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- 2021-07-01 发布
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河南省信阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(理)
评卷人
得分
一、单选题
1.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是无理数
【答案】B
【解析】
【分析】
依据特称命题“”的否定为“”.
【详解】
命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”,答案为B
【点睛】
本小题考查了特称命题的否定,注意与否命题区别,属于基础题.
2.已知空间向量,,,且,则实数的值为( )
A.5 B.-5 C.5或-5 D.-10或10
【答案】C
【解析】
【分析】
利用空间向量共线定理以及向量模的坐标表示,建立方程组,即可求得z的值.
【详解】
因为,所以存在,使得,
又因为,而,
则,解得或,所以答案为C.
【点睛】
本小题主要考查空间向量共线定理以及向量模的坐标表示,属于中档题,具体如下:设(),则 存在唯一的,使得,即;.
3.设,,,且,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
给选取适当的值即可判断A、B、D项不正确,而利用对应函数的单调性即可证明C选项正确.
【详解】
A选项:令,则,但,不正确;
B选项:令,则,但,不正确;
C选项:因为在R上为增函数,,所以,正确;
D选项:令,则,但,不正确;
答案为C.
【点睛】
本题主要考查大小比较问题,常用的方法有:(1)利用不等式的性质;(2)特殊值法;(3)作差法;(4)作商法;(5)中间值法;(6)单调性法.
4.下列抛物线中,原点到其焦点距离最小的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先将每一项转化为标准的抛物线方程,然后分别求出值,再对应求出原点到其焦点的距离,最后各项进行比较,即可得出距离最小的选项.
【详解】
A选项:因为,得,则原点到焦点的距离为;
B选项:因为,即,则,得,则原点到焦点的距离为;
C选项:因为,得,则原点到焦点的距离为;
D选项:因为,得,则原点到焦点的距离为;
因为,所以答案为B.
【点睛】
主要考查抛物线的标准方程以及P值的几何意义,属于基础题.
5.设公差不为零的等差数列的前项和为,,若,,成等比数列,则的值为( )
A.-3 B.3 C.8 D.-24
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式,前项和公式以及等比中项的性质建立关于和的方程组,即可求出和,然后利用前项和公式求出.
【详解】
设的公差为,因为,成等比数列,
所以,而,解得,
所以,答案为D.
【点睛】
等差(等比)数列基本量求解问题主要的方法:(1)方程组法:根据题目的条件,结合通项公式、求和公式,将问题转化为关于首项和公差(公比)的方程组,然后求解.
(2)性质法:灵活运用通项公式、求和公式以及相关性质公式,如等差数列的性质、若,则等,求解数列基本量问题.
6.已知点的坐标满足条件点,则的最小值为( )
A.2 B. C. D.1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点坐标得到点满足的参数方程,从而得到点所在的直线方程,因此将求最小值问题转化为求可行域上的点到直线的最小距离,然后运用数形结合得到可行域内点B(1,0)到直线距离最小,从而求出的最小值.
【详解】
因为,则点满足的参数方程为(为参数),消去参数得到普通方程为:,则问题转化为求可行域上的点到直线的最小距离,如图:
由图可知当点与B点重合时到直线的距离最小,而B点为(1,0),B到的距离为,
所以, 答案为A.
【点睛】
主要考查线性规划问题,同时也考查了参数方程与普通方程的互化。这类型题的关键在于寻找出目标函数的几何意义,然后利用数形结合的方法寻找出最优解,求出最值,属于中档题.
7.设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
分别解出两个条件“”与“”的范围和,然后判断集合和的关系,即可判断充分条件和必要条件.
【详解】
因为,解得,设,
因为,解得或,
令{|或},
因为,所以“”是“”的充分不必要条件,答案为A.
【点睛】
主要考查充分条件和必要条件的判断以及不等式的求解,属于中档题.而充分条件和必要条件的判断常用的方法有:(1)定义法:分别判断命题“若,则”,“若,则”的真假,即可得到充分条件和必要条件的判断.
(2)集合关系法:分别解出两个条件与的范围和,然后根据集合集合和的关系,即可得到充分条件和必要条件的判断.
8.已知双曲线的一条渐近线平行于直线,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由渐近线与直线平行可知其斜率相等,可以得到,再由条件“双曲线的一个焦点在直线上”可以求得一个焦点坐标,从而得到c的值,再结合的关系式,即可求出,从而得到双曲线方程.
