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- 2021-07-01 发布
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2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数z= (i为虚数单位)的虚部为( )
A.3 B.﹣3 C.﹣3i D.2
2.设全集U=R,集合A={x|1og2x≤2},B={x|(x﹣3)(x+1)≥0},则(∁UB)∩A=( )
A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,﹣1]∪(0,3) C.[0,3) D.(0,3)
3.已知平面向量,满足()=5,且||=2,||=1,则向量与夹角的正切值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
4.在如下程序框图中,任意输入一次x(0≤x≤1)与y(0≤y≤1),则能输出“恭喜中奖!”的概率为( )
A. B. C. D.
5.在圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
6.如图,一个几何体的三视图如图所示,则该多面体的几条棱中,最长的棱的长度为( )
A.3 B. C. D.3
7.将函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ(0<φ<)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若g(x)≤|g()|对x∈R恒成立,则函数y=g(x)的单调递减区间是( )
A.[kπ+,kπ+](k∈Z) B.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)
C.[kπ+,kπ+](k∈Z) D.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)
8.成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中记载有很多数列问题,如“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈. 问日益几何.”意思是:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加( )(其中1匹=4丈,1丈=10尺,1尺=10寸)
A.5寸另寸 B.5寸另寸 C.5寸另寸 D.5寸另寸
9.化简=( )
A.1 B.2 C. D.﹣1
10.某名学生默写英语单词“bookkeeper(会计)”,他记得这个单词是由3个“e”,2个“o”,2个“k”,b,p,r各一个组成,2个“o”相邻,3个“e”恰有两个相邻,o,e都不在首位,他按此条件任意写出一个字母组合,则他写对这个单词的概率为( )
A. B. C. D.
11.设双曲线﹣=1(a>0,b>
0)的右焦点F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=λ+μ(λ,μ∈R),λμ=,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.3 D.2
12.已知函数f(x)的定义域为R,且为可导函数,若对∀x∈R,总有(2﹣x)f(x)+xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),则( )
A.f(x)>0恒成立 B.f(x)<0恒成立
C.f(x)的最大值为0 D.f(x)与0的大小关系不确定
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.若a= ,则(1+ax)5的展开式中x3项的系数为80.
14.已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同直线,l⊥α,m⊂β.给出下列命题:
①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③m∥α⇒l⊥β; ④l⊥β⇒m∥α.
其中正确的命题是 . (填写所有正确命题的序号).
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bcosC﹣3ccosB=a,则tan(B﹣C)的最大值为 .
16.若二次函数f(x)=x2+1的图象与曲线C:g(x)=aex+1(a>0)存在公共切线,则实数a的取值范围为 .
三、解答题:本大题共5小题;共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)等比数列{an}的各项均为正数,且a1+2a2=1,a32=4a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn+2=3log2,求数列{anbn}的前n项和.
18.(12分)如图,四边形ABCD为矩形,PB=20,BC=30,PA⊥平面ABCD.
(1)证明:平面PCD⊥平面PAD;
(2)当AB的长为多少时,面PAB与面PCD所成的二面角为60°?请说明理由.
19.(12分)自主招生,是高校选拔录取工作改革的重要环节,通过高考自主招生笔试和面试之后,可以得到相应的高考降分政策;某高中高一学生共有1000人,其中城填初中毕业生750名(称为“城填生“),农村初中毕业生250人(称为“农村生“);为了摸清学生是否愿意参加自主招生,以便安排自主招生培训,拟采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查;
(1)试完成下列2×2联表,并分析是否有95%以上的把握说“是否愿意参加自主招生“与生源有关.
愿意参加
不愿意参加
合计
城填生
50
25
农村生
10
15
合计
(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试,考试题共有5道题,每题20分,对于这5道题,考生“高富帅”完全会答的有3道,不完全会的有2道,不完全会的每道题她得分S的概率满足:SKIPIF 1<0,假设解答各题之间没有影响.
①对于一道不完全会的题,求“高富帅”得分的均值E(s);
②试求“高富帅”在本次摸底考试中总得分的数学期望.
