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  • 2021-07-01 发布

数学理卷·2017届辽宁省葫芦岛市普通高中高三上学期期末考试(2017

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‎2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高三(上)期末数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数z= (i为虚数单位)的虚部为(  )‎ A.3 B.﹣3 C.﹣3i D.2‎ ‎2.设全集U=R,集合A={x|1og2x≤2},B={x|(x﹣3)(x+1)≥0},则(∁UB)∩A=(  )‎ A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,﹣1]∪(0,3) C.[0,3) D.(0,3)‎ ‎3.已知平面向量,满足()=5,且||=2,||=1,则向量与夹角的正切值为(  )‎ A. B. C.﹣ D.﹣‎ ‎4.在如下程序框图中,任意输入一次x(0≤x≤1)与y(0≤y≤1),则能输出“恭喜中奖!”的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.在圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(  )‎ A.5 B.10 C.15 D.20‎ ‎6.如图,一个几何体的三视图如图所示,则该多面体的几条棱中,最长的棱的长度为(  )‎ A.3 B. C. D.3‎ ‎7.将函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ(0<φ<)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若g(x)≤|g()|对x∈R恒成立,则函数y=g(x)的单调递减区间是(  )‎ A.[kπ+,kπ+](k∈Z) B.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)‎ C.[kπ+,kπ+](k∈Z) D.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)‎ ‎8.成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中记载有很多数列问题,如“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈. 问日益几何.”意思是:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加(  )(其中1匹=4丈,1丈=10尺,1尺=10寸)‎ A.5寸另寸 B.5寸另寸 C.5寸另寸 D.5寸另寸 ‎9.化简=(  )‎ A.1 B.2 C. D.﹣1‎ ‎10.某名学生默写英语单词“bookkeeper(会计)”,他记得这个单词是由3个“e”,2个“o”,2个“k”,b,p,r各一个组成,2个“o”相邻,3个“e”恰有两个相邻,o,e都不在首位,他按此条件任意写出一个字母组合,则他写对这个单词的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.设双曲线﹣=1(a>0,b>‎ ‎0)的右焦点F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=λ+μ(λ,μ∈R),λμ=,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎12.已知函数f(x)的定义域为R,且为可导函数,若对∀x∈R,总有(2﹣x)f(x)+xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),则(  )‎ A.f(x)>0恒成立 B.f(x)<0恒成立 C.f(x)的最大值为0 D.f(x)与0的大小关系不确定 ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若a=  ,则(1+ax)5的展开式中x3项的系数为80.‎ ‎14.已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同直线,l⊥α,m⊂β.给出下列命题:‎ ‎①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③m∥α⇒l⊥β; ④l⊥β⇒m∥α.‎ 其中正确的命题是  . (填写所有正确命题的序号).‎ ‎15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bcosC﹣3ccosB=a,则tan(B﹣C)的最大值为  .‎ ‎16.