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- 2021-07-01 发布
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高二年级十月联合学情调研
数学
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.请把答案填涂在答题卡的相应位置上.
1.在平面直角坐标系中,抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用抛物线方程求解即可.
【详解】抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为:P=2.
故选:C.
【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用,基本知识的考查.
2.已知,则为第三象限角,则的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式求得cosα的值,利用同角三角函数的基本关系求得sinα和tanα 的值,再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值
【详解】∵cosα,∴cosα,∵α为第三象限角,∴sinα,∴tanα,
则tan2α,
故选:C.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正切公式的应用,属于基础题.
3.若双曲线的离心率为,则其渐近线的斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:双曲线的渐近线为,渐近线的斜率,由于离心率,设,
,,因此渐近线的斜率,故答案为C.
考点:双曲线的性质.
4.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6,圆心角为的扇形,则圆锥的高为( )
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
利用扇形的弧长为底面圆的周长求出后可求高.
【详解】因为侧面展开图是一个半径为6,圆心角为的扇形,所以
圆锥的母线长为6,设其底面半径为,则,所以,
所以圆锥的高为,选C
【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形,如果圆锥的母线长为,底面圆的半径长为,则该扇形的圆心角的弧度数为 .
5.在平面直角坐标系中,若方程表示椭圆,方程表示双曲线,则对于任意满足条件的实数,,椭圆与双曲线的( ).
A. 焦距相同 B. 离心率相等 C. 准线相同 D. 焦点相同
【答案】A
【解析】
【分析】
由曲线的方程表示椭圆和双曲线,得m,n的范围,进而确定焦点位置及焦距,进而对照选项答案可得.
【详解】由表示椭圆,则
且焦距为2
由表示双曲线,则 ,即为焦点在y轴上的双曲线,故其焦距为,故BCD错误,
故选:A.
【点睛】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义,同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响
6.在长方体中,,与平面所成的角为,则该长方体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
首先画出长方体,利用题中条件,得到,根据,求得,可以确定,之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】在长方体中,连接,
根据线面角的定义可知,
因为,所以,从而求得,
所以该长方体的体积为,故选C.
【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题,在解题的过程中,需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积,而题中的条件只有两个值,所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要,此时就需要明确线面角的定义,从而得到量之间的关系,从而求得结果.
7.已知直线与双曲线交于两点,以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点,若的面积为,则双曲线的离心率为
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过双曲线和圆的对称性,将的面积转化为的面积;利用焦点三角形面积公式可以建立与的关系,从而推导出离心率.
【详解】由题意可得图像如下图所示:为双曲线的左焦点
为圆的直径
根据双曲线、圆的对称性可知:四边形为矩形
又,可得:
本题正确选项:
【点睛】本题考查双曲线的离心率求解,离心率问题的求解关键在于构造出关于的齐次方程,从而配凑出离心率的形式.
8.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割比例为,这一数值也可以表示为。若,则( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求,利用降幂公式,诱导公式,二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解.
【详解】解:,若,
,
.
故选:.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,降幂公式,诱导公式,二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.
9.对于以,为公共焦点的椭圆和双曲线,设是它们的一个公共点,,分别为它们的离心率.若,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设椭圆方程是1,双曲线方程是1,由定义可得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|﹣|PF2|=2a2,求出|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1﹣a2,利用余弦定理,化简4的表达式,利用柯西不等式求解即可.
详解】设椭圆方程是1,双曲线方程是1,
由定义可得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|﹣|PF2|=2a2,
∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1﹣a2,
在△F1PF2中由余弦定理可得,
(2c)2=(a1+a2)2+(a1﹣a2)2+2(a1+a2)(a1﹣a2)cos60°,
即4c2=a12+3a22,
∴4,
由柯西不等式得(1)()≥(1)2=()2,
即()24,
即,当且仅当e1,e2时取等号.
故选:D.
【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用,涉及余弦定理以及柯西不等式的应用,考查转化思想以及计算能力.
10.在平面直角坐标系中,设点是抛物线上的一点,以抛物线的焦点为圆心、以为半径的圆交抛物线的准线于,两点,记,若,且的面积为,则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据且sin2θ+cos2θ=1求出θ,结合图象可知,△BFC为等边三角形,求出圆的半径,以及抛物线的定义,即可求出S△ABC|BC|•|x0||BC|•|FA|,解得即可求出p的值.
【详解】因为,且sin2θ+cos2θ=1,
解得sinθ=,cosθ
∴θ,
结合图象可知,△BFC为等边三角形,
∵|FD|=p,
∴|BC|=|FB|p,即圆的半径|FA|p,
设A(x0,y0),
∴S△ABC|BC|•|x0||BC|•|FA|pp,
解得p=8,
故选:A.
【点睛】本题考查了圆和抛物线的位置关系,以及抛物线的定义和三角函数的化简和计算,三角形的面积,考查了运算能力,属于中档题
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填写在答题卡的相应位置上.