参考数据:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=(其中n=a+b+c+d)
20.(12分)已知椭圆Cn: +=n(a>b>1,n∈N*),F1,F2是椭圆C4的焦点,A(2,)是椭圆C4上一点,且⋅=0;
(1)求Cn的离心率并求出C1的方程;
(2)P为椭圆C2上任意一点,直线PF1交椭圆C4于点E,F,直线PF2交椭圆C4于点M,N,设直线PF1的斜率为k1,直线PF2的斜率为k2;
(i)求证:k1k2=﹣
(ii)求|MN|⋅|EF|的取值范围.
21.(12分)设函数f(x)=ex﹣ax2+1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.
(1)求a,b的值;
(2)若方程F(x)=f(x)﹣mx有两个极值点x1,x2(x1<x2),x0是x1与x2的等差中项;
(i)求实数m的取值范围;
(ii)求证:f′(x0)<0 ( f′(x)为f(x)的导函数).
[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]
22.(10分)已知直线l的参数方程为 (t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ﹣).
(1)求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,设点P(0,),求|PA|+|PB|.
[选修4-5:不等式选讲]
23.设函数f(x)=|x﹣4|+|x﹣1|.
(1)解不等式:f(x)≤5;
(2)若函数g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.
2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高三(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数z= (i为虚数单位)的虚部为( )
A.3 B.﹣3 C.﹣3i D.2
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案.
【解答】解:z==,
复数z= (i为虚数单位)的虚部为:﹣3.
故选:B.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
2.设全集U=R,集合A={x|1og2x≤2},B={x|(x﹣3)(x+1)≥0},则(∁UB)∩A=( )
A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,﹣1]∪(0,3) C.[0,3) D.(0,3)
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】根据题意,先求出集合A,B,进而求出B的补集,进而根据交集的定义,可得答案.
【解答】解:∵集合A={x|1og2x≤2}=(0,4],
B={x|(x﹣3)(x+1)≥0}=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),
∴CUB=(﹣1,3),
∴(CUB)∩A=(0,3),
故选:D
【点评】本题考查集合混合运算,注意运算的顺序,其次要理解集合交、并、补的含义.
3.已知平面向量,满足()=5,且||=2,||=1,则向量与夹角的正切值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据平面向量数量积的定义,即可求出向量、的夹角θ以及θ的正切值.
【解答】解:设、的夹角为θ,则θ∈[0,π],
又()=5,||=2,||=1,
∴+•=22+2×1×cosθ=5,
解得cosθ=,
∴θ=,
∴tanθ=,
即向量与夹角的正切值为.
故选:B.
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积求夹角的应用问题,是基础题目.
4.在如下程序框图中,任意输入一次x(0≤x≤1)与y(0≤y≤
1),则能输出“恭喜中奖!”的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】程序框图.
【分析】根据查询框图转化为几何概型进行计算即可.
【解答】解:程序框图对应的不等式组为,
则“恭喜中奖!满足条件为y≥x+,
作出不等式组对应的平面区域如图:
则正方形的面积S=1×1=1,
D(0,),E(,1),
则△ADE的面积S=××=,
则能输出“恭喜中奖!”的概率为,
故选:A
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算,根据程序框图转化为几何概型是解决本题的关键.
5.在圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标与圆的半径,根据图形可知,过点E最长的弦为直径AC,最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD,根据两点间的距离公式求出ME的长度,根据垂径定理得到E为BD的中点,在直角三角形BME中,根据勾股定理求出BE,则BD=2BE,然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积.
【解答】解:把圆的方程化为标准方程得:(x﹣2)2+(y﹣2)2=10,
则圆心坐标为(2,2),半径为,
根据题意画出图象,如图所示:
由图象可知:过点E最长的弦为直径AC,最短的弦为过E与直径AC垂直的弦,则AC=2,MB=,ME==,
所以BD=2BE=2,
又AC⊥BD,
所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10.
故选B
【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用,灵活运用两点间的距离公式化简求值,是一道中档题.学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
6.如图,一个几何体的三视图如图所示,则该多面体的几条棱中,最长的棱的长度为( )
A.3 B. C. D.3
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是三棱锥,画出它的直观图,求出各条棱长即可.