若二次函数f(x)=x2+1的图象与曲线C:g(x)=aex+1(a>0)存在公共切线,则实数a的取值范围为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题;共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)等比数列{an}的各项均为正数,且a1+2a2=1,a32=4a2a6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn+2=3log2,求数列{anbn}的前n项和.‎ ‎18.(12分)如图,四边形ABCD为矩形,PB=20,BC=30,PA⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明:平面PCD⊥平面PAD;‎ ‎(2)当AB的长为多少时,面PAB与面PCD所成的二面角为60°?请说明理由.‎ ‎19.(12分)自主招生,是高校选拔录取工作改革的重要环节,通过高考自主招生笔试和面试之后,可以得到相应的高考降分政策;某高中高一学生共有1000人,其中城填初中毕业生750名(称为“城填生“),农村初中毕业生250人(称为“农村生“);为了摸清学生是否愿意参加自主招生,以便安排自主招生培训,拟采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查;‎ ‎(1)试完成下列2×2联表,并分析是否有95%以上的把握说“是否愿意参加自主招生“与生源有关.‎ 愿意参加 不愿意参加 合计 城填生 ‎50‎ ‎25‎ ‎  ‎ 农村生 ‎10‎ ‎15‎ ‎  ‎ 合计 ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试,考试题共有5道题,每题20分,对于这5道题,考生“高富帅”完全会答的有3道,不完全会的有2道,不完全会的每道题她得分S的概率满足:SKIPIF 1<0,假设解答各题之间没有影响.‎ ‎①对于一道不完全会的题,求“高富帅”得分的均值E(s);‎ ‎②试求“高富帅”在本次摸底考试中总得分的数学期望.‎ 参考数据:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ K2=(其中n=a+b+c+d)‎ ‎20.(12分)已知椭圆Cn: +=n(a>b>1,n∈N*),F1,F2是椭圆C4的焦点,A(2,)是椭圆C4上一点,且⋅=0;‎ ‎(1)求Cn的离心率并求出C1的方程;‎ ‎(2)P为椭圆C2上任意一点,直线PF1交椭圆C4于点E,F,直线PF2交椭圆C4于点M,N,设直线PF1的斜率为k1,直线PF2的斜率为k2;‎ ‎(i)求证:k1k2=﹣‎ ‎(ii)求|MN|⋅|EF|的取值范围.‎ ‎21.(12分)设函数f(x)=ex﹣ax2+1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)若方程F(x)=f(x)﹣mx有两个极值点x1,x2(x1<x2),x0是x1与x2的等差中项;‎ ‎(i)求实数m的取值范围;‎ ‎(ii)求证:f′(x0)<0 ( f′(x)为f(x)的导函数).‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22.(10分)已知直线l的参数方程为 (t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ﹣).‎ ‎(1)求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,设点P(0,),求|PA|+|PB|.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.设函数f(x)=|x﹣4|+|x﹣1|.‎ ‎(1)解不等式:f(x)≤5;‎ ‎(2)若函数g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高三(上)期末数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数z= (i为虚数单位)的虚部为(  )‎ A.3 B.﹣3 C.﹣3i D.2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案.‎ ‎【解答】解:z==,‎ 复数z= (i为虚数单位)的虚部为:﹣3.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.设全集U=R,集合A={x|1og2x≤2},B={x|(x﹣3)(x+1)≥0},则(∁UB)∩A=(  )‎ A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,﹣1]∪(0,3) C.[0,3) D.(0,3)‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算.‎ ‎【分析】根据题意,先求出集合A,B,进而求出B的补集,进而根据交集的定义,可得答案.‎ ‎【解答】解:∵集合A={x|1og2x≤2}=(0,4],‎ B={x|(x﹣3)(x+1)≥0}=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),‎ ‎∴CUB=(﹣1,3),‎ ‎∴(CUB)∩A=(0,3),‎ 故选:D ‎【点评】本题考查集合混合运算,注意运算的顺序,其次要理解集合交、并、补的含义.‎ ‎ ‎ ‎3.