15本不同的数 书，中层放有16本不同的语文书，下层放有14本不同的化 书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？‎ ‎【思维导图】‎ ‎【解后反思】‎ ‎（1）问题类型如何确定？‎ 本题要“完成的一件事”是“从书架中取出一本书”，这本书既可以从上层取，也可以从中层取，还可以从下层取．因而它是一个分类问题，应用分类加法计数原理解决．‎ ‎（2）分类的方法是什么？ ‎ 方法一：按书架的“层”分类，即可以取上层的，也可以取中层的，还可以取下层的，故分三类．‎ 方法二：按书的“种类”分类，即可以从数 书中取，也可以从语文书中取，还可以从化 书中取，故分三类．‎ ‎（3）分类的原则是什么？‎ 标准一致，不重复，不遗漏．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018河北武邑中 高三上 期第五次调研】3个单位从4名大 毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人（4名大 毕业生不一定都能选聘上），则不同的选聘方法种数为 （ ）‎ A．60 B．36 C．24 D．42‎ ‎【答案】A ‎【解析】当4名大 毕业都被选聘上，则有种不同的选聘方法，当4名大 ‎ 毕业生有3位被选聘上，则有种不同的选聘方法，由分类加法计数原理，得不同的选聘方法种数为．故选A．‎ ‎2．【2018黑龙江牡丹江一中高三上 期期末考试】十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有 （ ）．‎ A．24种 B．16种 C．12种 D．10种 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有种，故选C．‎ ‎3．【2018广东中山一中高三级第五次统测】从10名大 生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（ ）‎ A．85 B．49 C．56 D．28‎ ‎【答案】B 考向2 分步乘法计数原理 ‎【例4】【2018山西高三一模】某天的值日工作由4名同 负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ）‎ A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 ‎【答案】B ‎【解析】方法数有种．故选B．‎ ‎【例5】【2018福建福州高三3月质量检测】福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( )‎ A．90种 B．180种 C．270种 D．360种 ‎【答案】B ‎【解析】第一步，为甲地选一名志愿者，有=6种选法；第二步，为乙地选一名志愿者，有=5种选法；第三步，为剩下两个展区各安排两个人，有种选法．‎ 故不同的安排方案共有6×5×6=180种．故选B． ！ ‎ ‎【例6】书架的第一层放有6本不同的数 书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书．‎ ‎（1）从这些书中任取一本数 、一本语文、一本英语共三本书的不同取法有多少种？‎ ‎（2）从这些书中任取三本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？‎ ‎【分析】本题考查分步乘法计数原理．使用这个原理的关键是：依据题意把完成的一件事恰当地分成若干个步骤．‎ ‎（2）本题实际上是从17本书中任取3本放在三个不同位置．完成这个工作分三个步骤：‎ 第一步，从17本书中任取1本放在第一个位置上，共有17种不同的方法；‎ 第二步，从剩下的16本书中任取1本放在第二个位置上，共有16种不同的方法；‎ 第三步，从最后剩下的15本书中任取1本放在第三个位置上，共有15种不同的方法．‎ 根据分步乘法计数原理，共有17×16×15＝4 080(种)不同的排法． ‎ ‎【反思升华】‎ 此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018北京朝阳区高三一模】某单位安排甲、乙、丙、丁名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有 人值班每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】甲连续天上班，共有（周一，周二），（周二，周三），（周三，周四），（周四，周五）四种情况，剩下三个人进行全排列，有种排法因此共有种排法，故选．‎ ‎2．【2018河南商丘高三二模】高考结束后6名同 游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同 任选一个景区游览，则有且只有两名同 选择日月湖景区的方案有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】D ‎3．设为实数，我们称为有序实数对．类似地，设为集合，我们称为有序三元组．如果集合满足，且，则我们称有序三元组为最小相交（表示集合中的元素的个数）．‎ ‎（Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）由集合的子集构成的所有有序三元组中，令为最小相交的有序三元组的个数，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）7680．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）按条件写出即可；（Ⅱ）先排，，中的元素，再排其它位置的元素，根据乘法原理计算．‎ 试题解析：（Ⅰ）设，，，则，，，，且．‎ 所以是一个最小相交的有序三元组． ‎ ‎（Ⅱ）令，如果是由 的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的，使得，，（如图），要确定共有种方法；对中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合中的某一个或不属于任何一个，则有种确定方法．所以最小相交的有序三元组的个数．‎ y x A B C z 考向3 排列数、组合数有关的计算与证明[ : ]‎ ‎【例7】【2018重庆高三模拟】满足方程的的值为（ ）‎ A．1，3 B．3，5 C．1，3，5 D．