【详解】
因为双曲线的渐近线为,
其中一条渐近线与直线平行,则有,所以,
又因为双曲线的焦点在轴上,而其中一个焦点在直线上,则直线与轴焦点为双曲线焦点,即,
又因为,得,则,
所以双曲线方程为,答案为B.
【点睛】
主要考查双曲线方程的求解,同时涉及到渐近线、焦点的应用,以及直线平行的性质运用,属于中档题.圆锥曲线方程的求解,一般都是利用题目的条件,从代数角度或者几何角度建立参数的关系式,从而联立方程组求得曲线方程,一定要注意焦点的位置,避免写错曲线方程.
9.一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东,距离为海里,灯塔在的北偏西,距离为海里,该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向,则此时灯塔位于游轮的( )
A.正西方向 B.南偏西方向
C.南偏西方向 D.南偏西方向
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题设中的方位角画出,在中利用正弦定理可求出的长,在中利用余弦定理求出的长,利用正弦定理求的大小(即灯塔的方位角).
【详解】
如图,
在中,,由正弦定理有,.
在中,余弦定理有,
因,,,
由正弦定理有,,故或者.
因,故为锐角,所以,故选C.
【点睛】
与解三角形相关的实际问题中,我们常常碰到方位角、俯角、仰角等,注意它们的差别.另外,把实际问题抽象为解三角形问题时,注意分析三角形的哪些量是已知的,要求的哪些量,这样才能确定用什么定理去解决.
10.直三棱柱中,,,分别是,的中点,,则与所成的角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取BC中点E,通过证明四边形MNEB为平行四边形,从而得到BM//NE,将求BM与AN所成的角转化为求或其补角.接着通过设,然后利用AN,AE,BM所在的直角三角形求出其长度,而NE=BM,进而得到AN,AE和NE的长度,再由其满足勾股定理,得到,即BM与AN所成的角为.
【详解】
如图
取BC中点E,连接AE和EN,MN,
因为M,N分别为,中点,所以,且,
因为,且,所以且,
所以四边形为平行四边形,得,
则BM与AN所成的角为或其补角,
因为该为直三棱柱,则侧棱与地面均垂直,又,,设,
则,,
,所以.
在中,;
在中,;
在中,,所以;
因为,所以,所以BM与AN所成的角为,答案为D.
【点睛】
主要考查异面直线所成角的求解问题,主要有两种方法:(1)定义法:利用异面直线所成角的定义,在空间上恰当选取一点,过该点分别作异面直线的平行直线,从而将异面直线所成角转化为平面角,再结合解三角形的相关定理进行求解.(2)向量法:i.建立空间直角坐标系;ii.求出相关点的坐标;iii.分别求出两条异面直线的方向向量;iv.若异面直线所成角为,则利用公式.
11.在中,内角,,所对的边分别为,,,且,则取得最大值时,内角的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将正弦定理平方处理,即可将恒等式转化为,再代入余弦定理,从而将转化为,再利用辅助角公式即可求出使得式子取最大值的A值.
【详解】
由,根据正弦定理,,
可得,再由,得,
所以,
所以当时,取得最大值,答案为B.
【点睛】
本题主要考查正弦定理以及余弦定理的综合运用,运用了函数的思想,通过构造与问题相关的函数,从而讨论最值的情况,属于难题.
12.已知椭圆的左、右焦点分别为,,为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点,,分别为的内心、重心,当轴时,椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合图像,利用点坐标以及重心性质,得到G点坐标,再由题目条件轴,得到点横坐标,然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值,再结合与相似,即可求得点纵坐标,也就是内切圆半径,再利用等面积法建立关于的关系式,从而求得椭圆离心率.
【详解】
如图,令点在第一象限(由椭圆对称性,其他位置同理),连接,显然点在上,连接并延长交轴于点,连接并延长交轴于点,轴,过点作垂直于轴于点,
设点,,则,
因为为的重心,所以,
因为轴,所以点横坐标也为,,
因为为的角平分线,
则有,
又因为,所以可得,
又由角平分线的性质可得,,而
所以得,
所以,,
所以,即,
因为
即,解得,所以答案为A.
【点睛】
本题主要考查离心率求解,关键是利用等面积法建立关于的关系式,同时也考查了重心坐标公式,以及内心的性质应用,属于难题.椭圆离心率求解方法主要有:
(1)根据题目条件求出,利用离心率公式直接求解.