已知平面向量,满足()=5,且||=2,||=1,则向量与夹角的正切值为(  )‎ A. B. C.﹣ D.﹣‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】根据平面向量数量积的定义,即可求出向量、的夹角θ以及θ的正切值.‎ ‎【解答】解:设、的夹角为θ,则θ∈[0,π],‎ 又()=5,||=2,||=1,‎ ‎∴+•=22+2×1×cosθ=5,‎ 解得cosθ=,‎ ‎∴θ=,‎ ‎∴tanθ=,‎ 即向量与夹角的正切值为.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了利用平面向量的数量积求夹角的应用问题,是基础题目.‎ ‎ ‎ ‎4.在如下程序框图中,任意输入一次x(0≤x≤1)与y(0≤y≤‎ ‎1),则能输出“恭喜中奖!”的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】根据查询框图转化为几何概型进行计算即可.‎ ‎【解答】解:程序框图对应的不等式组为,‎ 则“恭喜中奖!满足条件为y≥x+,‎ 作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 则正方形的面积S=1×1=1,‎ D(0,),E(,1),‎ 则△ADE的面积S=××=,‎ 则能输出“恭喜中奖!”的概率为,‎ 故选:A ‎【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算,根据程序框图转化为几何概型是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.在圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(  )‎ A.5 B.10 C.15 D.20‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质.‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标与圆的半径,根据图形可知,过点E最长的弦为直径AC,最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD,根据两点间的距离公式求出ME的长度,根据垂径定理得到E为BD的中点,在直角三角形BME中,根据勾股定理求出BE,则BD=2BE,然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积.‎ ‎【解答】解:把圆的方程化为标准方程得:(x﹣2)2+(y﹣2)2=10,‎ 则圆心坐标为(2,2),半径为,‎ 根据题意画出图象,如图所示:‎ 由图象可知:过点E最长的弦为直径AC,最短的弦为过E与直径AC垂直的弦,则AC=2,MB=,ME==,‎ 所以BD=2BE=2,‎ 又AC⊥BD,‎ 所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10.‎ 故选B ‎【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用,灵活运用两点间的距离公式化简求值,是一道中档题.学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.‎ ‎ ‎ ‎6.如图,一个几何体的三视图如图所示,则该多面体的几条棱中,最长的棱的长度为(  )‎ A.3 B. C. D.3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是三棱锥,画出它的直观图,求出各条棱长即可.‎ ‎【解答】解:根据几何体的三视图,得;‎ 该几何体是三棱锥P﹣ABC,如图所示;‎ PA=4,AB=3+2=5,C到AB中点D的距离为CD=3,‎ ‎∴PB===,‎ AC===,‎ BC==,‎ PC===,‎ ‎∴PB最长,长度为.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么.‎ ‎ ‎ ‎7.将函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ(0<φ<)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若g(x)≤|g()|对x∈R恒成立,则函数y=g(x)的单调递减区间是(  )‎ A.[kπ+,kπ+](k∈Z) B.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)‎ C.[kπ+,kπ+](k∈Z) D.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)‎ ‎【考点】三角函数的化简求值;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.‎ ‎【分析】首先通过三角函数的恒等变换,变换成正弦型函数,进一步利用平移变换,最后根据正弦型函数的单调性求得结果.‎ ‎【解答】解:f(x)=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位,得到 g(x)=2sin(2x+2φ﹣).