【解答】解:根据几何体的三视图,得;
该几何体是三棱锥P﹣ABC,如图所示;
PA=4,AB=3+2=5,C到AB中点D的距离为CD=3,
∴PB===,
AC===,
BC==,
PC===,
∴PB最长,长度为.
故选:C.
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么.
7.将函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ(0<φ<)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若g(x)≤|g()|对x∈R恒成立,则函数y=g(x)的单调递减区间是( )
A.[kπ+,kπ+](k∈Z) B.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)
C.[kπ+,kπ+](k∈Z) D.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)
【考点】三角函数的化简求值;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】首先通过三角函数的恒等变换,变换成正弦型函数,进一步利用平移变换,最后根据正弦型函数的单调性求得结果.
【解答】解:f(x)=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位,得到
g(x)=2sin(2x+2φ﹣).
∵g(x)≤|g()|对x∈R恒成立,
∴g()=±1,即2sin(2×+2φ﹣)=±1,
∴φ=kπ+,(k∈Z)
∵0<φ<,
∴φ=,
∴g(x)=2sin(2x+).
令2x+∈[2kπ+,2kπ+π],(k∈Z)
则x∈[kπ+,kπ+](k∈Z)
故选:C.
【点评】本题考查的知识要点:三角函数的恒等变换,函数图象的平移变换问题,及函数单调区间问题,属于基础题型.
8.成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中记载有很多数列问题,如“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈. 问日益几何.”意思是:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加( )(其中1匹=4丈,1丈=10尺,1尺=10寸)
A.5寸另寸 B.5寸另寸 C.5寸另寸 D.5寸另寸
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】设该妇子织布每天增加d尺,由等差数列前n项和公式能求出d,再把尺换算成寸即可.
【解答】解:设该妇子织布每天增加d尺,
由题意知,
解得d=尺.
尺=寸=5寸另寸.
故选:A.
【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
9.化简=( )
A.1 B.2 C. D.﹣1
【考点】二倍角的余弦;三角函数中的恒等变换应用.
【分析】用倍角公式化简后,再用诱导公式即可化简求值.
【解答】解: ===2.
故选:B.
【点评】本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用,三角函数中的恒等变换应用,属于基本知识的考查.
10.某名学生默写英语单词“bookkeeper(会计)”,他记得这个单词是由3个“e”,2个“o”,2个“k”,b,p,r各一个组成,2个“o”相邻,3个“e”恰有两个相邻,o,e都不在首位,他按此条件任意写出一个字母组合,则他写对这个单词的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】由排列组合知识求出基本事件总数n==9600,由此能求出他写对这个单词的概率.
【解答】解:某名学生默写英语单词“bookkeeper(会计)”,他记得这个单词是由3个“e”,2个“o”,2个“k”,b,p,r各一个组成,
2个“o”相邻,3个“e”恰有两个相邻,o,e都不在首位,他按此条件任意写出一个字母组合,
基本事件总数n==9600,
∴他按此条件任意写出一个字母组合,则他写对这个单词的概率为p=.
故选:A.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
11.设双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=λ+μ(λ,μ∈R),λμ=,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.3 D.2
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由方程可得渐近线,可得A,B,P的坐标,由已知向量式可得λ+μ=1,λ﹣μ=,解之可得λμ的值,由λμ=,可得a,c的关系,由离心率的定义可得.
【解答】解:双曲线的渐近线为:y=±x,设焦点F(c,0),则
A(c,),B(c,﹣),P(c,),
因为=λ+μ,
所以(c,)=((λ+μ)c,(λ﹣μ)),
所以λ+μ=1,λ﹣μ=,
解得:λ=,μ=,
又由λμ=,得:,
解得=,
所以,e=2.
故选:D
【点评】本题考查双曲线的简单性质,涉及双曲线的离心率的求解,属中档题.
12.已知函数f(x)的定义域为R,且为可导函数,若对∀x∈R,总有(2﹣x)f(x)+xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),则( )
A.f(x)>0恒成立 B.f(x)<0恒成立
C.f(x)的最大值为0 D.f(x)与0的大小关系不确定
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的最大值小于0,从而证出结论
【解答】解:设g(x)=
∴g′(x)=,
∵对∀x∈R,总有(2﹣x)f(x)+xf′(x)<0成立,
当x>0时,g′(x)<0,函数g(x)递减
当x<0时,g′(x)>0,函数g(x)递增,
∴g(x)<g(0)=0,
∴<0恒成立
∴f(x)<0恒成立,
故选:B
【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,构造函数g(x)是解题的关键,本题是一道中档题.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.若a= 2 ,则(1+ax)5的展开式中x3项的系数为80.
