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  • 2021-07-01 发布

江苏省南京市三校2019-2020学年高二上学期十月联合学情调研数学试题

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高二年级十月联合学情调研 数学 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.请把答案填涂在答题卡的相应位置上.‎ ‎1.在平面直角坐标系中,抛物线的焦点到准线的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用抛物线方程求解即可.‎ ‎【详解】抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为:P=2.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用,基本知识的考查.‎ ‎2.已知,则为第三象限角,则的值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式求得cosα的值,利用同角三角函数的基本关系求得sinα和tanα 的值,再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值 ‎【详解】∵cosα,∴cosα,∵α为第三象限角,∴sinα,∴tanα,‎ 则tan2α,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正切公式的应用,属于基础题.‎ ‎3.若双曲线的离心率为,则其渐近线的斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:双曲线的渐近线为,渐近线的斜率,由于离心率,设,‎ ‎,,因此渐近线的斜率,故答案为C.‎ 考点:双曲线的性质.‎ ‎4.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6,圆心角为的扇形,则圆锥的高为( )‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用扇形的弧长为底面圆的周长求出后可求高.‎ ‎【详解】因为侧面展开图是一个半径为6,圆心角为的扇形,所以 圆锥的母线长为6,设其底面半径为,则,所以,‎ 所以圆锥的高为,选C ‎【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形,如果圆锥的母线长为,底面圆的半径长为,则该扇形的圆心角的弧度数为 .‎ ‎5.在平面直角坐标系中,若方程表示椭圆,方程表示双曲线,则对于任意满足条件的实数,,椭圆与双曲线的( ).‎ A. 焦距相同 B. 离心率相等 C. 准线相同 D. 焦点相同 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线的方程表示椭圆和双曲线,得m,n的范围,进而确定焦点位置及焦距,进而对照选项答案可得.‎ ‎【详解】由表示椭圆,则 且焦距为2 ‎ 由表示双曲线,则 ,即为焦点在y轴上的双曲线,故其焦距为,故BCD错误,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义,同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响 ‎6.在长方体中,,与平面所成的角为,则该长方体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先画出长方体,利用题中条件,得到,根据,求得,可以确定,之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.‎ ‎【详解】在长方体中,连接,‎ 根据线面角的定义可知,‎ 因为,所以,从而求得,‎ 所以该长方体的体积为,故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题,在解题的过程中,需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积,而题中的条件只有两个值,所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要,此时就需要明确线面角的定义,从而得到量之间的关系,从而求得结果.‎ ‎7.已知直线与双曲线交于两点,以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点,若的面积为,则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过双曲线和圆的对称性,将的面积转化为的面积;利用焦点三角形面积公式可以建立与的关系,从而推导出离心率.‎ ‎【详解】由题意可得图像如下图所示:为双曲线的左焦点 为圆的直径 ‎ 根据双曲线、圆的对称性可知:四边形为矩形 又,可得:‎ ‎ ‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率求解,离心率问题的求解关键在于构造出关于的齐次方程,从而配凑出离心率的形式.‎ ‎8.