‎ ‎∵g(x)≤|g()|对x∈R恒成立,‎ ‎∴g()=±1,即2sin(2×+2φ﹣)=±1,‎ ‎∴φ=kπ+,(k∈Z)‎ ‎∵0<φ<,‎ ‎∴φ=,‎ ‎∴g(x)=2sin(2x+).‎ 令2x+∈[2kπ+,2kπ+π],(k∈Z)‎ 则x∈[kπ+,kπ+](k∈Z)‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查的知识要点:三角函数的恒等变换,函数图象的平移变换问题,及函数单调区间问题,属于基础题型.‎ ‎ ‎ ‎8.成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中记载有很多数列问题,如“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈. 问日益几何.”意思是:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加(  )(其中1匹=4丈,1丈=10尺,1尺=10寸)‎ A.5寸另寸 B.5寸另寸 C.5寸另寸 D.5寸另寸 ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】设该妇子织布每天增加d尺,由等差数列前n项和公式能求出d,再把尺换算成寸即可.‎ ‎【解答】解:设该妇子织布每天增加d尺,‎ 由题意知,‎ 解得d=尺.‎ 尺=寸=5寸另寸.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎9.化简=(  )‎ A.1 B.2 C. D.﹣1‎ ‎【考点】二倍角的余弦;三角函数中的恒等变换应用.‎ ‎【分析】用倍角公式化简后,再用诱导公式即可化简求值.‎ ‎【解答】解: ===2.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用,三角函数中的恒等变换应用,属于基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎10.某名学生默写英语单词“bookkeeper(会计)”,他记得这个单词是由3个“e”,2个“o”,2个“k”,b,p,r各一个组成,2个“o”相邻,3个“e”恰有两个相邻,o,e都不在首位,他按此条件任意写出一个字母组合,则他写对这个单词的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.‎ ‎【分析】由排列组合知识求出基本事件总数n==9600,由此能求出他写对这个单词的概率.‎ ‎【解答】解:某名学生默写英语单词“bookkeeper(会计)”,他记得这个单词是由3个“e”,2个“o”,2个“k”,b,p,r各一个组成,‎ ‎2个“o”相邻,3个“e”恰有两个相邻,o,e都不在首位,他按此条件任意写出一个字母组合,‎ 基本事件总数n==9600,‎ ‎∴他按此条件任意写出一个字母组合,则他写对这个单词的概率为p=.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎11.设双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=λ+μ(λ,μ∈R),λμ=,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由方程可得渐近线,可得A,B,P的坐标,由已知向量式可得λ+μ=1,λ﹣μ=,解之可得λμ的值,由λμ=,可得a,c的关系,由离心率的定义可得.‎ ‎【解答】解:双曲线的渐近线为:y=±x,设焦点F(c,0),则 A(c,),B(c,﹣),P(c,),‎ 因为=λ+μ,‎ 所以(c,)=((λ+μ)c,(λ﹣μ)),‎ 所以λ+μ=1,λ﹣μ=,‎ 解得:λ=,μ=,‎ 又由λμ=,得:,‎ 解得=,‎ 所以,e=2.‎ 故选:D ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质,涉及双曲线的离心率的求解,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)的定义域为R,且为可导函数,若对∀x∈R,总有(2﹣x)f(x)+xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),则(  )‎ A.f(x)>0恒成立 B.f(x)<0恒成立 C.f(x)的最大值为0 D.f(x)与0的大小关系不确定 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的最大值小于0,从而证出结论 ‎【解答】解:设g(x)=‎ ‎∴g′(x)=,‎ ‎∵对∀x∈R,总有(2﹣x)f(x)+xf′(x)<0成立,‎ 当x>0时,g′(x)<0,函数g(x)递减 当x<0时,g′(x)>0,函数g(x)递增,‎ ‎∴g(x)<g(0)=0,‎ ‎∴<0恒成立 ‎∴f(x)<0恒成立,‎ 故选:B ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,构造函数g(x)是解题的关键,本题是一道中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若a= 2 ,则(1+ax)5的展开式中x3项的系数为80.