【考点】二项式系数的性质.
【分析】利用通项公式即可得出.
【解答】解:通项公式Tr+1==arxr,则r=3.
令=80,解得a=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
14.已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同直线,l⊥α,m⊂β.给出下列命题:
①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③m∥α⇒l⊥β; ④l⊥β⇒m∥α.
其中正确的命题是 ①④ . (填写所有正确命题的序号).
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】在①中,由线面垂直的性质定理得l⊥m;在②中,l与m相交、平行或异面;在③中,l与β相交或平行;在④中,由已知得α∥β,从而m∥α.
【解答】解:由α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同直线,l⊥α,m⊂β,知:
在①中,α∥β⇒l⊥m,由线面垂直的性质定理得l⊥m,故①正确;
在②中,α⊥β⇒l与m相交、平行或异面,故②错误;
在③中,m∥α⇒l与β相交或平行,故③错误;
在④中,l⊥β⇒α∥β⇒m∥α,故④正确.
故答案为:①④.
【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bcosC﹣3ccosB=a,则tan(B﹣C)的最大值为 .
【考点】余弦定理;两角和与差的正切函数.
【分析】使用正弦定理将边化角,化简得出tanB和tanC的关系,代入两角差的正切公式使用基本不等式得出最大值.
【解答】解:∵2bcosC﹣3ccosB=a,
∴2sinBcosC﹣3sinCcosB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,
∴sinBcosC=4cosBsinC,
∴tanB=4tanC.
∴tan(B﹣C)===
≤.
故答案为:.
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换,正弦定理,属于中档题,
16.若二次函数f(x)=x2+1的图象与曲线C:g(x)=aex+1(a>0)存在公共切线,则实数a的取值范围为 (0,] .
【考点】二次函数的性质.
【分析】设公切线与f(x)、g(x)的切点坐标,由导数几何意义、斜率公式列出方程化简,分离出a后构造函数,利用导数求出函数的单调区间、最值,即可求出实数a的取值范围.
【解答】解:f(x)=x2+1的导数为f′(x)=2x,g(x)=aex+1的导数为g′(x)=aex,
设公切线与f(x)=x2+1的图象切于点(x1,x12+1),
与曲线C:g(x)=aex+1切于点(x2,aex2+1),
∴2x1=aex2==,
化简可得,2x1=,得x1=0或2x2=x1+2,
∵2x1=aex2,且a>0,∴x1>0,则2x2=x1+2>2,即x2>1,
由2x1=aex2,得a==,
设h(x)=(x>1),则h′(x)=,
∴h(x)在(1,2)上递增,在(2,+∞)上递减,
∴h(x)max=h(2)=,
∴实数a的取值范围为(0,],
故答案为:(0,].
【点评】本题考查了导数的几何意义、斜率公式,导数与函数的单调性、最值问题的应用,及方程思想和构造函数法,属于中档题.
三、解答题:本大题共5小题;共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)(2016秋•葫芦岛期末)等比数列{an}的各项均为正数,且a1+2a2=1,a32=4a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn+2=3log2,求数列{anbn}的前n项和.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)设数列{an}的公比为q,通过解方程组可求得a1与q,从而可求数列{an}的通项公式;
(2)利用错位相减法可求得数列{an•bn}的前n项和Sn.
【解答】解:(1)由a32=4a2a6得:a32=4a42∴q2= 即q=
又由a1+2a2=1得:a1=
∴an=()n…(6分)
(2)∵bn+2=3log2∴bn+2=3log22n∴bn=3n﹣2
∴cn=(3n﹣2)•()n
∴Sn=1×+4×()2+7×()3+…+(3n﹣5)•()n﹣1+(3n﹣2)•()n …①
Sn=1×()2+4×()3+7×()4+…+(3n﹣5)•()n+(3n﹣2)•()n+1…②
①﹣②得:
Sn=1×+3(()2+()3+…+()n)﹣(3n﹣2)•()n+1
=1×+3×
﹣(3n﹣2)•()n+1
=+3×(1﹣()n﹣1)﹣(3n﹣2)•()n+1
Sn=1+3﹣3×()n﹣1﹣(3n﹣2)•()n=4﹣()n(6+3n﹣2)=4﹣()n(3n+4)
即:Sn=4﹣…(12分)
【点评】本题考查数列的错位相减法求和,考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用,属于中档题.
