2017-2018学年河北省卓越联盟高二下学期第三次月考数学（文）试题-解析版 15页

绝密★启用前 河北省卓越联盟2017-2018学年高二下学期第三次月考数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设为虚数单位，复平面内的点表示复数，则表示复数的点是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据复数的代数形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，从而可得结果.‎ 详解：因为复平面内的点表示复数，‎ 所以，，‎ 复数对应点，故选A 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2．点的极坐标为，则它的直角坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：直接利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得结果.‎ 详解：，‎ 点的极坐标为，，‎ 所以该点的直角坐标为，故选B.‎ 点睛：‎ 本题考查了极坐标化为直角坐标的方法，意在考查对基本概念掌握熟练程度，属于基础题.‎ ‎3．关于相关关系，下列说法不正确的是（ ）‎ A. 相关关系是一种非确定关系 B. 相关关系越大，两个变量的相关性越强 C. 当两个变量相关且相关系数时，表明两个变量正相关 D. 相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据相关系数的定义与性质，对选项中的命题逐一判断正误即可得结果.‎ 详解：对于，相关关系不同于函数关系，它是一种非确定的关系，正确；‎ 对于，只有两个变量为正相关时，相关关系越大，两个变量的相关性越强，错误；‎ 对于，当两个变量相关且相关系数时，说明两个变量正相关，正确；‎ 对于，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，正确，故选B. ‎ 点睛：本题主要考查了相关系数的定义与性质的应用问题，意在考查对基本概念的理解，属于简单题.‎ ‎4．直线的参数方程是（ ）。‎ A.（t为参数） B. （t为参数）‎ ‎ C. （t为参数） D. （t为参数）‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵y=2x+1，∴y+1=2（x+1），令x+1=t，则y+1=2t，可得(t为参数)，即为直线y=2x+1的参数方程．故选C．‎ 考点：直线的参数方程。‎ 点评：简单题，将直线的普通方程化为参数方程，其关键是把直线的普通方程写成点斜式方程。‎ ‎5．通过随机询问250名不同性别的高中生在购买食物时是否看营养说明书，得到如下列联表：‎ 女 男 总计 读营养说明书 ‎90‎ ‎60‎ ‎150‎ 不读营养说明书 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 总计 ‎120‎ ‎130‎ ‎250‎ 从调查的结果分析，认为性别和读营养说明书的关系为（ ）‎ 附：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ .‎ A. 95%以上认为无关 B. 90%～95%认为有关 C. 95%～99.9%认为有关 D. 99.9%以上认为有关 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由列联表中的数据，利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论.‎ 详解：，‎ 有的把握认为性别和读营养说明书的有关.‎ 点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎6．在同一平面的直角坐标系中，直线变成直线的伸缩变换是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：将直线变成直线，即直线，横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，故有是.‎ 详解：直线，即直线，‎ 将直线变成直线，即直线，‎ 故变换时横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，‎ 即有伸缩变换是，故选C.‎ 点睛：本题考查函数的图象变换，判断横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，是解答的关键.‎ ‎7．某餐厅的原料费支出与销售额（单位：元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（ ）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎55‎ ‎75‎ A. 50 B. 55 C. 60 D. 65‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：，又，因此，选C.‎ 考点：线性回归方程 ‎8．极坐标方程表示的曲线是（ ）‎ A. 一个圆 B. 两个圆 C. 两条直线 D. 一个圆和一条直线 ‎【答案】D ‎【解析】分析：化为，然后化为直角坐标方程即可得结论.‎ 详解：化为，‎ 因为表示一条直线 表示圆，‎ 所以，极坐标方程 表示的曲线是一个圆和一条直线，故选D.‎ 点睛：本题主要考查极坐标方程的应用，属于中档题. 极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎9．下面四个推理中，属于演绎推理的是（ ）‎ A. 观察下列各式：，，，…，则的末两位数字为43‎ B. 观察，，，可得偶函数的导函数为奇函数 C. 在平面上，若两个正三角形的边长比为，则它们的面积比为，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积之比为 D. 已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应 ‎【答案】D ‎【解析】选项、都是归纳推理，选项为类比推理，选项为演绎推理.故选D.‎ ‎10．已知过曲线（为参数，且）上一点和原点的直线的倾斜角为，则点的坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先将曲线的参数方程利用平方法消去参数化为普通方程，利用点斜式求出直线方程，再将二者联立即可得结果.‎ 详解：将曲线为参数，消去参数，‎ 化为普通方程为，‎ 直线的概率斜角为，，‎ 直线方程为，‎ 联立，，解得，‎ 即，故选B.‎ 点睛：消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.‎ ‎11．若，则的大小关系是 A. B. ‎ C. D. 由的取值确定 ‎【答案】C ‎【解析】取得， ，所以，故选C．‎ ‎（证明如下：要证，只要证，只要证，只要证，只要证，显然成立，所以成立）‎ ‎12．极坐标方程表示的曲线是（ ）‎ A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 圆 ‎【答案】A ‎【解析】分析：本题先用半角公式进行降次化简，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，将方程化成直角坐标方程，根据方程判断曲线的形状，可得结论.‎ 详解：极坐标方程，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 极坐标方程为曲线为抛物线，故选A.‎ 点睛：本题考查的是极坐标与直角坐标的关系，三角函数的半角公式，属于中档题. 利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：先利用直角坐标与极坐标间的互化公式，将直线的方程化成直角坐标方程，化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可.‎ 详解：，‎ 它的直角坐标方程为，‎ 又点的直角坐标，‎ 由点到直线的距离公式得，故答案为.‎ 点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会极坐标系和平面直角坐标系刻画点的位置区别，能进行极坐标的互化.