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割比例为,这一数值也可以表示为。若,则( )‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用同角三角函数基本关系式可求,利用降幂公式,诱导公式,二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解.‎ ‎【详解】解:,若,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,降幂公式,诱导公式,二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.‎ ‎9.对于以,为公共焦点的椭圆和双曲线,设是它们的一个公共点,,分别为它们的离心率.若,则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆方程是1,双曲线方程是1,由定义可得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|﹣|PF2|=2a2,求出|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1﹣a2,利用余弦定理,化简4的表达式,利用柯西不等式求解即可.‎ 详解】设椭圆方程是1,双曲线方程是1,‎ 由定义可得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|﹣|PF2|=2a2,‎ ‎∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1﹣a2,‎ 在△F1PF2中由余弦定理可得,‎ ‎(2c)2=(a1+a2)2+(a1﹣a2)2+2(a1+a2)(a1﹣a2)cos60°,‎ 即4c2=a12+3a22,‎ ‎∴4,‎ 由柯西不等式得(1)()≥(1)2=()2,‎ 即()24,‎ 即,当且仅当e1,e2时取等号.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用,涉及余弦定理以及柯西不等式的应用,考查转化思想以及计算能力.‎ ‎10.在平面直角坐标系中,设点是抛物线上的一点,以抛物线的焦点为圆心、以为半径的圆交抛物线的准线于,两点,记,若,且的面积为,则实数的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据且sin2θ+cos2θ=1求出θ,结合图象可知,△BFC为等边三角形,求出圆的半径,以及抛物线的定义,即可求出S△ABC|BC|•|x0||BC|•|FA|,解得即可求出p的值.‎ ‎【详解】因为,且sin2θ+cos2θ=1,‎ 解得sinθ=,cosθ ‎∴θ,‎ 结合图象可知,△BFC为等边三角形,‎ ‎∵|FD|=p,‎ ‎∴|BC|=|FB|p,即圆的半径|FA|p,‎ 设A(x0,y0),‎ ‎∴S△ABC|BC|•|x0||BC|•|FA|pp,‎ 解得p=8,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了圆和抛物线的位置关系,以及抛物线的定义和三角函数的化简和计算,三角形的面积,考查了运算能力,属于中档题 第Ⅱ卷(非选择题共100分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填写在答题卡的相应位置上.‎ ‎11.在平面直角坐标系中,设椭圆上一点到左焦点的距离为,到右焦点的距离为,则点到右准线的距离为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,可得2m=2a=3+1,解得a=m,可得b2=m2﹣1,.设P点到右准线的距离为d,再利用椭圆的第二定义可得,即可解得d.‎ ‎【详解】∵椭圆上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,‎ ‎∴2m=2a=3+1,‎ 解得a=m=2,∴b2=m2﹣1=3,‎ ‎∴1.‎ 设P点到右准线的距离为d,则,解得d=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、椭圆的第二定义,属于基础题.‎ ‎12.在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点是双曲线的右焦点,抛物线的准线与轴的交点为,若抛物线上存在一点,且,则直线的方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线得出其右焦点坐标,可知抛物线的焦点坐标,从而得到抛物线的方程和准线方程,进而可求得K的坐标,设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(﹣4,y0),根据|AK||AF|及AF=AB=x0﹣(﹣4)=x0+4,可求得A点坐标,则直线的方程可求 详解】∵双曲线,其右焦点坐标为(4,0).‎ ‎∴抛物线C:y2=16x,准线为x=﹣4,‎ ‎∴K(﹣4,0)‎ 设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(﹣4,y0)‎ ‎∵,AF=AB=x0﹣(﹣4)=x0+4,‎ ‎∴由BK2=AK2﹣AB2得BK2=AB2,从而y02=(x0+4)2,即16x0=(x0+4)2,‎ 解得x0=4.