‎ ‎【考点】二项式系数的性质.‎ ‎【分析】利用通项公式即可得出.‎ ‎【解答】解:通项公式Tr+1==arxr,则r=3.‎ 令=80,解得a=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎14.已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同直线,l⊥α,m⊂β.给出下列命题:‎ ‎①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③m∥α⇒l⊥β; ④l⊥β⇒m∥α.‎ 其中正确的命题是 ①④ . (填写所有正确命题的序号).‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【分析】在①中,由线面垂直的性质定理得l⊥m;在②中,l与m相交、平行或异面;在③中,l与β相交或平行;在④中,由已知得α∥β,从而m∥α.‎ ‎【解答】解:由α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同直线,l⊥α,m⊂β,知:‎ 在①中,α∥β⇒l⊥m,由线面垂直的性质定理得l⊥m,故①正确;‎ 在②中,α⊥β⇒l与m相交、平行或异面,故②错误;‎ 在③中,m∥α⇒l与β相交或平行,故③错误;‎ 在④中,l⊥β⇒α∥β⇒m∥α,故④正确.‎ 故答案为:①④.‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.‎ ‎ ‎ ‎15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bcosC﹣3ccosB=a,则tan(B﹣C)的最大值为  .‎ ‎【考点】余弦定理;两角和与差的正切函数.‎ ‎【分析】使用正弦定理将边化角,化简得出tanB和tanC的关系,代入两角差的正切公式使用基本不等式得出最大值.‎ ‎【解答】解:∵2bcosC﹣3ccosB=a,‎ ‎∴2sinBcosC﹣3sinCcosB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,‎ ‎∴sinBcosC=4cosBsinC,‎ ‎∴tanB=4tanC.‎ ‎∴tan(B﹣C)===‎ ‎≤.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的恒等变换,正弦定理,属于中档题,‎ ‎ ‎ ‎16.若二次函数f(x)=x2+1的图象与曲线C:g(x)=aex+1(a>0)存在公共切线,则实数a的取值范围为 (0,] .‎ ‎【考点】二次函数的性质.‎ ‎【分析】设公切线与f(x)、g(x)的切点坐标,由导数几何意义、斜率公式列出方程化简,分离出a后构造函数,利用导数求出函数的单调区间、最值,即可求出实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:f(x)=x2+1的导数为f′(x)=2x,g(x)=aex+1的导数为g′(x)=aex,‎ 设公切线与f(x)=x2+1的图象切于点(x1,x12+1),‎ 与曲线C:g(x)=aex+1切于点(x2,aex2+1),‎ ‎∴2x1=aex2==,‎ 化简可得,2x1=,得x1=0或2x2=x1+2,‎ ‎∵2x1=aex2,且a>0,∴x1>0,则2x2=x1+2>2,即x2>1,‎ 由2x1=aex2,得a==,‎ 设h(x)=(x>1),则h′(x)=,‎ ‎∴h(x)在(1,2)上递增,在(2,+∞)上递减,‎ ‎∴h(x)max=h(2)=,‎ ‎∴实数a的取值范围为(0,],‎ 故答案为:(0,].‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义、斜率公式,导数与函数的单调性、最值问题的应用,及方程思想和构造函数法,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题;共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)(2016秋•葫芦岛期末)等比数列{an}的各项均为正数,且a1+2a2=1,a32=4a2a6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn+2=3log2,求数列{anbn}的前n项和.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.‎ ‎【分析】(1)设数列{an}的公比为q,通过解方程组可求得a1与q,从而可求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)利用错位相减法可求得数列{an•bn}的前n项和Sn.