难点12 推理与新定义问题（测试卷）-2017年高考数学二轮复习精品资料（新课标版） 14页

www.ks5u.com 难点十二 难点突破强化训练 ‎（一）选择题 ‎1．【2017届四川双流中学高三必得分训练8】欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】，∵，∴，，∴表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．‎ ‎2．【2017届江西吉安一中高三周考三】若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ）‎ A．4 B．16 C．32 D．64‎ ‎【答案】C ‎3．【2017届河北定州中学高三高补班周练9.25】已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为．类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是 ‎，所以四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的个三棱锥体积的和．类比三角形的面积可得四面体的体积为：．故选D.‎ ‎4．【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】非空集合关于运算满足：（1）对任意，，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①，为整数的加法；②，为整数的乘法；③，为平面向量的加法；④，为多项式的加法；⑤，为复数的乘法．其中关于运算为“融洽集”的是（ ）‎ A．①③ B．②③ C．①⑤ D．②③④‎ ‎【答案】B ‎5．【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录个点的颜色，称为该圆的一个“阶段序”，当且仅当两个阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的阶色序.若某圆的任意两个“阶段序”均不相同，则称该圆为“阶魅力圆”.“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（ ）‎ A．4 B．6 C. 8 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】 “阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“阶色序”共有共种，一方面，个点可以构成个“阶色序”，故“阶魅力圆”中的等分点的个数不多于个；另一方面，若，则必需包含全部共个“阶色序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件.故“阶魅力圆”中最多可有个等分点.‎ ‎ 6．【2017届安徽皖南八校高三联考二】中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”愿意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（ ） ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由定义知: 千位9为横式；百位1为纵式；十位1为横式；个位7为纵式，选A ‎ 7．【2017届河北武邑中学高三周考11.20】利若直角坐标平面内的两不同点、满足条件：①、都在函数的图象上；②、关于原点对称。则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）。已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对 A．0 B．1 C. 2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意得:函数 “友好点对”的对数,等于函数的图象关于原点对称的图象,与函数交点个数，在同一坐标系中做出函数的图象关于原点对称的图象,与函数的图象如下图所示， 由图象可以知道,两个图象只有一个交点.所以B选项是正确的.‎ ‎ 8．【2017届四川成都七中届高三第14周考】定义区间长度为，，已知函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时的取值构成的集合为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎9．【2017届山东陵县一中高三12月月考】设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域是，则成为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则的范围是（ ）‎ A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题设可且,故方程有两个不等的实数根,即有两个不等的实数根,令,则在有两个不等的实数根,因,故当时,函数与有两个不同交点,应选A．‎ ‎ 10．【2017届四川遂宁等四市高三一诊联考】已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】易知与在上单调性相同，当两个函数单调递增时，‎ 与的图象如图1所示，易知，解得；当两个函数单调递减时，的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数．综上所述，，故选C．‎ ‎ 11．【2017届重庆市巴蜀中学高三上学期期中】已知当表示不超过的最大整数，称为取整函数，例如，若，且偶函数，则方程的所有解之和为（ ）‎ A．1 B．-2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，则，又为偶函数，所以．由，得．在同一坐标系中画出与的图象，如图所示．由图知同，两个图象有四个交点，交点的纵坐标分别为，当时，方程的解是0和1；当时，由解得，由解得．综上，得的所有解之和为，故选D．‎ ‎ 12．【2017届广西陆川县中学高三上学期二模】定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.已知，下列四个函数：①；②；③；④.其中是在上的“追逐函数”的有（ ）‎ A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 ‎【答案】B ‎（二）填空题 ‎13．【2017届福建连城县二中高三上学期期中】设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意、，都有、、、（除数），则称是一个数域，例如有理数集是数域，有下列命题：‎ ‎①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集，则书记必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是 ．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】当时，，故可知①正确；当不满足条件，故可知②不正确；对③当中多一个元素则会出现 所以它也不是一个数域；故可知③不正确；根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确，故答案为①④.‎ ‎ 14．【2017届湖南长沙长郡中学高三上第三次月考】设函数，观察：‎ ‎，，，‎ ‎，……，根据以上事实，当时，由归纳推理可得： .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过条件归纳推理可知,故填.‎ ‎ 15．【2017届重庆市一中高三上学期期中】已知函数，如果对任意的，定义，例如：,那么的值为 ‎【答案】2‎ ‎ 16．【2017届河北武邑中学高三周考11.20】在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴为非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据正余弦函数的定义，令，则可以得出，即 ‎.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.‎ ‎17．【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列”.设，若数列是“减差数列”，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎（三）解答题 ‎18．【2017届湖南长沙雅礼中学高三月考四】已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.（注：区间的长度均为）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，由题意知，则，化简得，解得，∴.‎ ‎ 19．【2017届江西抚州市七校高三上学期联考】记表示中的最大值，如.已知函数.‎ ‎（1）设，求函数在上零点的个数；‎ ‎（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【解析】（1）设，令，得递增；令，得递减，∴，∴，即，∴．设，结合与在上图象可知，这两个函数的图象在上有两个交点，即在上零点的个数为2．（或由方程在上有两根可得）‎ ‎（2）假设存在实数，使得对恒成立，则 ‎，对恒成立，即，对恒成立 ，①设，令，得递增；令，得递减，∴，当即时，，∴，∵，∴4．故当时，对恒成立，当即时，在上递减，∴．∵，∴，故当时，对恒成立．②若对恒成立，则，∴．由①及②得，．‎ 故存在实数，使得对恒成立，且的取值范围为． ‎ ‎ 20. 【2017届江苏南京市盐城高三一模考试】若存在常数、、，使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.‎ ‎（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.‎ ‎①当时，求；‎ ‎②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.‎ ‎【解析】（1）①方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，，，. ‎ 方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴，，，，，，，…，∴当时，是周期为3的周期数列.∴. ‎ ‎②方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴，∴是以为首项、6为公差的等差数列，又，‎ ‎， ，，设，则，又，当时，，；当时，，，∴，∴，∴，得. ‎ 方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴，∴，∴是首项为、公差为6的等差数列，∴，易知中删掉 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，，， 以下同方法一.‎ ‎（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为、、，则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，当时，，即恒成立，①若，则，；②若，则，则为常数，则，为偶数，，；经检验，满足条件的的通项公式为或. ‎ ‎ ‎