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  • 2021-07-01 发布

2017-2018学年天津市部分区高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)

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‎2017-2018学年天津市部分区高二(上)期末数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)‎ ‎1.(4分)经过两点A(4,a),B(2,3)的直线的倾斜角为,则a=(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎2.(4分)双曲线=1的离心率是(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎3.(4分)命题“∃m∈N,曲线=1是椭圆”的否定是(  )‎ A.∀m∈N,曲线=1是椭圆 B.∀m∈N,曲线=1不是椭圆 C.∃m∈N+,曲线=1是椭圆 D.∃m∈N+,曲线=1不是椭圆 ‎4.(4分)已知向量=(λ,1,3),=(0,﹣3,3+λ),若,则实数λ的值为(  )‎ A.﹣2 B.﹣ C. D.2‎ ‎5.(4分)“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.(4分)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形,则该几何体外接球的表面积为(  )‎ A.π B.π C.π D.3π ‎7.(4分)直线y=kx﹣k与圆(x﹣2)2+y2=3的位置关系是(  )‎ A.相交 B.相离 C.相切 D.与k取值有关 ‎8.(4分)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是(  )‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,m∥β,则α⊥β C.若m∥α,α∥β,则m∥β D.若m⊥n,m∥α,则n⊥α ‎9.(4分)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点M的纵坐标为2,则点M到该抛物线的准线的距离为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎10.(4分)已知P(x,y)为椭圆C:=1上一点,F为椭圆C的右焦点,若点M满足|MF|=1且MP⊥MF,则|PM|的取值范围是(  )‎ A.[2,8] B.[,8] C.[2,] D.[,]‎ ‎ ‎ 二、填空题(共5小题,每小题4分,共20分)‎ ‎11.(4分)抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为   .‎ ‎12.(4分)椭圆=1的两个焦点为F1,F2,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=   .‎ ‎13.(4分)已知三条直线l1:2x+my+2=0(m∈R),l2:2x+y﹣1=0,l3:x+ny+1=0(n∈R),若l1∥l2,l1⊥l3,则m+n的值为   .‎ ‎14.(4分)如图,在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,点D在棱BB1上,且BD=1,则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为   .‎ ‎15.(4分)平面上一质点在运动过程中始终保持与点F(1,0)的距离和直线x=﹣1的距离相等,若质点接触不到过点P(﹣2,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共5小题,共60分)‎ ‎16.(12分)已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0(m∈R).‎ ‎(1)求m的取值范围;‎ ‎(2)若m=1,求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度.‎ ‎17.(12分)已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k(x﹣2)相交于不同的A,B两点.‎ ‎(1)求证:OA⊥OB;‎ ‎(2)当k=时,求△OAB的面积.‎ ‎18.(12分)如图,在多面体P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=4,AB=2DC=2.‎ ‎(1)设M是PC上的一点,求证:平面MBD⊥平面PAD;‎ ‎(2)求三棱锥P﹣BCD的体积.‎ ‎19.(12分)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AA1=1,E为BC的中点.‎ ‎(1)求证:C1D⊥D1E;‎ ‎(2)动点M满足(0<λ<1),使得BM∥平面AD1E,求λ的值;‎ ‎(3)若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°,求线段AD的长.‎ ‎20.