‎ ‎【解答】解:(1)由a32=4a2a6得:a32=4a42∴q2= 即q=‎ 又由a1+2a2=1得:a1=‎ ‎∴an=()n…(6分)‎ ‎(2)∵bn+2=3log2∴bn+2=3log22n∴bn=3n﹣2‎ ‎∴cn=(3n﹣2)•()n ‎∴Sn=1×+4×()2+7×()3+…+(3n﹣5)•()n﹣1+(3n﹣2)•()n …①‎ Sn=1×()2+4×()3+7×()4+…+(3n﹣5)•()n+(3n﹣2)•()n+1…②‎ ‎①﹣②得:‎ Sn=1×+3(()2+()3+…+()n)﹣(3n﹣2)•()n+1‎ ‎=1×+3×‎ ‎﹣(3n﹣2)•()n+1‎ ‎=+3×(1﹣()n﹣1)﹣(3n﹣2)•()n+1‎ Sn=1+3﹣3×()n﹣1﹣(3n﹣2)•()n=4﹣()n(6+3n﹣2)=4﹣()n(3n+4)‎ 即:Sn=4﹣…(12分)‎ ‎【点评】本题考查数列的错位相减法求和,考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2016秋•葫芦岛期末)如图,四边形ABCD为矩形,PB=20,BC=30,PA⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明:平面PCD⊥平面PAD;‎ ‎(2)当AB的长为多少时,面PAB与面PCD所成的二面角为60°?请说明理由.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(1)推导出AB⊥AD,PA⊥AB,从而AB⊥平面PAD,再由AB∥CD,能证明平面PCD⊥平面PAD.‎ ‎(2)以A为原点,AP,AB,AD所以直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出当AB的长为1时,面PAB与面PCD所成的二面角为60°.‎ ‎【解答】(本小题满分12分)‎ 证明:(1)∵四边形为矩形,∴AB⊥AD,‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,且PA∩AD=A,‎ ‎∴AB⊥平面PAD,‎ ‎∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,‎ ‎∴CD⊥平面PAD,‎ 又因为CD⊂平面PCD,‎ ‎∴平面PCD⊥平面PAD.…(6分)‎ 解:(2)如图,以A为原点,AP,AB,AD所以直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,‎ 设AB=a,则A(0,0,0),P(,0,0),B(0,a,0),C(0,a,3),D(0,0,3)‎ ‎=(﹣,a,3),=(﹣,0,3),‎ 设平面PCD的法向量为=(x,y,z),则由⊥,⊥得:‎ ‎﹣•x+ay+3z=0,﹣ x+3z=0‎ ‎∴=(3,0,﹣)‎ 平面PAB的法向量为=(0,0,1)‎ 又面PAB与面PCD所成的二面角为锐二面角,面PAB与面PCD所成的二面角为60°,‎ ‎∴cos60°==,即: =2,‎ 解得a=1‎ ‎∴当AB的长为1时,面PAB与面PCD所成的二面角为60°.…(12分)‎ ‎【点评】本题考查面面垂直的证明,考查满足二面角为60°的线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2016秋•葫芦岛期末)自主招生,是高校选拔录取工作改革的重要环节,通过高考自主招生笔试和面试之后,可以得到相应的高考降分政策;某高中高一学生共有1000人,其中城填初中毕业生750名(称为“城填生“),农村初中毕业生250人(称为“农村生“);为了摸清学生是否愿意参加自主招生,以便安排自主招生培训,拟采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查;‎ ‎(1)试完成下列2×2联表,并分析是否有95%以上的把握说“是否愿意参加自主招生“与生源有关.‎ 愿意参加 不愿意参加 合计 城填生 ‎50‎ ‎25‎ ‎ 75 ‎ 农村生 ‎10‎ ‎15‎ ‎ 25 ‎ 合计 ‎ 60 ‎ ‎ 40 ‎ ‎ 100 ‎ ‎(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试,考试题共有5道题,每题20分,对于这5道题,考生“高富帅”完全会答的有3道,不完全会的有2道,不完全会的每道题她得分S的概率满足:SKIPIF 1<0,假设解答各题之间没有影响.‎ ‎①对于一道不完全会的题,求“高富帅”得分的均值E(s);‎ ‎②试求“高富帅”在本次摸底考试中总得分的数学期望.‎ 参考数据:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ K2=(其中n=a+b+c+d)‎ ‎【考点】独立性检验的应用.‎ ‎【分析】(1)根据题意填写2×2列联表,计算K2,对照数表得出结论;‎ ‎(2)①由S的所有可能取值计算对应的概率值即可;‎ ‎②计算对应的分布列与期望值即可.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意填写2×2列联表如下:‎ 利用时间充分 利用时间不充分 总计 走读生 ‎50‎ ‎25‎ ‎75‎ 住宿生 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 总计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 计算K2=≈5.556,‎ 由于K2>3.841,所以有95%的把握认为“是否愿意参加自主招生“与生源有关;…(6分)‎ ‎(2)①S的所有可能取值为6,12,18且P(S=6)=,P(S=12)=,P(S=18)=,‎ E(S)=6×+12×+18×=10,‎ 即“高富帅”得分的均值10分…(8分)‎ ‎②设不完全会的2道题的最后得分为X,总得分为Y,则Y=60+X;‎ X的所有可能取值为12,18,24,30,36;‎ P(X=12)=×=,‎ P(X=18)=2××=,‎ P(X=24)=×+2××=,‎ P(X=30)=2××=,‎ P(X=36)=×=,‎ ‎∴EX=12×+18×+24×+30×+36×=20,‎ EY=60+EX=80;‎ ‎∴“高富帅”在本次摸底考试中总得分的数学期望为80分;‎ ‎(若考生用其它方法得到正确结果同样赋分)…(12分)‎ ‎【点评】本题考查了独立性检验与古典概型的概率与分布列、期望问题,是综合性题目.