18.(12分)(2016秋•葫芦岛期末)如图,四边形ABCD为矩形,PB=20,BC=30,PA⊥平面ABCD.
(1)证明:平面PCD⊥平面PAD;
(2)当AB的长为多少时,面PAB与面PCD所成的二面角为60°?请说明理由.
【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)推导出AB⊥AD,PA⊥AB,从而AB⊥平面PAD,再由AB∥CD,能证明平面PCD⊥平面PAD.
(2)以A为原点,AP,AB,AD所以直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出当AB的长为1时,面PAB与面PCD所成的二面角为60°.
【解答】(本小题满分12分)
证明:(1)∵四边形为矩形,∴AB⊥AD,
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,且PA∩AD=A,
∴AB⊥平面PAD,
∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,
∴CD⊥平面PAD,
又因为CD⊂平面PCD,
∴平面PCD⊥平面PAD.…(6分)
解:(2)如图,以A为原点,AP,AB,AD所以直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
设AB=a,则A(0,0,0),P(,0,0),B(0,a,0),C(0,a,3),D(0,0,3)
=(﹣,a,3),=(﹣,0,3),
设平面PCD的法向量为=(x,y,z),则由⊥,⊥得:
﹣•x+ay+3z=0,﹣ x+3z=0
∴=(3,0,﹣)
平面PAB的法向量为=(0,0,1)
又面PAB与面PCD所成的二面角为锐二面角,面PAB与面PCD所成的二面角为60°,
∴cos60°==,即: =2,
解得a=1
∴当AB的长为1时,面PAB与面PCD所成的二面角为60°.…(12分)
【点评】本题考查面面垂直的证明,考查满足二面角为60°的线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
19.(12分)(2016秋•葫芦岛期末)自主招生,是高校选拔录取工作改革的重要环节,通过高考自主招生笔试和面试之后,可以得到相应的高考降分政策;某高中高一学生共有1000人,其中城填初中毕业生750名(称为“城填生“),农村初中毕业生250人(称为“农村生“);为了摸清学生是否愿意参加自主招生,以便安排自主招生培训,拟采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查;
(1)试完成下列2×2联表,并分析是否有95%以上的把握说“是否愿意参加自主招生“与生源有关.
愿意参加
不愿意参加
合计
城填生
50
25
75
农村生
10
15
25
合计
60
40
100
(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试,考试题共有5道题,每题20分,对于这5道题,考生“高富帅”完全会答的有3道,不完全会的有2道,不完全会的每道题她得分S的概率满足:SKIPIF 1<0,假设解答各题之间没有影响.
①对于一道不完全会的题,求“高富帅”得分的均值E(s);
②试求“高富帅”在本次摸底考试中总得分的数学期望.
参考数据:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=(其中n=a+b+c+d)
【考点】独立性检验的应用.
【分析】(1)根据题意填写2×2列联表,计算K2,对照数表得出结论;
(2)①由S的所有可能取值计算对应的概率值即可;
②计算对应的分布列与期望值即可.
【解答】解:(1)根据题意填写2×2列联表如下:
利用时间充分
利用时间不充分
总计
走读生
50
25
75
住宿生
10
15
25
总计
60
40
100
计算K2=≈5.556,
由于K2>3.841,所以有95%的把握认为“是否愿意参加自主招生“与生源有关;…(6分)
(2)①S的所有可能取值为6,12,18且P(S=6)=,P(S=12)=,P(S=18)=,
E(S)=6×+12×+18×=10,
即“高富帅”得分的均值10分…(8分)
②设不完全会的2道题的最后得分为X,总得分为Y,则Y=60+X;
X的所有可能取值为12,18,24,30,36;
P(X=12)=×=,
P(X=18)=2××=,
P(X=24)=×+2××=,
P(X=30)=2××=,
P(X=36)=×=,
∴EX=12×+18×+24×+30×+36×=20,
EY=60+EX=80;
∴“高富帅”在本次摸底考试中总得分的数学期望为80分;
(若考生用其它方法得到正确结果同样赋分)…(12分)
【点评】本题考查了独立性检验与古典概型的概率与分布列、期望问题,是综合性题目.