‎ ‎14．在极坐标系中，是极点，设点，，则的面积是__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】分析：根据极角可得三角形的内角，由极经得边的长，根据三角形的面积公式即可得结果.‎ 详解：‎ 如图，根据极径与极角的定义可得，中，‎ ‎，‎ ‎（平方单位），故答案为.‎ 点睛：本题主要考查极坐标系内，极径与极角的几何意义及其应用，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力..‎ ‎15．；；；；…观察上面列出的等式，则可得出第个等式为__________．‎ ‎【答案】（）‎ ‎【解析】分析：观察所给的等式，等号右边是，第个应该是，左边的式子的项数与右边的底数一致，每个等式都是从这一个等式的序数的数字开始相加的，从而可得结果.‎ 详解：观察所给的等式，‎ ‎，‎ 等号右边是，第个应该是，‎ 左边的式子的项数与右边的底数一致，‎ 每个等式都是从这一个等式的序数的数字开始相加的，‎ 照此规律，第个等式为，‎ 故答案为.‎ 点睛：本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎16．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线（为参数）与曲线异于点的交点为，与曲线异于点的交点为，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：直线（为参数）的普通方程为；曲线的普通方程为；曲线的普通方程为.易得 ‎.‎ 考点：极坐标与参数方程.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线被曲线截得的弦长.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）把曲线的参数方程利用同角三角函数的平方关系消去参数，化为普通方程，再根据，得到直线的直角坐标方程；（2）曲线的圆心到直线：的距离，半径，根据勾股定理可得直线被曲线截得的弦长为 .‎ 详解：（1）∵ 曲线的参数方程为（为参数），‎ ‎∴ 消去参数得到曲线的普通方程为； ‎ ‎∵ 直线的极坐标方程为，‎ ‎∴ 直线的直角坐标方程为； ‎ ‎（2）∵ 曲线的圆心到直线：的距离，半径，‎ ‎∴ 直线被曲线截得的弦长为 .‎ 点睛：对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.‎ ‎18．某校为了分析本校高中生的性别与是否喜欢数学之间的关系，在高中生中随机地抽取了90名学生调查，得到了如下列联表：‎ 喜欢数学 不喜欢数学 总计 男 ‎30‎ ‎①‎ ‎45‎ 女 ‎②‎ ‎25‎ ‎45‎ 总计 ‎③‎ ‎④‎ ‎90‎ ‎（1）求①②③④处分别对应的值；‎ ‎（2）能有多大把握认为“高中生的性别与喜欢数学”有关？‎ 附：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ .‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）根据列联表的特征，可得到①②③④处分别对应的值；（2）由列联表中的数据，利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论.‎ 详解：（1）①②③④处分别对应的值分别为15，20，50，40；‎ ‎（2）∵ ,‎ 又,‎ ‎∴ 有超过的把握，认为“高中生的性别与喜欢数学”有关.‎ 点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎19．已知直线：（为参数），曲线：（为参数）.‎ ‎（1）设与相交于，两点，求的值；‎ ‎（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）可以将直线的方程化为普通方程后，利用点到直线距离公式以及勾股定理求出的值；（2）将曲线上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，利用曲线的变换规律，求出到曲线的方程，可设点，求出点到直线的距离，利用辅助角公式，结合三角函数的有界性即可得结果.‎ 详解：（1）直线的普通方程为，曲线的普通方程为．‎ ‎∵ 圆心到直线的距离，圆的半径，‎ ‎∴ ；‎ ‎（2）把曲线：上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，‎ 得到曲线：，‎ 设点，则点到直线的距离 ‎ ，‎ 当时取等号 .‎ 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程．‎ ‎20．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（， 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为，若直线与曲线相切；‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）在曲线上取两点， 与原点构成，且满足，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为， ‎ ‎，消去参数可知曲线是圆心为，半径为的圆，由直线与曲线相切，可得： ；则曲线C的方程为， 再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得 可得曲线C的极坐标方程.‎ ‎(2)由（1）不妨设M（），，（），‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 由此可求面积的最大值.‎ 试题解析：（1）由题意可知直线的直角坐标方程为， ‎ 曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得： ；可知曲线C的方程为， ‎ 所以曲线C的极坐标方程为，‎ 即.‎ ‎(2)由（1）不妨设M（），，（），‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 当 时， ，‎ 所以△MON面积的最大值为.‎ ‎21．已知在直角坐标系中，曲线的方程是，直线经过点，倾斜角为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1），（为参数）；（2）1‎ ‎【解析】分析：（1）曲线的方程是，展开把，，代入可得极坐标方程，由于直线经过点，倾斜角为，可得参数方程（为参数）；（2）直线的参数方程为（为参数）．‎ 代入曲线的方程中整理得，‎ 利用韦达定理以及直线参数方程法几何意义可得结果..‎ 详解：（1）曲线的极坐标方程为，‎ ‎∵ 直线经过点，倾斜角为，‎ ‎∴ 直线的参数方程可以写成（为参数）；‎ ‎（2）由直线经过点，倾斜角为，可得直线过原点，‎ 以点为参考点的直线的参数方程为（为参数）．‎ 代入曲线的方程中整理得，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ .‎ 点睛：本题考查参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.‎ ‎22．极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，轴正半轴为极轴.已知曲线的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数，），射线，，与曲线交于（不包括极点）三点，，，‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，，两点在曲线上，求与的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：(1)依题意，，利用三角恒等变换，可得，由此即可求出结果；(2)当时，两点的极坐标分别为，再把它们化为直角坐标，，根据曲线是经过点，且倾斜角为的直线，又因为经过点的直线方程为，由此即可求出结果.‎ 试题解析：‎ ‎(1)依题意，，‎ 则 ‎；‎ ‎(2)当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，‎ 曲线是经过点，且倾斜角为的直线，又因为经过点的直线方程为，‎ 所以．‎