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2016秋•葫芦岛期末)已知椭圆Cn: +=n(a>b>1,n∈N*),F1,F2是椭圆C4的焦点,A(2,)是椭圆C4上一点,且⋅=0;‎ ‎(1)求Cn的离心率并求出C1的方程;‎ ‎(2)P为椭圆C2上任意一点,直线PF1交椭圆C4于点E,F,直线PF2交椭圆C4于点M,N,设直线PF1的斜率为k1,直线PF2的斜率为k2;‎ ‎(i)求证:k1k2=﹣‎ ‎(ii)求|MN|⋅|EF|的取值范围.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)椭圆C4的方程为: =4,即: =1.不妨设c2=a2﹣b2,则F2(2c,0).由⋅=0,可得⊥.2c=2, ==,2b4=a2=b2+‎ ‎1,解出即可得出.‎ ‎(2)(i)椭圆C2的方程为: +y2=2 即: +=1.椭圆C4的方程为: =1.设P(x0,y0),由P在椭圆C2上,可得y02=(4﹣x02).再利用斜率计算公式即可证明k1k2为定值.‎ ‎(ii)设直线PF1的方程为:y=k1(x+2)直线PF2的方程为:y=k2(x﹣2),与椭圆方程联立消元整理得:(2k12+1)x2+8k1x+8k12﹣8=0,设E(x1,y1),F(x2,y2),利用根与系数的关系可得|EF|=,|MN|.利用(i)的结论代入|EF|⋅|MN|,化简即可证明.‎ ‎【解答】解:(1)解:椭圆C4的方程为: =4,即: =1.‎ 不妨设c2=a2﹣b2 则F2(2c,0).‎ ‎∵⋅=0,∴⊥.‎ 于是2c=2, ==,2b4=a2=b2+1,‎ ‎∴2b4﹣b2﹣1=0,‎ ‎ (2b2+1)(b2﹣1)=0,‎ ‎∴b2=1,a2=2.‎ ‎∴椭圆Cn的方程为: +y2=n.‎ ‎∴e2==,∴e=.‎ 椭圆C1的方程为: +y2=1.‎ ‎(2)(i)证明:椭圆C2的方程为: +y2=2 即: +=1.‎ 椭圆C4的方程为: +y2=4 即: =1.‎ ‎∴F1(﹣2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),‎ ‎∵P在椭圆C2上,∴ =1,即y02=(4﹣x02).‎ ‎∴k1k2=•===﹣.‎ ‎(ii)设直线PF1的方程为:y=k1(x+2)直线PF2的方程为:y=k2(x﹣2),‎ 联立方程组: 消元整理得:(2k12+1)x2+8k1x+8k12﹣8=0…①‎ 设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解,由韦达定理得:‎ x1+x2=﹣,x1x2=.‎ ‎∴|EF|==.‎ 同理:|MN|=.‎ ‎∴|EF|⋅|MN|=•=32×=32×=‎ ‎=16+≤18,‎ 又|EF|⋅|MN|>0.‎ ‎∴|EF|⋅|MN|∈(16,18].‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2016秋•葫芦岛期末)设函数f(x)=ex﹣ax2+1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)若方程F(x)=f(x)﹣mx有两个极值点x1,x2(x1<x2),x0是x1与x2的等差中项;‎ ‎(i)求实数m的取值范围;‎ ‎(ii)求证:f′(x0)<0 ( f′(x)为f(x)的导函数).‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)先求导,再根据导数的几何意义即可求出a,b的值,ϕmin(x)=ϕ(ln2)=2﹣2ln2‎ ‎(2)先求导,分离参数,再构造函数,利用导数求出最值,(i)结合图象m∈(2﹣2ln2,+∞),‎ ‎(ii)由图易知:x1<ln2<x2设F(x)=ϕ(x)﹣ϕ(2ln2﹣x) (x<ln2),再求导,求出函数极值点,再根据等差中项的性质ϕ′(x0)<0,问题得以证明.