(12分)椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B 两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.‎ ‎ ‎ ‎2017-2018学年天津市部分区高二(上)期末数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)‎ ‎1.(4分)经过两点A(4,a),B(2,3)的直线的倾斜角为,则a=(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出.‎ ‎【解答】解:由题意可得:==1,解得a=5.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)双曲线=1的离心率是(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎【分析】利用双曲线方程求解实半轴的长,半焦距的长,然后求解离心率即可.‎ ‎【解答】解:双曲线=1,可知a=2,b=1,c==,所以双曲线的离心率是=.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)命题“∃m∈N,曲线=1是椭圆”的否定是(  )‎ A.∀m∈N,曲线=1是椭圆 B.∀m∈N,曲线=1不是椭圆 C.∃m∈N+,曲线=1是椭圆 D.∃m∈N+,曲线=1不是椭圆 ‎【分析】利用特称命题的否定是全称命题,写出结果即可.‎ ‎【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“∃m∈N,曲线=1是椭圆”的否定是:∀m∈N,曲线=1不是椭圆.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)已知向量=(λ,1,3),=(0,﹣3,3+λ),若,则实数λ的值为(  )‎ A.﹣2 B.﹣ C. D.2‎ ‎【分析】利用向量垂直的性质直接求解.‎ ‎【解答】解:∵向量=(λ,1,3),=(0,﹣3,3+λ),,‎ ‎∴=0﹣3+3(3+λ)=0,‎ 解得实数λ=﹣2.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法,考查向量垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据线面垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断.‎ ‎【解答】解:∵直线a与平面M垂直,∴‎ 直线a与平面M内的任意一条直线都垂直,则直线a与平面M内的无数条直线都垂直成立,即充分性成立,‎ 反之不成立,‎ 即“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的充分不必要条件,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合线面垂直的定义是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形,则该几何体外接球的表面积为(  )‎ A.π B.π C.π D.3π ‎【分析】由三视图还原原几何体,可知原几何体为四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=1,补形为正方体,则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线,长为,则半径可求,代入球的表面积公式得答案.‎ ‎【解答】解:由三视图还原原几何体如图:‎ 该几何体为四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=1,‎ 补形为正方体,则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线,长为,‎ ‎∴该四棱锥外接球的半径r=,表面积为.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎7.(4分)直线y=kx﹣k与圆(x﹣2)2+y2=3的位置关系是(  )‎ A.相交 B.相离 C.相切 D.与k取值有关 ‎【分析】先判断直线过定点(1,0),然后判断定点和圆的位置关系即可.‎ ‎【解答】解:直线y=kx﹣k=k(x﹣1)过定点A(1,0),‎ 圆心坐标为C(2,0),半径r=,‎ 则|AC|=2﹣1=1<,‎ 则点A在圆内,‎ 则直线y=kx﹣k与圆(x﹣2)2+y2=3恒相交,‎ 故选:A ‎【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断,根据直线过定点,判断定点和圆的位置关系是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是(  )‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,m∥β,则α⊥β C.若m∥α,α∥β,则m∥β D.若m⊥n,m∥α,则n⊥α ‎【分析】根据空间线面位置关系的判定或性质进行判断.‎ ‎【解答】解:若m∥α,n∥α,则m∥n或m,n异面或m与n相交,故A错误;‎ 若m⊥α,m∥β,则α⊥β,故B正确;‎ 若m∥α,α∥β,则m∥β或m⊂β,故C错误;‎ 若m⊥n,m∥α,则n⊥α或n⊂α或n∥α,故D错误.