20.(12分)(2016秋•葫芦岛期末)已知椭圆Cn: +=n(a>b>1,n∈N*),F1,F2是椭圆C4的焦点,A(2,)是椭圆C4上一点,且⋅=0;
(1)求Cn的离心率并求出C1的方程;
(2)P为椭圆C2上任意一点,直线PF1交椭圆C4于点E,F,直线PF2交椭圆C4于点M,N,设直线PF1的斜率为k1,直线PF2的斜率为k2;
(i)求证:k1k2=﹣
(ii)求|MN|⋅|EF|的取值范围.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)椭圆C4的方程为: =4,即: =1.不妨设c2=a2﹣b2,则F2(2c,0).由⋅=0,可得⊥.2c=2, ==,2b4=a2=b2+
1,解出即可得出.
(2)(i)椭圆C2的方程为: +y2=2 即: +=1.椭圆C4的方程为: =1.设P(x0,y0),由P在椭圆C2上,可得y02=(4﹣x02).再利用斜率计算公式即可证明k1k2为定值.
(ii)设直线PF1的方程为:y=k1(x+2)直线PF2的方程为:y=k2(x﹣2),与椭圆方程联立消元整理得:(2k12+1)x2+8k1x+8k12﹣8=0,设E(x1,y1),F(x2,y2),利用根与系数的关系可得|EF|=,|MN|.利用(i)的结论代入|EF|⋅|MN|,化简即可证明.
【解答】解:(1)解:椭圆C4的方程为: =4,即: =1.
不妨设c2=a2﹣b2 则F2(2c,0).
∵⋅=0,∴⊥.
于是2c=2, ==,2b4=a2=b2+1,
∴2b4﹣b2﹣1=0,
(2b2+1)(b2﹣1)=0,
∴b2=1,a2=2.
∴椭圆Cn的方程为: +y2=n.
∴e2==,∴e=.
椭圆C1的方程为: +y2=1.
(2)(i)证明:椭圆C2的方程为: +y2=2 即: +=1.
椭圆C4的方程为: +y2=4 即: =1.
∴F1(﹣2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),
∵P在椭圆C2上,∴ =1,即y02=(4﹣x02).
∴k1k2=•===﹣.
(ii)设直线PF1的方程为:y=k1(x+2)直线PF2的方程为:y=k2(x﹣2),
联立方程组: 消元整理得:(2k12+1)x2+8k1x+8k12﹣8=0…①
设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解,由韦达定理得:
x1+x2=﹣,x1x2=.
∴|EF|==.
同理:|MN|=.
∴|EF|⋅|MN|=•=32×=32×=
=16+≤18,
又|EF|⋅|MN|>0.
∴|EF|⋅|MN|∈(16,18].
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
21.(12分)(2016秋•葫芦岛期末)设函数f(x)=ex﹣ax2+1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.
(1)求a,b的值;
(2)若方程F(x)=f(x)﹣mx有两个极值点x1,x2(x1<x2),x0是x1与x2的等差中项;
(i)求实数m的取值范围;
(ii)求证:f′(x0)<0 ( f′(x)为f(x)的导函数).
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)先求导,再根据导数的几何意义即可求出a,b的值,ϕmin(x)=ϕ(ln2)=2﹣2ln2
(2)先求导,分离参数,再构造函数,利用导数求出最值,(i)结合图象m∈(2﹣2ln2,+∞),
(ii)由图易知:x1<ln2<x2设F(x)=ϕ(x)﹣ϕ(2ln2﹣x) (x<ln2),再求导,求出函数极值点,再根据等差中项的性质ϕ′(x0)<0,问题得以证明.