1，3，5，-7‎ ‎【答案】A ‎【例8】【2018河南郑州一中高三上 期第二次月考】（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎，故选D． … ‎ ‎【例9】求证：． ‎ ‎【解析】计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量．‎ ‎【证明】左边右边．‎ ‎【点评】（1）熟记两个公式；（2）掌握两个公式的用途；（3）注意公式的逆用．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．且则用排列数符号表示为( )‎ ‎． ． ． ．‎ ‎【答案】C．‎ ‎2．对于给定的正整数，等式成立，则所有的一定形如_____________．（用的组合数表示）‎ ‎【答案】()‎ ‎3．【2018山东济宁高三上 期期末考试】‎ 设函数，则方程的根为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎．‎ 由得，即方程的解为．‎ ‎4．设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，．‎ ‎（1）证明：当，时，；[ : ]‎ ‎（2）记，求的值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【分析】（1）从题设可以看出本题要分类，按的奇偶性来分类，如当为奇数时，都是偶数，，，，‎ 通过计算，应用公式可得结论，当然为偶数时也同样证明；（2）待求式子比较难，，‎ 把的系数变为1，有 由公式，上式可变为 ‎，而由（1）可得数列是周期为6的周期数列，故，从而计算得．‎ ‎∴当为奇数时，成立．同理可证，当为偶数时，也成立．‎ ‎（2）由，得 ‎=‎ ‎==．‎ 又由，得，所以，．‎ 考向4 无约束条件的排列组合应用题 ‎1．无约束条件指的是对排列（组合）中的元素没有特殊要求．‎ ‎2．解题时，先先分清楚是排列问题还是组合问题，然后用排列数或组合数公式进行计算．‎ ‎【例10】【2018广州高三上 期第一次调研】某 校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大 2名，乙大 2名，丙大 1名，并且甲大 和乙大 都要求必须有男生参加， 校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 （ ）‎ A．36种 B．24种 C．22种 D．20种 ‎【答案】B ‎【解析】第一类：男生分为，女生全排，男生全排得，第二类：男生分为，所以男生两堆全排后女生全排，不同的推荐方法共有，故选B．‎ ‎【例11】【2018山西省实验中 高三下 期模拟】某 校有5个班级的同 一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂有5个车间供 生选择，每个班级任选一个车间进行实践 ‎ 习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有__________种．‎ ‎【答案】270‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018湖南三湘名校教育联盟高三第三次联考】“中国梦”的英文翻译为“ ”，其中又可以简写为，从“ ”中取6个不同的字母排成一排，含有“” 字母组合（顺序不变）的不同排列共有（ ）‎ A．360种 B．480种 C．600种 D．720种 ‎【答案】C ‎【解析】从其他5个字母中任取4个，然后与“” 进行全排列，共有，故选B．‎ ‎2．【2018湖南长沙市雅礼中 高三模拟（二）】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为__________．‎ ‎【答案】48‎ ‎【解析】从 这两个字数字中选一个排在个位数，有 种，然后将剩余的 个数字在其他位置全排列，有 种，所以偶数的个数为 个，故答案为． ‎ 考向5 有限制条件的排列组合应用题 ‎1．有限制条件的排列问题大致分四种类型．‎ ‎（1）某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置；②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．‎ ‎（2）某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．‎ ‎（3）某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．‎ ‎（4）某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．‎ ‎2．解有条件限制的排列组合问题思路：①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素占位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④‎ 数字的排列问题，0不能排在首位．‎ ‎3．对于有条件的组合问题，可能遇到含某个（些）元素与不含某个（些）元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．‎ ‎【例12】（1）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ）‎ A．30种　　　B．90种 C．180种　　　　D．270种 ‎（2）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　）‎ A．10种　　　　　B．20种　　　　　C．36种 　　　　　D．52种 ‎（2）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有种方法；则不同的放球方法有10种，选A．‎ ‎【点评】计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的基础，应用计数原理结合 ‎【例13】【2018北京丰台区高三一模】某 校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同 不能相邻，不同的排法种数为 （ ）‎ A．4 B．8 C．12 D．24‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，现对两位男生全排列，共有种不同的方式，其中两个男生构成三个空隙，把两位女生排在前两个空隙或后两个空隙中，再进行全排列，共有，所以满足条件的不同的排法种数共有种，故选B．