即,则直线的斜率为±1,则直线的方程为 ‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握,利用定义和题目条件求得A点坐标是关键 ‎13.在中,设点为边的中点,若,,则边的长为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用切化弦及正弦定理得,结合余弦定理得,利用中线CM结合向量的模长得即可求解边的长 ‎【详解】设三边为 由切化弦得 ‎ 由正弦定理得,又① ‎ ‎,故②,由①②得 ‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数基本关系,考查正余弦定理解三角形,考查向量与中线的应用,考查推理能力,是中档题 ‎14.椭圆的左、右焦点分别为,为上的动点,点在线段的延长线上,且,则到轴距离的最大值为__________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取P的中点Q,利用向量中点公式将条件化简得到从而得到|AP|=|A,利用椭圆的定义可得点P的轨迹,从而可确定最大值.‎ ‎【详解】取P的中点Q,连接AQ,=2,则,可知|AP|=|A,‎ 由椭圆定义可知|A,则点P的轨迹是以为圆心,以4为半径的圆,由图可知当点和点M重合时,到轴距离最大值为5.‎ 故答案为:5‎ ‎【点睛】本题考查椭圆定义和向量加减法应用,考查分析推理能力,属于中档题.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡相应位置上.‎ ‎15.南京市自年成功创建“国家卫生城市”以来,已经连续三次通过“国家卫生城市”复审,年下半年,南京将迎来第四次复审.为了了解市民绿色出行的意识,现从某单位随机抽取名职工,统计了他们一周内路边停车的时间(单位:),整理得到数据分组及频率分布直方图如下:‎ 组号 分组 频数 ‎(1)从该单位随机选取一名职工,试估计其在该周内路边停车的时间少于小时的概率;‎ ‎(2)求频率分布直方图中,的值.‎ ‎【答案】(1)(2),‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)由职工路边停车时间小于8小时的频数及样本容量,估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率;(2)根据频率分布直方图中的纵坐标表示计算即可.‎ ‎【详解】(1)记“从该单位随机选取一名职工,这名职工该周路边停车的时间少于8小时”为事件A,由题总人数为 则;‎ ‎(2),‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图的识别和应用,考查了样本估计总体思想的应用,准确计算是关键,属于基础题.‎ ‎16.己知函数.‎ ‎(1)求函数在区间上的取值范围;‎ ‎(2)设的三个内角,,所对的边长分别为,,.若为锐角,且,,,求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简函数f(x)为正弦型函数,利用x 范围结合函数性质求解范围即可;‎ ‎(2)先求出A的值,再根据余弦定理得,利用正弦定理和平方关系得,再展开代入各值求解即可.‎ ‎【详解】(1)因为, ,故,‎ 故函数在区间上的取值范围为 ‎ ‎(2)由(1),故 因为为锐角,故,由余弦定理得,由正弦定理,‎ 又 B为锐角, ,故 ‎【点睛】本题考查了三角函数的化简与运算问题,也考查了正余弦定理解三角形,熟记公式准确计算是关键,是综合性题目.‎ ‎17.在平面直角坐标系中,设过点且斜率为的直线与圆交于,两点.‎ ‎(1)求的取值范围;‎ ‎(2)若,求线段的长.‎ ‎【答案】(1)(2)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设出直线方程,利用圆心到直线的距离小于半径,即可求出k的范围.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),y=kx+1代入(x﹣2)2+(y﹣3)2=1得利用韦达定理以及向量的数量积转化求解得k=1,再利用弦长公式求解即可.‎ ‎【详解】(1)设直线方程:y=kx+1,由d<r,得,解得 ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ y=kx+1代入(x﹣2)2+(y﹣3)2=1得(1+k2)x2﹣4(k+1)x+7=0,,‎ x1•x2+y1•y2,得k=1,故圆心到直线的距离为0,即直线过圆心,则 ‎【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用,向量的数量积以及直线与圆的位置关系的应用,向量坐标化结合韦达定理求得k=1是关键,是中档题.‎ ‎18.如图,在三棱锥中,平面平面,,点,,分别为线段,,的中点,点是线段的中点.求证:‎ ‎(1)平面;‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连AF交BE于Q,连QO,推导出Q是△PAB的重心,从而FG∥QO,由此能证明FG∥平面EBO.‎ ‎(2)推导出BO⊥AC,从而BO⊥面PAC,进而BO⊥PA,再求出OE⊥PA,由此能证明PA⊥平面EBO,利用线面垂直的性质可证PA⊥BE.