数学理卷·2018届安徽省全椒中学高二上学期期末考试（2017-01） 8页

全椒中学2016-2017学年度第一学期期末考试 高二年级数学试卷（理科）‎ 命题人：陈婷婷 审题人：路吾菊 一．单项选择题（每小题5分，12小题，共60分）‎ ‎1. 已知复数满足,其中为虚数单位,则的共轭复数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 下列命题错误的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题为“若”；‎ B．若命题，则；‎ C. ；‎ D．”是“”的充分不必要条件；‎ ‎3. 按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（　　）‎ A．6 B．21 C．156 D．231‎ ‎4.若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 函数f(x)＝ln (x＋)，若实数a，b满足f(2a＋5)＋f(4－b)＝0，则2a－b＝(　　)‎ A．1 B．－1 C．－9 D．9‎ ‎6. 函数的图象大致是 ( 　)‎ ‎ ‎ ‎7. 自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求的值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知为偶函数，则的一个取值（ ）‎ A． B．- C ．- D. ‎ ‎9. 点P为双曲线上异于顶点的任意一点，F1、F2为双曲线的两个焦点，则△F1PF2的重心的轨迹方程是（ ）‎ A 9x2－16y2=16 (y≠0) B 9x2+16y2=16 (y≠0) ‎ C 9x2－16y2=9 (y≠0) D 9x2+16y2=9 (y≠0)‎ ‎10．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c(x∈R)，下列结论错误的是(　　)‎ A．函数f(x)一定存在三个零点 B．若函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是增函数，则x2－x1≥ C．函数f(x)的图象是中心对称图形 D．函数f(x)一定存在极大值和极小值 ‎11.已知抛物线上两个动点B、C和点A(1,2),且，则动直线BC必过定点（ ）‎ A. (2,5) B. (-2,5) C. (5,-2) D. (5,2) ‎ ‎12.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),已知f(x+1)是偶函数且(x-1)f′(x)<0.若a2,则f(a)与f(b)的大小关系是(　　)‎ A. f(a)f(b) C. f(a)=f(b) D .不确定 二．填空题（每小题5分，4小题，共20分）‎ ‎13. 已知双曲线的渐近线方程是，离心率为 ‎ ‎14.在矩形ABCD中，，若，则m+n＝ ． ‎ ‎15. 观察下列等式：‎ 可以推测，m – n + p = .[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎16．设函数f（x）=ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数a的最小值为 ‎ 三．解答题（6小题，共70分）‎ ‎17. （10分）在数列中，，若为等差数列，‎ 若 ，求Tn.‎ ‎18.（12分）．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）在锐角△ABC中，f（A﹣）=，且b+c=4，求A的大小及边长a最小值．‎ ‎19．（12分）为了了解调研高二年级新学生的智力水平，某校按l 0%的比例对700名高二学生按性别分别进行“智力评分”抽样检查，测得“智力评分”的频数分布表如表l，表2．‎ 表1：男生“智力评分”频数分布表 智力评分 ‎[160，165）‎ ‎[165，170）‎ ‎[170，175）‎ ‎[175，180）‎ ‎[180，185）‎ ‎[185，190）‎ 频数 ‎2‎ ‎5‎ ‎14‎ ‎13‎ ‎4‎ ‎2‎ 表2：女生“智力评分”频数分布表 智力评分 ‎[150，155）‎ ‎[155，160）‎ ‎[160，165）‎ ‎[165，170）‎ ‎[170，175）‎ ‎[175，180）‎ 频数 ‎1‎ ‎7‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）求高二的男生人数并完成如图所示的男生的频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）估计该校学生“智力评分”在[165，180）之间的概率；‎ ‎（Ⅲ）从样本中“智力评分”在[180，190）的男生中任选2人，求至少有1人“智力评分”在[185，190）之间的概率．‎ ‎20．（12分）如图ABCD为正方形，,VD=AD=2,F为VA中点，‎ E为CD中点.‎ ‎①求证：；‎ ‎②求平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值；‎ ‎③V、D、C、B四点在同一个球面上，所在球的球面面积为S，求S.‎ ‎21.（12分）如图，已知椭圆＋=1 (a>b>0)，A(2,0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设P，Q为椭圆上异于A，B且不重合的两点，若∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，则是否存在实数λ，使得＝λ？若存在，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求证：．‎ 参考答案 DCDDC C C BAA C B ‎ ‎13.2 14.-3/4 15. 962 16.1﹣1/e 17.‎ ‎18解：（1）f（x）=‎ ‎∴f（x）最小周期为T=；令得﹣∴f（x）单调递增区间为 ‎（2），所以，即：，因为A是三角形的内角，所以A=，A=；b+c=4，所以a2=b2+c2﹣2bccosA；当A=‎ 时，a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=16﹣3bc≥16﹣3=4，a的最小值是2；同理当A=时，a的最小值为．‎ ‎19解：（Ⅰ）样本中男生人数是40，由抽样比例是10%可得高一的男生人数是400，‎ 男生的频率分布直方图如图所示 ‎ ‎（Ⅱ）P= （Ⅲ）　‎ ‎20.可直接补形来解也可以建立空间直角坐标系来解 ‎①略 ② 30度 ③ ‎ ‎21.解：(1)∵·＝0，∴⊥，∠ACB＝90°．‎ 又|－|＝2|－|，即||＝2||，∴||＝||，‎ ‎∴△AOC是等腰直角三角形．∵A(2,0)，∴C(1,1)．又点C在椭圆上，a＝2，‎ ‎∴＋＝1，∴b2＝，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1．‎ ‎ (2)对于椭圆上两点P，Q，∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，‎ ‎∴PC与CQ所在直线关于直线x＝1对称．设kPC＝k(k≠0且k≠±1)，则kC Q＝－k，‎ 则直线PC的方程为y－1＝k(x－1)⇒y＝k(x－1)＋1，①‎ 直线CQ的方程为y－1＝－k(x－1)⇒y＝－k(x－1)＋1，②将①代入＋＝1，得(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0.③∵C(1,1)在椭圆上，∴x＝1是方程③的一个根，∴xP＝，以－k替换k，得到xQ＝.‎ kPQ＝＝＝＝＝.而kAB＝，∴kPQ＝kAB，∴PQ∥AB，∴存在实数λ，使得＝λ．又||＝＝＝＝≤‎ ，‎ 当且仅当9k2＝，即k2＝，k＝±时取等号．又||＝，∴λmax＝＝.‎ ‎22.（1）1. 当 a>0,增区间[0,1], 减区间为[1,+∞）‎ ‎2. 当 a=0,无 ‎3. 当 a<0, 增区间[1,+∞）; 减区间为[0,1]‎ ‎ (2)由（1）知，a>0,增区间[0,1], 减区间为[1,+∞）f(x)≤-a-3,则lnx-x≤-1,则lnx≤x-1,‎ lnx/x≤(x-1)/x,代入n=2,3,4,…即证。‎