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了空间线面位置关系,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点M的纵坐标为2,则点M到该抛物线的准线的距离为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【分析】先假设A,B的坐标,根据A,B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式,再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值,进而得到准线方程.M的坐标,然后求解即可.‎ ‎【解答】解:设A(x1,y1)、B(x2,y2),则有y12=2px1,y22=2px2,‎ 两式相减得:(y1﹣y2)(y1+y2)=2p(x1﹣x2),‎ 又因为直线的斜率为1,所以=1,‎ 所以有y1+y2=2p,又线段AB的中点的纵坐标为2,‎ 即y1+y2=4,所以p=2,所以抛物线方程为:y2=4x,抛物线的准线方程为x=﹣1.‎ AB的方程为:y=x﹣1‎ M(3,3),‎ 则点M到该抛物线的准线的距离为:3+1=4.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)已知P(x,y)为椭圆C:=1上一点,F为椭圆C的右焦点,若点M满足|MF|=1且MP⊥MF,则|PM|的取值范围是(  )‎ A.[2,8] B.[,8] C.[2,] D.[,]‎ ‎【分析】依题意知,该椭圆的焦点F(3,0),由题意可知:|PM|2=|PF|2﹣|MF|2,由a﹣c≤|PF|≤a+c,即可求得|PM|的取值范围.‎ ‎【解答】解:依题意知,点M在以F(3,0)为圆心,1为半径的圆上,PM为圆的切线,‎ ‎∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2,而|MF|=1,‎ ‎∴当|PF|最小时,切线长|PM|最小.‎ 由图知,当点P为右顶点(5,0)时,‎ ‎|PF|最小,最小值为:5﹣3=2.‎ ‎∴|PM|==,‎ 当|PF|最大时,切线长|PM|最大.‎ 当点P为左顶点(﹣5,0)时,|PF|最小,‎ 最小值为:5+3=8,‎ ‎∴|PM|==3,‎ ‎|PM|的取值范围[,3],‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程,考查椭圆的性质,焦半径的取值范围,考查转化思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共5小题,每小题4分,共20分)‎ ‎11.(4分)抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为 (﹣1,0) .‎ ‎【分析】先根据抛物线的方程判断出抛物线的开口方向,进而利用抛物线标准方程求得p,则焦点方程可得.‎ ‎【解答】解:根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左,且2P=4,即p=2,开口向左 ‎∴焦点坐标为(﹣1,0)‎ 故答案为:(﹣1,0)‎ ‎【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质,解题过程中注意抛物线的开口方向,焦点所在的位置 ‎ ‎ ‎12.(4分)椭圆=1的两个焦点为F1,F2,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=  .‎ ‎【分析】先根据椭圆的方程求得P的坐标,进而根据椭圆的定义求得答案.‎ ‎【解答】解:椭圆的左焦点坐标(﹣1,0),不妨P(﹣1,)即:P(﹣1,),‎ 由椭圆的定义可知:|PF1|+|PF2|=2a=4 ‎ ‎∴|PF2|=4﹣=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆的简单性质.解答的关键是利用椭圆的定义.属基础题.‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)已知三条直线l1:2x+my+2=0(m∈R),l2:2x+y﹣1=0,l3:x+ny+1=0(n∈R),若l1∥l2,l1⊥l3,则m+n的值为 ﹣1 .‎ ‎【分析】利用平行与垂直与斜率之间的关系即可得出.‎ ‎【解答】解:∵l1∥l2,∴=﹣2,解得m=1.‎ ‎∵l1⊥l3,m=n=0不满足题意,舍去,∴﹣×=﹣1,解得n=﹣2.‎ 则m+n=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了平行与垂直与斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)如图,在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,点D在棱BB1上,且BD=1,则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为  .‎ ‎【分析】取AC,A1C1的中点分别为E,H.