‎ ‎【解答】解:(1)f′(x)=ex﹣2ax,f′(1)=e﹣2a,f(1)=e﹣a+1,‎ ‎∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为:y﹣e+a﹣1=(e﹣2a)x﹣e+2a,‎ 即:y=(e﹣2a)x+a+1,‎ 由题意:e﹣2a=b,a+1=2,‎ ‎∴a=1,b=e﹣2‎ ‎(2)由(1)知:f(x)=ex﹣x2+1,f′(x)=ex﹣2x,‎ ‎∴F′(x)=f′(x)﹣m=ex﹣2x﹣m,‎ 令ϕ(x)=ex﹣2x,则ϕ′(x)=ex﹣2,由ϕ′(x)<0得:x<ln2;‎ 由ϕ′(x)>0得:x>ln2;‎ ‎∴ϕ(x)在(﹣∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增;‎ 当x→+∞时,ϕ(x)→+∞,当x→﹣∞时,ϕ(x)→+∞;‎ ϕ(x)的图象如图所示:‎ ϕmin(x)=ϕ(ln2)=2﹣2ln2,‎ ‎(i)若使ϕ(x)=f′(x)=ex﹣2x=m有两个解x1,x2,则应有:m>2﹣2ln2‎ ‎∴m∈(2﹣2ln2,+∞),‎ ‎(ii)由图易知:x1<ln2<x2‎ 设F(x)=ϕ(x)﹣ϕ(2ln2﹣x) (x<ln2),‎ 则F′(x)=ϕ′(x)+ϕ′(2ln2﹣x)=ex﹣2+e2ln2﹣x﹣2=ex+﹣4≥0,‎ ‎∴F(x)在(﹣∞,ln2)上单调递增,‎ ‎∴F(x)<F(ln2)=0,‎ 即:ϕ(x)﹣ϕ(2ln2﹣x)<0,‎ 即ϕ(x)<ϕ(2ln2﹣x),‎ ‎∵x1∈(﹣∞,ln2),∴ϕ(x1)<ϕ(2ln2﹣x1),‎ ‎∵ϕ(x1)=ϕ(x2)=m,∴ϕ(x2)<ϕ(2ln2﹣x1),‎ ‎∵ϕ(x)在 (ln2,+∞)上单调递增且x2>ln2,2ln2﹣x1>ln2,‎ ‎∴x2<2ln2﹣x1,‎ ‎∴x1+x2<2ln2,‎ ‎∴<ln2,‎ 即x0<ln2,‎ ‎∵ϕ(x)在(﹣∞,ln2)上单调递减,‎ ‎∴ϕ′(x0)<0,‎ ‎ 即f′(x0)<0‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性和最值的关系,考查了转化能力,运算能力,解决问题的能力,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22.(10分)(2016秋•葫芦岛期末)已知直线l的参数方程为 (t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ﹣).‎ ‎(1)求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,设点P(0,),求|PA|+|PB|.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.‎ ‎【分析】(1)直线l的参数方程为 (t为参数),消去参数t化为普通方程可得,进而得到倾斜角.由曲线C的极坐标方程得到:ρ2=2ρcos(θ﹣),利用ρ2=x2+y2,即可化为直角坐标方程.‎ ‎(2)将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答.‎ ‎【解答】解 (1)直线的斜率为,直线l倾斜角为…(2分)‎ 由曲线C的极坐标方程得到:ρ2=2ρcos(θ﹣),利用ρ2=x2+y2,得到曲线C的直角坐标方程为(x﹣)2+(y﹣)2=1…‎ ‎(2)点P(0,)在直线l上且在圆C内部,所以|PA|+|PB|=|AB|…(6分)‎ 直线l的直角坐标方程为y=x+…(8分)‎ 所以圆心(,)到直线l的距离d=.所以|AB|=,即|PA|+|PB|=…(10分)‎ ‎【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数求值、弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.(2016秋•葫芦岛期末)设函数f(x)=|x﹣4|+|x﹣1|.‎ ‎(1)解不等式:f(x)≤5;‎ ‎(2)若函数g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法.‎ ‎【分析】(1)由于|x﹣4|+|x﹣1|‎ 表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和,而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5,由此求得不等式|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集.‎ ‎(2)函数g(x)=的定义域为R,可得f(x)+2m≠0恒成立,|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解,利用|x﹣4|+|x﹣1|≥3,即可求实数m的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)由于|x﹣4|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和,‎ 而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5,‎ 故不等式|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集为{x|0≤x≤5}.‎ ‎(2)函数g(x)=的定义域为R,可得f(x)+2m≠0恒成立,‎ ‎∴|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解,‎ ‎∵|x﹣4|+|x﹣1|≥3,‎ ‎∴﹣2m<3,‎ ‎∴m>﹣.‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,属于中档题.‎ ‎ ‎