‎ ‎【详解】(1)连接AF交BE于Q,连接QO,‎ 因为E,F分别为边PA,PB的中点,‎ 所以Q为△PAB的重心,可得:2,‎ 又因为O为线段AC的中点,G是线段CO的中点,‎ 所以2,‎ 于是,‎ 所以FG∥QO,‎ 因为FG⊄平面EBO,QO⊂平面EBO,‎ 所以FG∥平面EBO.‎ ‎(2)因为O为边AC的中点,AB=BC,‎ 所以BO⊥AC,‎ 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BO⊂平面ABC,‎ 所以BO⊥平面PAC,‎ 因为PA⊂平面PAC,‎ 所以BO⊥PA,‎ 因为点E,O分别为线段PA,AC的中点,‎ 所以EO∥PC,‎ 因为PA⊥PC,‎ 所以PA⊥EO,‎ 又BO∩OE=O,BO,EO⊂平面EBO,‎ 所以PA⊥平面EBO,‎ 因为BE⊂平面EBO,‎ 所以PA⊥BE.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直、线面平行的证明,考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,是中档题.‎ ‎19.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的右焦点为,左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为、,连结并延长交椭圆于点,连结,,记椭圆的离心率为.‎ ‎(1)若,.‎ ‎①求椭圆的标准方程;‎ ‎②求和的面积之比.‎ ‎(2)若直线和直线的斜率之积为,求的值.‎ ‎【答案】(1)①.② ;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)①设椭圆的焦距为,根据题意列出有关、、的方程组,求出、的值,可得出椭圆的标准方程;‎ ‎②求出直线的方程,将该直线方程与椭圆的标准方程联立,求出点的坐标,再利用三角形的面积公式可求出和的面积之比;‎ ‎(2)先利用截距式得出直线的方程为,将该直线方程与椭圆的方程联立,求出点的坐标,利用斜率公式计算出直线和的斜率,然后由这两条直线的斜率之积为,得出关于、的齐次方程,由此可解出椭圆的离心率的值.‎ ‎【详解】(1)①设椭圆的焦距为,由题意,得,解得,‎ 所以椭圆的标准方程为;‎ ‎②由①知,、,,,‎ 所以直线的方程为,‎ 将其代入椭圆的方程,得,即,‎ 所以或,所以点的坐标为. ‎ 从而和的面积之比:;‎ ‎(2)因为、在直线上,所以直线的方程为.‎ 解方程组,得或,‎ 所以点的坐标为.‎ 因为直线的斜率,‎ 直线的斜率, ‎ 又因为直线和直线的斜率之积为,‎ 所以,‎ 即,化简得,,解得.‎ 因此,椭圆的离心率为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、三角形面积的比值,以及椭圆离心率的求解,同时也考查了直线与椭圆交点坐标的求解,考查方程思想的应用,属于中等题.‎ ‎20.在平面直角坐标系中,已知点,抛物线的焦点为,设为抛物线上异于顶点的动点,直线交抛物线于另一点,连结,,并延长,分别交抛物线与点,.‎ ‎(1)当轴时,求直线与轴的交点的坐标;‎ ‎(2)设直线,的斜率分别为,,试探索是否为定值?若是,求出此定值;若不是,试说明理由.‎ ‎【答案】(1)(4,0);(2)是定值,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由抛物线方程求出焦点坐标,得到直线MN的方程,代入抛物线方程求出M、N的坐标,由两点式求得直线ME的方程,和抛物线方程联立解得P点坐标,同理求得Q点坐标,则直线PQ的方程可求,直线PQ与x轴的交点坐标可求;‎ ‎(2)分别设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),再设直线MN、MP、NQ的直线方程,分别和抛物线方程联立后由根与系数关系得到y3=2y2,x3=4x2,y4=2y1,x4=4x1.代入斜率公式整理得答案.‎ ‎【详解】(1)抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0).‎ 当MN⊥Ox时,直线MN的方程为 x=1.‎ 将x=1代入抛物线方程y2=4x,得y=±2.‎ 不妨设M(1,2),N(﹣1,2),‎ 则直线ME的方程为y=﹣2x+4,‎ 由,解得x=1或x=4,于是得P(4,﹣4).‎ 同理得Q(4,4),所以直线PQ的方程为x=4.‎ 故直线PQ与x轴的交点坐标(4,0);‎ ‎(2)设直线MN的方程为x=my+1,‎ 并设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4).‎ 由,得y2﹣4my﹣4=0,‎ 于是y1y2=﹣4 ①,从而②.‎ 设直线MP的方程为x=my+2,‎ 由,得y2﹣4my﹣8=0,‎ ‎∴y1y3=﹣8 ③,x1x3=4 ④.‎ 设直线NQ的方程为x=ty+2,‎ 由,得y2﹣4ty﹣8=0,‎ 于是y2y4=﹣8 ⑤,x2x4=4 ⑥.‎ 由①②③④⑤⑥,得y3=2y2,x3=4x2,y4=2y1,‎ x4=4x1.,‎ 即.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系求解是处理这类问题的最为常用的方法,考查运算推理的能力,是中档题 ‎ ‎