可得BE⊥AC,即可得到BE⊥面ACC1A1,‎ 过点D作DF⊥EH于F,则DF⊥面ACC1A1,连接FA,则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角,解△AFD即可.‎ ‎【解答】解:取AC,A1C1的中点分别为E,H.‎ ‎∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面是正三角形,且AB=1,‎ ‎∴BE⊥AC,即可得到BE⊥面ACC1A1,‎ 过点D作DF⊥EH于F,则DF⊥面ACC1A1,‎ 连接FA,则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角,‎ AF=,DF=,‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题考查了空间线面角的求解,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)平面上一质点在运动过程中始终保持与点F(1,0)的距离和直线x=﹣1的距离相等,若质点接触不到过点P(﹣2,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 ∪ .‎ ‎【分析】由题意可得质点在抛物线上:y2=4x.过点P(﹣2,0)且斜率为k的直线方程为:y=k(x+2).联立,化为:k2x2+(4k2﹣4)x+4k2=0,(k≠0).‎ 根据质点接触不到过点P(﹣2,0)且斜率为k的直线,则△<0,即可得出.‎ ‎【解答】解:由题意可得质点在抛物线上:y2=4x.‎ 过点P(﹣2,0)且斜率为k的直线方程为:y=k(x+2).‎ 联立,化为:k2x2+(4k2﹣4)x+4k2=0,(k≠0).‎ ‎∵质点接触不到过点P(﹣2,0)且斜率为k的直线,则△=(4k2﹣4)2﹣16k4<0,‎ 化为:k2,解得k或k.‎ ‎∴k的取值范围是∪.‎ 故答案为:∪.‎ ‎【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共5小题,共60分)‎ ‎16.(12分)已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0(m∈R).‎ ‎(1)求m的取值范围;‎ ‎(2)若m=1,求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度.‎ ‎【分析】(1)根据圆的一般方程的定义进行求解即可.‎ ‎(2)求出圆心和半径,结合直线的弦长公式进行计算.‎ ‎【解答】解:(1)由题意知D2+E2﹣4F=(﹣2)2+22﹣4(m﹣3)=﹣4m+20>0,解得m<5.…(4分)‎ ‎(2)当m=1时,由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0‎ 得(x﹣1)2+(y+1)2=4,…(6分)‎ 所以圆心坐标为(1,﹣1),半径r=2,‎ 圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===,…(8分)‎ 所以弦长l=2=2=2…(10分)‎ 则弦长为2…(12分)‎ ‎【点评】本题主要考查圆的一般方程以及直线和圆相交时的弦长公式的计算,考查学生的计算能力.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k(x﹣2)相交于不同的A,B两点.‎ ‎(1)求证:OA⊥OB;‎ ‎(2)当k=时,求△OAB的面积.‎ ‎【分析】(1)将直线AB的方程代入抛物线的方程,运用韦达定理和向量垂直的条件:数量积为0,即可得证;‎ ‎(2)分别求出点A,B的坐标,根据三角形的面积公式,即可求出.‎ ‎【解答】解:(1)证明:将直线y=k(x﹣2)代入抛物线的方程y2=2x,‎ 消去y可得,k2x2﹣(4k2+2)x+4k2=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 可得x1+x2=4+,x1x2=4,‎ y1y2=k2(x1﹣2)(x2﹣2)=k2[x1x2+4﹣2(x1+x2)]=k2(4+4﹣8﹣)=﹣4‎ 即有x1x2+y1y2=0,‎ 则•=0=0,‎ 即有OA⊥OB;‎ ‎(2)因为k=,由(1)可得x1=1,x2=4,代入直线方程可得y1=﹣,y2=2,‎ ‎∴A(1,﹣),B(4,2),‎ ‎∴|OA|==,|OB|==2,‎ ‎∴S△OAB=•|OA|•|OB|=××2=3.‎ ‎【点评】本题考查抛物线的方程和运用,考查直线和抛物线的方程联立,运用韦达定理和向量垂直的条件:数量积为0,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)如图,在多面体P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=4,AB=2DC=2.‎ ‎(1)设M是PC上的一点,求证:平面MBD⊥平面PAD;‎ ‎(2)求三棱锥P﹣BCD的体积.‎ ‎【分析】(1)利用勾股定理逆定理证明BD⊥AD,根据面面垂直的性质可得BD⊥平面PAD,故而平面MBD⊥平面PAD;‎ ‎(2)求出P到平面ABCD的高和△ABD的高,代入棱锥的体积公式计算即可.