11.在平面直角坐标系中,设椭圆上一点到左焦点的距离为,到右焦点的距离为,则点到右准线的距离为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】
利用椭圆上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,可得2m=2a=3+1,解得a=m,可得b2=m2﹣1,.设P点到右准线的距离为d,再利用椭圆的第二定义可得,即可解得d.
【详解】∵椭圆上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,
∴2m=2a=3+1,
解得a=m=2,∴b2=m2﹣1=3,
∴1.
设P点到右准线的距离为d,则,解得d=2.
故答案为:2.
【点睛】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、椭圆的第二定义,属于基础题.
12.在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点是双曲线的右焦点,抛物线的准线与轴的交点为,若抛物线上存在一点,且,则直线的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线得出其右焦点坐标,可知抛物线的焦点坐标,从而得到抛物线的方程和准线方程,进而可求得K的坐标,设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(﹣4,y0),根据|AK||AF|及AF=AB=x0﹣(﹣4)=x0+4,可求得A点坐标,则直线的方程可求
详解】∵双曲线,其右焦点坐标为(4,0).
∴抛物线C:y2=16x,准线为x=﹣4,
∴K(﹣4,0)
设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(﹣4,y0)
∵,AF=AB=x0﹣(﹣4)=x0+4,
∴由BK2=AK2﹣AB2得BK2=AB2,从而y02=(x0+4)2,即16x0=(x0+4)2,
解得x0=4.即,则直线的斜率为±1,则直线的方程为
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握,利用定义和题目条件求得A点坐标是关键
13.在中,设点为边的中点,若,,则边的长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用切化弦及正弦定理得,结合余弦定理得,利用中线CM结合向量的模长得即可求解边的长
【详解】设三边为 由切化弦得
由正弦定理得,又①
,故②,由①②得
故答案为:
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系,考查正余弦定理解三角形,考查向量与中线的应用,考查推理能力,是中档题
14.椭圆的左、右焦点分别为,为上的动点,点在线段的延长线上,且,则到轴距离的最大值为__________.
【答案】5
【解析】
【分析】
取P的中点Q,利用向量中点公式将条件化简得到从而得到|AP|=|A,利用椭圆的定义可得点P的轨迹,从而可确定最大值.
【详解】取P的中点Q,连接AQ,=2,则,可知|AP|=|A,
由椭圆定义可知|A,则点P的轨迹是以为圆心,以4为半径的圆,由图可知当点和点M重合时,到轴距离最大值为5.
故答案为:5
【点睛】本题考查椭圆定义和向量加减法应用,考查分析推理能力,属于中档题.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡相应位置上.
15.南京市自年成功创建“国家卫生城市”以来,已经连续三次通过“国家卫生城市”复审,年下半年,南京将迎来第四次复审.为了了解市民绿色出行的意识,现从某单位随机抽取名职工,统计了他们一周内路边停车的时间(单位:),整理得到数据分组及频率分布直方图如下:
组号
分组
频数
(1)从该单位随机选取一名职工,试估计其在该周内路边停车的时间少于小时的概率;
(2)求频率分布直方图中,的值.
【答案】(1)(2),
【解析】
分析】
(1)由职工路边停车时间小于8小时的频数及样本容量,估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率;(2)根据频率分布直方图中的纵坐标表示计算即可.
【详解】(1)记“从该单位随机选取一名职工,这名职工该周路边停车的时间少于8小时”为事件A,由题总人数为
则;
(2),
【点睛】本题考查了频率分布直方图的识别和应用,考查了样本估计总体思想的应用,准确计算是关键,属于基础题.
16.己知函数.
(1)求函数在区间上的取值范围;
(2)设的三个内角,,所对的边长分别为,,.若为锐角,且,,,求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简函数f(x)为正弦型函数,利用x 范围结合函数性质求解范围即可;
(2)先求出A的值,再根据余弦定理得,利用正弦定理和平方关系得,再展开代入各值求解即可.
【详解】(1)因为, ,故,
故函数在区间上的取值范围为
(2)由(1),故
因为为锐角,故,由余弦定理得,由正弦定理,
又 B为锐角, ,故
【点睛】本题考查了三角函数的化简与运算问题,也考查了正余弦定理解三角形,熟记公式准确计算是关键,是综合性题目.
17.在平面直角坐标系中,设过点且斜率为的直线与圆交于,两点.
(1)求的取值范围;
(2)若,求线段的长.
【答案】(1)(2)2
【解析】
【分析】
(1)设出直线方程,利用圆心到直线的距离小于半径,即可求出k的范围.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),y=kx+1代入(x﹣2)2+(y﹣3)2=1得利用韦达定理以及向量的数量积转化求解得k=1,再利用弦长公式求解即可.
【详解】(1)设直线方程:y=kx+1,由d<r,得,解得
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
y=kx+1代入(x﹣2)2+(y﹣3)2=1得(1+k2)x2﹣4(k+1)x+7=0,,
x1•x2+y1•y2,得k=1,故圆心到直线的距离为0,即直线过圆心,则
【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用,向量的数量积以及直线与圆的位置关系的应用,向量坐标化结合韦达定理求得k=1是关键,是中档题.