(2)建立的齐次等式,转化为关于的方程求解,同时注意数形结合.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13.已知空间四边形中,,,,点在上,,点在上,,则等于__________.(用,,表示)
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量加法和减法的三角形法则,以及向量线性运算的运算律即可用表示
【详解】
因为
所以
【点睛】
主要考查向量的线性运算法则以及运算律,属于基础题.
14.若,点、、三点共线,则的最小值为__________.
【答案】11
【解析】
【分析】
由三点共线得,利用其坐标表示,建立的关系式,从而得到
,然后代入式子,即可运用基本不等式求得最小值.
【详解】
因为,又因为三点共线,所以,
所以,而,即,所以化简得,,
因为,
当且仅当即时,等号成立,故答案为11.
【点睛】
主要考查了向量共线的坐标表示以及基本不等式的应用,要注意基本不等式的适用条件以及等号成立的条件,属于中档题.
15.右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米。
【答案】:2米
【解析】
试题分析:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为,将A(2,-2)代入,
得m=-2,∴,代入B得,故水面宽为m.
考点:抛物线的应用
16.已知数列满足,,则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合数列的递推关系首先求得数列的通项公式,然后分组求和求解数列的前n项和即可.
【详解】
令,则,
由题意可得:,
即:,整理可得:,
令,则,由题意可得:,
且,,
故,即,,
,,据此可知:
.
【点睛】
数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.
评卷人
得分
三、解答题
17.设:方程表示椭圆,:对任意实数恒成立,若是真命题,是假命题,求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
先分别求出命题为真命题时的取值范围,再根据为真命题,为假命题可知一真一假,从而分两种情况求出的取值范围.
【详解】
若方程表示椭圆,则 且
∴真则且
若对任意实数恒成立
当时,恒成立
当时,则
∴真则
∵是真命题,是假命题∴、一真一假
若真假,则
若假真,则 或
故实数的取值范围为
【点睛】
本题考查已知复合命题真假求参数范围问题,同时也考查了椭圆标准方程以及一元二次不等式恒成立问题.
1.已知复合命题真假求参数范围问题求解步骤:
(1)分别求出每个简单命题为真命题时的参数范围;
(2)根据复合命题真假得到其等价条件,然后分类讨论,求出参数范围.
2.一元二次不等式恒成立问题:(1)对任意实数恒成立的条件是 ;(2)对任意实数恒成立的条件是.同时要注意二次项系数含参的情况下,不要遗漏参数为零的情况.
18.在中,设,,是内角,,的对边,若 .
(1)求角;
(2)若为中点,,,求的面积.
【答案】(1); (2).
【解析】
【分析】
(1)首先可以通过二倍角公式对其进行化简,再通过解三角形的正弦公式化简得,最后与解三角形的余弦公式进行联立得出结果;
(2)可通过余弦定理以及计算出的值,再通过计算出面积。
【详解】
(1)由题意得
由正弦定理得
即,由余弦定理得
所以 ;
(2)由题意,,
即
所以,故
所以。
【点睛】
本题主要考查解三角形,需要对题目所给条件和解三角形的正弦、余弦、面积公式进行综合运用。
19.已知数列的前项和为,,且,,是等差数列的前三项.
(1)求数列,的通项公式;
(2)记,,求数列的前项和.
【答案】(1),(2)
【解析】
【分析】
(1)利用与的关系将式子转化得,再根据条件求出,从而证明为等比数列,求出其通项.再利用等差数列通项公式求出的通项.
(2)利用错位相减法即可求和.
【详解】
(1)∵当时,
两式相减得,即.
又,,成等差数列
∴
数列是首项为2公比为2的等比数列
∴数列的通项公式为.
则,
∴数列是首项为1,,公差为2的等差数列,
∴数列的通项公式为.
(2)由(1)知,
∴
两式相减得
∴
∴
即
∴
∴数列的前项和
【点睛】
主要考查数列通项的求解以及前项和的求解,属于中档题.
1.利用与的关系求数列通项的基本步骤:(1)当时,求出;(2)当时,利用即可转化为递推公式求解通项.(3)检验时是否符合.
2.错位相减法的基本步骤:(是等差数列,是等比数列,公比为):(1)写:;(2)错位:;(3)相减:;(4)化简
20.如图,在斜三棱柱中,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为,点在底面的投影是线段的中点,为侧棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
【分析】
(1)先通过证明面,从而证得,再利用勾股定理证得,而,所以证得,再利用线面垂直判定定理证得面.
