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- 2021-07-01 发布
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第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、知识梳理
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|1，
即>1，解得k∈(－，)．
【答案】 (1)B (2)k∈(－，)
【迁移探究】 (变条件)若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？
解：由点M在圆上，得a2＋b2＝1，
所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝1，
则直线与圆O相切．
判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．
①如果Δ<0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ>0，那么直线与圆相交．
(2020·陕西四校联考)直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定，与a，b取值有关
解析：选B.将圆的方程化为标准方程得＋＝，所以圆心坐标为，半径r＝.因为圆心到直线ax－by＝0的距离d＝＝＝r，所以直线与圆相切．故选B.
切线与圆的综合问题(多维探究)
角度一 圆的切线问题
(1)2020·宁夏银川一中一模)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
(2)(一题多解)(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝ ，r＝ ．
【解析】 (1)设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，
直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即＝2，
所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，结合选项可知B正确，
故选B.
(2)法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝＝.
法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.
【答案】 (1)B (2)－2
圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
[注意] 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0)．
角度二 圆的弦长问题
(1)(一题多解)(2020·安徽合肥调研)已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)相交所得的弦长为2，则圆C的半径r＝( )
A. B．2
C．2 D．4
(2)(2020·豫西南五校3月联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l1：y＝x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为( )
A. B．1
C. D．
【解析】 (1)法一：圆C的圆心为(2，1)，圆心到直线l的距离d＝＝，又弦长为2，所以2＝2，所以r＝2，故选B.
法二：联立得整理得2x2－12x＋20－r2＝0，设直线与圆的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，x1·x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝×＝2，解得r＝2.
(2)圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为2，圆心到直线l1：y＝x的距离d1＝＝，
所以l1被圆C所截得的弦长为2＝2.圆心到直线l2的距离d2＝，
所以l2被圆C所截得的弦长为4＝2，
所以d2＝0.
所以2k－1＝0，解得k＝，故选C.
【答案】 (1)B (2)C
求直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2；
(2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝|x1－x2|.
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
解析：选A.设直线方程为2x＋y＋c＝0，由直线与圆相切，得d＝＝，c＝±5，所以所求方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
2．(2020·河北石家庄质检)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B.圆的方程配方，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圆心为C(－1，a)，当弦AB最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点(1，2)的连线和直线2x－y＝0垂直，所以×2＝－1，解得a＝3.
3．(2020·山东枣庄期末改编)若点P(1，1)为圆x2＋y2－6x＝0中弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为 ，|AB|＝ ．
解析：圆x2＋y2－6x＝0的标准方程为(x－3)2＋y2＝9.又因为点P(1，1)为圆中弦AB的中点，所以圆心与点P所在直线的斜率为＝－，故弦AB所在直线的斜率为2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.圆心(3，0)与点P(1，1)之间的距离d＝，圆的半径r＝3，则|AB|＝2＝4.
答案：2x－y－1＝0 4
圆与圆的位置关系(师生共研)
(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝ ．
【解析】 (1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．
(2)由(x2＋y2＋4x＋y＋1)－(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0得弦AB所在直线方程为2x－y＝0.
圆C2的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
圆心C2(－1，－1)，半径r2＝1.
圆心C2到直线AB的距离
d＝＝ .
所以|AB|＝2＝2＝.
【答案】 (1)B (2)
(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
①确定两圆的圆心坐标和半径；
②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，并求r1＋r2，|r1－r2|；
③比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，然后写出结论．
(2)两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一个圆中，由弦心距d，半弦长
，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
1．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
解析：选C.由圆心C1(m，－2)，r1＝3；圆心C2(－1，m)，r2＝2；
则两圆心之间的距离为|C1C2|＝＝2＋3＝5，
解得m＝2或－5.故选C.
2．(2020·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为 ，圆C被x轴截得的弦长为 ．
解析：将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为4，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×＝8.
答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0 8
核心素养系列17 直观想象——解决直线与圆的综合问题
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．
已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
【解析】 由已知，圆心为O(0，0)，半径为2.
设圆心O到AC，BD的距离分别为d1，d2，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E，F，则四边形OEMF为矩形，连接OM，则d＋d＝OM2＝3.又|AC|＝2，|BD|＝2，
所以S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝2·≤(4－d)＋(4－d)＝8－(d＋d)＝5，当且仅当d1＝d2时取等号，即四边形ABCD的面积的最大值为5.
【答案】 A
直线与圆综合问题的求法
(1)圆与直线l相切的情形
圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)圆与直线l相交的情形
①圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦．
②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦．
③过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
1．(2020·聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．
2．P在直线l：x＋y＝2上，过P作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为 ．
解析：连接OP，OA，OB，
则S四边形OAPB＝|OA|·|PA|＝|OA|·＝.
而|OP|的最小值为|OP|min＝＝，
所以(S四边形OAPB)min＝1.
答案：1
[基础题组练]
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析：选B.圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2，所以两圆的圆心距d＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r10，x，y∈R，p：“|x|＋≤1”，q：“x2＋y2≤r2”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是( )
A. B．(0，1]
C. D．[2，＋∞)
解析：选A.如图，“|x|＋≤1”表示的平面区域为平行四边形ABCD及其内部，“x2＋y2≤r2”表示圆及其内部，易知圆心O(0，0)到直线AD：2x＋y－2＝0的距离d＝＝，由p是q的必要不充分条件，得0
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