【解答】解:(1)f′(x)=ex﹣2ax,f′(1)=e﹣2a,f(1)=e﹣a+1,
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为:y﹣e+a﹣1=(e﹣2a)x﹣e+2a,
即:y=(e﹣2a)x+a+1,
由题意:e﹣2a=b,a+1=2,
∴a=1,b=e﹣2
(2)由(1)知:f(x)=ex﹣x2+1,f′(x)=ex﹣2x,
∴F′(x)=f′(x)﹣m=ex﹣2x﹣m,
令ϕ(x)=ex﹣2x,则ϕ′(x)=ex﹣2,由ϕ′(x)<0得:x<ln2;
由ϕ′(x)>0得:x>ln2;
∴ϕ(x)在(﹣∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增;
当x→+∞时,ϕ(x)→+∞,当x→﹣∞时,ϕ(x)→+∞;
ϕ(x)的图象如图所示:
ϕmin(x)=ϕ(ln2)=2﹣2ln2,
(i)若使ϕ(x)=f′(x)=ex﹣2x=m有两个解x1,x2,则应有:m>2﹣2ln2
∴m∈(2﹣2ln2,+∞),
(ii)由图易知:x1<ln2<x2
设F(x)=ϕ(x)﹣ϕ(2ln2﹣x) (x<ln2),
则F′(x)=ϕ′(x)+ϕ′(2ln2﹣x)=ex﹣2+e2ln2﹣x﹣2=ex+﹣4≥0,
∴F(x)在(﹣∞,ln2)上单调递增,
∴F(x)<F(ln2)=0,
即:ϕ(x)﹣ϕ(2ln2﹣x)<0,
即ϕ(x)<ϕ(2ln2﹣x),
∵x1∈(﹣∞,ln2),∴ϕ(x1)<ϕ(2ln2﹣x1),
∵ϕ(x1)=ϕ(x2)=m,∴ϕ(x2)<ϕ(2ln2﹣x1),
∵ϕ(x)在 (ln2,+∞)上单调递增且x2>ln2,2ln2﹣x1>ln2,
∴x2<2ln2﹣x1,
∴x1+x2<2ln2,
∴<ln2,
即x0<ln2,
∵ϕ(x)在(﹣∞,ln2)上单调递减,
∴ϕ′(x0)<0,
即f′(x0)<0
【点评】本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性和最值的关系,考查了转化能力,运算能力,解决问题的能力,属于难题.
[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]
22.(10分)(2016秋•葫芦岛期末)已知直线l的参数方程为 (t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ﹣).
(1)求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,设点P(0,),求|PA|+|PB|.
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(1)直线l的参数方程为 (t为参数),消去参数t化为普通方程可得,进而得到倾斜角.由曲线C的极坐标方程得到:ρ2=2ρcos(θ﹣),利用ρ2=x2+y2,即可化为直角坐标方程.
(2)将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答.
【解答】解 (1)直线的斜率为,直线l倾斜角为…(2分)
由曲线C的极坐标方程得到:ρ2=2ρcos(θ﹣),利用ρ2=x2+y2,得到曲线C的直角坐标方程为(x﹣)2+(y﹣)2=1…
(2)点P(0,)在直线l上且在圆C内部,所以|PA|+|PB|=|AB|…(6分)
直线l的直角坐标方程为y=x+…(8分)
所以圆心(,)到直线l的距离d=.所以|AB|=,即|PA|+|PB|=…(10分)
【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数求值、弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
[选修4-5:不等式选讲]
23.(2016秋•葫芦岛期末)设函数f(x)=|x﹣4|+|x﹣1|.
(1)解不等式:f(x)≤5;
(2)若函数g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】(1)由于|x﹣4|+|x﹣1|
表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和,而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5,由此求得不等式|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集.
(2)函数g(x)=的定义域为R,可得f(x)+2m≠0恒成立,|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解,利用|x﹣4|+|x﹣1|≥3,即可求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)由于|x﹣4|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和,
而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5,
故不等式|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集为{x|0≤x≤5}.
(2)函数g(x)=的定义域为R,可得f(x)+2m≠0恒成立,
∴|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解,
∵|x﹣4|+|x﹣1|≥3,
∴﹣2m<3,
∴m>﹣.
【点评】本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,属于中档题.