(2)利用向量法,以为原点,所在直线为轴,从而分别求出平面
与平面的法向量,利用公式求出二面角的余弦值,再通过同角三角函数的平方关系求出正弦值.
【详解】
(1)连接,因为平面,所以
又为正三角形,,所以
而,所以平面,
所以
在中,,
所以,则为等腰直角三角形
因为为侧棱的中点,所以,又,所以
而,所以平面
(2)如图,分别以,,所在直线为,,轴,建立空间直角坐标系
则,,,
由得
由(1)得为平面的一个法向量
设为平面的一个法向量
由得
取得
所以
故平面与平面夹角的正弦值为
【点睛】
主要考查线面垂直的证明,以及二面角的求解,属于中档题. 线面垂直的证明常利用线面垂直判定定理或者面面垂直性质定理.而二面角的求解一般都是运用:(1)定义法:找出二面角的平面角并证明,然后运用题目条件以及解三角形相关结论进行求解;(2)向量法:主要分四步进行,先建系,然后求相关点的坐标,从而求出两平面法向量,再运用公式求二面角.
21.在平面直角坐标系中,,为,轴上两个动点,点在直线上,且满足,.
(1)求点的轨迹方程;
(2)记点的轨迹为曲线,为曲线与正半轴的交点,、为曲线上与不重合的两点,且直线与直线的斜率之积为,试探究面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)通过引入参数,分别表示点的横纵坐标,得到其参数方程,再消去参数得到其轨迹方程.
(2)按照直线斜率是否存在分两种情况进行讨论,对于斜率存在的情况,通过设出方程,代入曲线消去得到关于的一元二次方程,利用韦达定理,结合题目条件求出m的值,从而求出关于的表达式,再利用基本不等式即可求出最大值.
【详解】
(1)设,,则,
故点的轨迹方程为
(2)①当直线的斜率不存在时,
设
则,
∴,不合题意.
②当直线的斜率存在时,设
,
联立方程得
则 ,
又
即
将,代入上式得
∴直线过定点,所以直线MN: ,即,
则三角形GMN的底MN上的高为,
∴
令即
∴
当且仅当时取等号
故
【点睛】
主要考查轨迹方程的求解以及与椭圆有关的三角形面积最值问题,属于难题.常见的轨迹方程求解方法:(1)直接法,根据动点所满足的几何条件,直接翻译成的形式,然后等价变换成;(2)定义法,根据题目条件,证明其符合五种常见曲线中某种曲线的定义,然后利用对应的定义求出其轨迹方程;(3)相关点法,动点随着某已知曲线上的点运动而运动,将已知曲线上的点的坐标用动点的坐标表示,并代入已知曲线方程化简得轨迹方程;(4)参数法,通过引入新的参数分别表示动点的横、纵坐标,得到其参数方程,再转化为普通方程即得其轨迹方程.
22.在直角坐标系中,已知曲线(为参数),在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线,曲线.
(1)求曲线与的交点的直角坐标;
(2)设点、分别为曲线,上的动点,求的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)分别将的方程化为直角坐标方程,然后联立方程组进行求解,即可求得两曲线交点的直角坐标.
(2)的最小值即为圆上的点到直线的最小距离,即圆心到直线的距离减去半径即可.
【详解】
(1)由得曲线的普通方程为
由,得曲线的直角坐标系方程为.
由,得,解得或(舍去).
所以点的直角坐标为.
(2)由得曲线的直角坐标方程为即
则曲线的圆心到直线的距离为
故.
【点睛】
主要考查了参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及距离的最小值问题,属于中档题.对于互化问题,利用对应的互化公式即可,而距离最值问题常用的方法为:(1)几何法,结合其几何性质将距离最值问题转化,然后求解.(2)参数法,通过设出动点的参数坐标,建立关于距离的函数,从而讨论距离的最值.
23.已知函数,.
(1)当时,解不等式;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)利用零点分段法确定分类标准,然后去绝对值号进行不等式求解.
(2)根据的范围将转化为或,再分离参数求出的范围.
【详解】
(1)当时,即
等价于:,或,或
解得或或
所以原不等式的解集为:.
(2)所以可化为
即或
①式恒成立等价于或
∵,∴或,
∴.
【点睛】
主要考查绝对值不等式的求解以及恒成立问题,属于中档题.绝对值不等式常用零点分段法进行求解,而恒成立问题常用分离参数法或者构造函数法进行求解.