‎ ‎【例14】‎ 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．‎ 法二　以S、A、B、C、D顺序分步染色 第一步，S点染色，有5种方法；‎ 第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；‎ 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；‎ 第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．‎ 法三　按所用颜色种数分类 第一类，5种颜色全用，共有A种不同的方法；‎ 第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A种不同的方法；‎ 第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A种不同的方法．‎ 由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A＋2×A＋A＝420(种)．‎ ‎【反思升华】规范解答20——如何解决涂色问题 ‎【问题研究】 涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点．‎ ‎【解决方案】 涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．（1）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种；‎ ‎（2）5名志愿者分到3所 校支教，每个 校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）‎ ‎（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 ‎ ‎【点评】排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题，诸如分组问题等．‎ ‎2．【2018贵州凯里一中高三下 期《黄金卷》（二）】2017年11月30日至12月2日，来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟 校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中 校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数 同课异构活动中，7名数 教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则7名教师上课的不同排法有（ ）种 A．5040 B．4800 C．3720 D．4920‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得：，故选．‎ ‎3．【2018上海徐汇区高三一模】现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三从两两不相邻的排法的种数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3个位置排甲、乙、丙三人，即，选C．‎ ‎4．【2018东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中 ）高三二模】将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 ‎ ‎（ ）‎ A．240 B．480 C．720 D．960‎ ‎【答案】B ‎【解析】12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有，所以不同坐法有，选B．‎ ‎5．【2018河南南阳六校高二下 期第二次联考】大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有 （ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】B ‎【解析】当 户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时，则另两个小孩，是另外两个家庭的一个小孩，有 种方法，故选B．‎ ‎6．【2018福建三明一中高二下 期第二次月考】某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个．现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是（　 ）．‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】C ‎【名师点睛】涉及到排列组合的综合问题，一般较难，处理此类问题一般先分析如何安排，在安排时是分类还是分步，元素之间是否讲顺序，以及分组问题注意重复情况的处理，本题中对两个数字相同的情况一定要仔细斟酌题意，写全切不要重复，能力要求较高．‎ ‎7．【2018新疆乌鲁木齐地区高三下 期第二次诊断性测验】有五名同 站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同 要站在一起，则不同的站法种数有 ‎__________（用数字作答）．‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】根据题意，先排除甲的其余4人，因为乙、丙两位同 要站在一起，故捆绑再与其余3人进行全排，共有种排法，再将甲插空，由于甲不能和乙站在一起，故甲有3种插法，所以根据乘法原理，不同的站法有种排法．故答案为．‎ ‎【名师点睛】本题是排列中的相邻问题，用“捆绑法”求解，解决此问题分两步，第一步把要求相邻的两人捆绑在一起作为一个人，和排除甲的其余4人看作是5人进行排列，第二步这两人之间也进行排列，再将甲插空，然后用乘法原理可得解． * ‎ ‎8．【2018上海崇明区高三一模】从5男3女共8名 生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_____种不同的选法．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