18.如图,在三棱锥中,平面平面,,点,,分别为线段,,的中点,点是线段的中点.求证:
(1)平面;
(2).
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)连AF交BE于Q,连QO,推导出Q是△PAB的重心,从而FG∥QO,由此能证明FG∥平面EBO.
(2)推导出BO⊥AC,从而BO⊥面PAC,进而BO⊥PA,再求出OE⊥PA,由此能证明PA⊥平面EBO,利用线面垂直的性质可证PA⊥BE.
【详解】(1)连接AF交BE于Q,连接QO,
因为E,F分别为边PA,PB的中点,
所以Q为△PAB的重心,可得:2,
又因为O为线段AC的中点,G是线段CO的中点,
所以2,
于是,
所以FG∥QO,
因为FG⊄平面EBO,QO⊂平面EBO,
所以FG∥平面EBO.
(2)因为O为边AC的中点,AB=BC,
所以BO⊥AC,
因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BO⊂平面ABC,
所以BO⊥平面PAC,
因为PA⊂平面PAC,
所以BO⊥PA,
因为点E,O分别为线段PA,AC的中点,
所以EO∥PC,
因为PA⊥PC,
所以PA⊥EO,
又BO∩OE=O,BO,EO⊂平面EBO,
所以PA⊥平面EBO,
因为BE⊂平面EBO,
所以PA⊥BE.
【点睛】本题考查线面垂直、线面平行的证明,考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,是中档题.
19.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的右焦点为,左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为、,连结并延长交椭圆于点,连结,,记椭圆的离心率为.
(1)若,.
①求椭圆的标准方程;
②求和的面积之比.
(2)若直线和直线的斜率之积为,求的值.
【答案】(1)①.② ;(2).
【解析】
【分析】
(1)①设椭圆的焦距为,根据题意列出有关、、的方程组,求出、的值,可得出椭圆的标准方程;
②求出直线的方程,将该直线方程与椭圆的标准方程联立,求出点的坐标,再利用三角形的面积公式可求出和的面积之比;
(2)先利用截距式得出直线的方程为,将该直线方程与椭圆的方程联立,求出点的坐标,利用斜率公式计算出直线和的斜率,然后由这两条直线的斜率之积为,得出关于、的齐次方程,由此可解出椭圆的离心率的值.
【详解】(1)①设椭圆的焦距为,由题意,得,解得,
所以椭圆的标准方程为;
②由①知,、,,,
所以直线的方程为,
将其代入椭圆的方程,得,即,
所以或,所以点的坐标为.
从而和的面积之比:;
(2)因为、在直线上,所以直线的方程为.
解方程组,得或,
所以点的坐标为.
因为直线的斜率,
直线的斜率,
又因为直线和直线的斜率之积为,
所以,
即,化简得,,解得.
因此,椭圆的离心率为.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、三角形面积的比值,以及椭圆离心率的求解,同时也考查了直线与椭圆交点坐标的求解,考查方程思想的应用,属于中等题.
20.在平面直角坐标系中,已知点,抛物线的焦点为,设为抛物线上异于顶点的动点,直线交抛物线于另一点,连结,,并延长,分别交抛物线与点,.
(1)当轴时,求直线与轴的交点的坐标;
(2)设直线,的斜率分别为,,试探索是否为定值?若是,求出此定值;若不是,试说明理由.
【答案】(1)(4,0);(2)是定值,
【解析】
【分析】
(1)由抛物线方程求出焦点坐标,得到直线MN的方程,代入抛物线方程求出M、N的坐标,由两点式求得直线ME的方程,和抛物线方程联立解得P点坐标,同理求得Q点坐标,则直线PQ的方程可求,直线PQ与x轴的交点坐标可求;
(2)分别设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),再设直线MN、MP、NQ的直线方程,分别和抛物线方程联立后由根与系数关系得到y3=2y2,x3=4x2,y4=2y1,x4=4x1.代入斜率公式整理得答案.
【详解】(1)抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0).
当MN⊥Ox时,直线MN的方程为 x=1.
将x=1代入抛物线方程y2=4x,得y=±2.
不妨设M(1,2),N(﹣1,2),
则直线ME的方程为y=﹣2x+4,
由,解得x=1或x=4,于是得P(4,﹣4).
同理得Q(4,4),所以直线PQ的方程为x=4.
故直线PQ与x轴的交点坐标(4,0);
(2)设直线MN的方程为x=my+1,
并设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4).
由,得y2﹣4my﹣4=0,
于是y1y2=﹣4 ①,从而②.
设直线MP的方程为x=my+2,
由,得y2﹣4my﹣8=0,
∴y1y3=﹣8 ③,x1x3=4 ④.
设直线NQ的方程为x=ty+2,
由,得y2﹣4ty﹣8=0,
于是y2y4=﹣8 ⑤,x2x4=4 ⑥.
由①②③④⑤⑥,得y3=2y2,x3=4x2,y4=2y1,
x4=4x1.,
即.
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系求解是处理这类问题的最为常用的方法,考查运算推理的能力,是中档题