2021高考数学一轮复习课时作业28数列的概念与简单表示法理 5页

课时作业28　数列的概念与简单表示法 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于(　　)‎ A. B．cos C．cosπ D．cosπ 解析：令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D项正确．‎ 答案：D ‎2．[2019·重庆一中期末]已知数列{an}满足a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，则{an}(n≥2)的通项公式为an＝(　　)‎ A．2n－1 B．2n－2‎ C．2n＋1－3 D．3－2n 解析：∵Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，∴n≥3时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥3)，易得a2＝1，∴an＝2n－2(n≥2)，故选B项．‎ 答案：B ‎3．[2020·河南安阳模拟]已知数列：，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2 018 项a2 018等于(　　)‎ A.　　 B. C．64 D. 解析：观察数列：，，，，，，，，，，…，可将它分成k(k∈N*)组，即第1组有1项，第2组有2项，第3组有3项，……，所以第k组有k项，各项的分子从k依次减小至1，分母从1依次增大到k，所以前k组共有项，令2 018＝＋m(k∈N*,1≤m≤k，m∈N*)，可得k＝63，m＝2，∴该数列的第2 018项a2 018为第64组的第2项，故a2 018＝，故选D.‎ 答案：D ‎4．[2019·甘肃兰州期中]已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋3n(n≥2，n∈N*‎ 5‎ ‎)，则数列{an}的通项公式为an＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵a1＝1，an＝an－1＋3n(n≥2，n∈N*)，∴a2－a1＝32，a3－a2＝33，a4－a3＝34，…，an－an－1＝3n，累加得an－1＝32＋33＋…＋3n，∴an＝，故选B项．‎ 答案：B ‎5．[2020·天津一中月考]在各项均为正数的数列{an}中，a1＝2，a－2an＋1an－‎3a＝0，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝242，则n＝(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ 解析：由a－2an＋1an－3a＝0，得(an＋1－3an)(an＋1＋an)＝0，即an＋1＝3an或an＋1＝－an，又{an}各项均为正数，所以an＋1＝3an.因为a1＝2，an＋1＝3an，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则由Sn＝＝242，解得n＝5，故选A项．‎ 答案：A ‎6．[2020·湖北武汉武昌实验中学月考]两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为5,9,14,20，…，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为{an}，则(　　)‎ A．an＋1＋an＝n＋2 B．an＋1－an＝n＋2‎ C．an＋1＋an＝n＋3 D．an＋1－an＝n＋3‎ 解析：由已知可得a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6，…，由此可以得到an＋1－an＝n＋3.故选D项．‎ 答案：D ‎7．[2020·吉林辽源月考]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn－Sn＋1＝Sn·Sn＋1(n∈N*)，则Sn＝(　　)‎ A．n B．n＋1‎ C. D. 解析：∵Sn－Sn＋1＝Sn·Sn＋1(n∈N*)，∴－＝1.∵a1＝1，∴＝1，∴ 5‎ 是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝n，∴Sn＝，故选C项．‎ 答案：C ‎8．[2020·上海第七中学月考]在数列{an}中，已知a1＝1，且数列{an}的前n项和Sn满足4Sn＋1－3Sn＝4，n∈N*，则an＝(　　)‎ A.()n－1 B. C．4－ D．4＋ 解析：∵4Sn＋1－3Sn＝4，∴Sn＋1－4＝(Sn－4)，∴{Sn－4}是公比为的等比数列，又a1＝1，∴S1－4＝－3，∴Sn－4＝－，∴Sn＝4－，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝()n－1，又a1＝1满足上式，∴对一切n∈N*，an＝()n－1，故选A项．‎ 答案：A ‎9．[2020·辽宁锦州八中月考]已知数列{an}满足：a1＝，对任意正整数n，an＋1＝an(1－an)，则a2 019－a2 018＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：∵a1＝，an＋1＝an(1－an)，∴a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，∴n≥2时，{an}的奇数项为，偶数项为，∴a2 019－a2 018＝－＝，故选B项．‎ 答案：B ‎10．[2020·山西河津二中月考]设数列{an}满足a1＋‎2a2＋‎22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，则{an}的通项公式为an＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，∴易知n≥2时，2n－1an＝，又a1＝，∴对一切n∈N*,2n－1an＝，∴an＝，故选C项．‎ 答案：C 5‎ 二、填空题 ‎11．若数列{an}的通项公式为an＝，那么这个数列是________数列．(填“递增”或“递减”或“摆动”)‎ 解析：法一　令f(x)＝，则f(x)＝1－在(0，＋∞)上是增函数，则数列{an}是递增数列．‎ 法二　∵an＋1－an＝－＝>0，‎ ‎∴an＋1>an，∴数列{an}是递增数列．‎ 答案：递增 ‎12．[2020·湖北八校联考]已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n∈N*，n≥2)，若a4＝65，则a1＝________.‎ 解析：∵an＝2an－1＋2n－1(n∈N*，n≥2)，a4＝65，∴2a3＋24－1＝65，得a3＝25，∴2a2＋23－1＝25，得a2＝9，∴2a1＋22－1＝9，得a1＝3.‎ 答案：3‎ ‎13．[2019·辽宁大连期中]数列{an}的前n项和Sn＝2n，则an＝________.‎ 解析：∵Sn＝2n，∴n≥2时，an＝2n－2n－1＝2n－1，又a1＝2，不满足上式，∴an＝ 答案：an＝ ‎14．[2020·湖北武汉部分重点中学联考]已知an＝(n∈N*)，设am为数列{an}的最大项，则m＝________.‎ 解析：an＝＝1＋(n∈N*)，根据函数的单调性知，当n≤7或n≥8时，数列{an}为递减数列．因为当n≤7时，an<1，当n≥8时，an>1，所以a8为最大项，可知m＝8.‎ 答案：8‎ ‎[能力挑战]‎ ‎15．[2020·北京海淀月考]已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(2－x)＝f(x)，f(－1)＝1.数列{an}满足a1＝－1，＝＋1(n∈N*)，其中Sn是数列{an}的前n项和，则f(a5)＋f(a6)＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．0 D．1‎ 解析：∵＝＋1，∴Sn＝2an＋n，∴n≥2时，an＝2an－2an－1＋1，即an＝2an－1－1，∴a 5‎ n－1＝2(an－1－1)，又a1＝－1，∴a1－1＝－2，∴{an－1}是首项为－2，公比为2的等比数列，∴an－1＝－2n，即an＝1－2n，∴a5＝－31，a6＝－63.又f(－x)＝－f(x)，f(2－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(－31)＝f(1)＝－1，f(－63)＝f(1)＝－1，∴f(a5)＋f(a6)＝－2，故选A项．‎ 答案：A ‎16．[2020·福建泉州一中检测]已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(3,6) B．(1,2)‎ C．(1,3) D．(2,3)‎ 解析：∵数列{an}是递增数列且an＝ ‎∴解得2