‎ ‎【解答】(1)证明:在△ABD中,∵BD=2AD=4,AB=2DC=2,‎ ‎∴AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD.‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,‎ ‎∴BD⊥平面PAD,又BD⊂平面BDM,‎ ‎∴平面MBD⊥平面PAD.‎ ‎(2)解:过P作PO⊥AD,则O为AD的中点,‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD,‎ ‎∴PO⊥平面ABCD,‎ 即PO为四棱锥P﹣BCD的高.‎ 又△PAD是边长为2的等边三角形,‎ ‎∴PO=.‎ 在Rt△ABD中,斜边AB边上的高为=,‎ 又AB∥DC,∴△BCD的边CD上的高为.‎ ‎∴S△BCD==2.‎ ‎∴VP﹣BCD==.‎ ‎【点评】本题考查了面面垂直的判定,棱锥的体积计算,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AA1=1,E为BC的中点.‎ ‎(1)求证:C1D⊥D1E;‎ ‎(2)动点M满足(0<λ<1),使得BM∥平面AD1E,求λ的值;‎ ‎(3)若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°,求线段AD的长.‎ ‎【分析】(1)以D为原点,建立的空间直角坐标系D﹣xyz,设AD=2a,=(0,﹣1,﹣1),=(a,1,﹣1),由此能证明C1D⊥D1E.‎ ‎(2)由动点M满足(0<λ<1),得M(2a,0,λ),连接BM,求出平面AD1E的法向量,利用向量法能法语出结果.‎ ‎(3)连接AB1,B1E,求出平面B1AE的法向量,利用向量法能求出AD.‎ ‎【解答】证明:(1)以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz,设AD=2a,‎ 则D(0,0,0),A(2a,0,0),B(2a,1,0),A1(2a,0,1),‎ C1(0,1,1),D1(0,0,1),B1(2a,1,1),E(a,1,0),‎ ‎∴=(0,﹣1,﹣1),=(a,1,﹣1),‎ ‎∴=0,∴C1D⊥D1E.…(3分)‎ 解:(2)由动点M满足(0<λ<1),使得BM∥平面AD1E,‎ ‎∴M(2a,0,λ),连接BM,∴=(0,﹣1,λ),=(﹣a,1,0),=(﹣2a,0,1),‎ 设平面AD1E的法向量为=(x,y,z),则,‎ 取x=1,得=(1,a,2a),‎ ‎∵BM∥平面AD1E,∴⊥,即=﹣a+2λa=0,解得λ=.…(7分)‎ ‎(3)连接AB1,B1E,设平面B1AE的法向量为=(x,y,z),‎ ‎=(﹣a,1,0),=(0,1,1),‎ 则,取x=1,得=(1,a,﹣a),…(9分)‎ ‎∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°,‎ ‎∴⊥,∴=1+a2﹣2a2=0,‎ ‎∵a>0,∴a=1,∴AD=2.…(12分)‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的证明,考查满足线面平行的实数值的求法,考查满足二面角的棱长的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B 两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.‎ ‎【分析】(1)根据椭圆的离心率及通径公式即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程;‎ ‎(2)设直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及向量的坐标运算,即可求得m=﹣k,则直线l的方程为y=k(x﹣),则直线过定点(,0).‎ ‎【解答】解:(1)由题意可得e===,则=,由椭圆的通径=3,‎ 解得:a=2,b=,‎ ‎∴所求椭圆C的方程为;…(3分)‎ ‎(2)设直线AB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则,整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣3)=0,‎ ‎∵△>0,∴3+4k2﹣m2>0,‎ x1+x2=﹣,x1x2=,‎ ‎∴y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=,(6分)‎ ‎∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,∴kAD•kBD=﹣1,‎ ‎∴y1y2+x1x2﹣2(x1+x2)+4=0,∴7m2+16mk+4k2=0,‎ ‎∴m1=﹣2k,m2=﹣k,且均满足3+4k2﹣m2>0,(9分)‎ 当m1=﹣2k时,l的方程为y=k(x﹣2),则直线过定点(2,0)与已知矛盾,‎ 当m1=﹣k时,l的方程为y=k(x﹣),则直线过定点(,0)‎ ‎∴直线l过定点,定点坐标为(,0).(12分)‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理及向量坐标运算,考查转化思想,属于中档题.‎ ‎ ‎

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