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- 2021-07-01 发布
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第39练 等比数列
[基础保分练]
1.若数列{an}是等比数列，下列命题正确的个数为( )
①{a}，{a2n}均为等比数列； ②{lnan}成等差数列；
③，{|an|}成等比数列； ④{can}，{an±k}均为等比数列
A.4B.3C.2D.1
2.(2019·绍兴模拟)等比数列{an}中，a1>0，则“a10，则a2017<0 B.若a6>0，则a2018<0
C.若a5>0，则S2017>0 D.若a6>0，则S2018>0
5.(2019·宁波模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为( )
A.12B.9C.16D.18
6.已知数列{an}为等比数列，且a2a3a4＝－a＝－64，则tan等于( )
A.－B.C.±D.－
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断一定正确的是( )
A.若S3>0，则a2018>0
B.若S3<0，则a2018<0
C.若a2>a1，则a2019>a2018
D.若>，则a20190)，则由a2，a3，a1成等差数列得2×a3＝a1＋a2，即a1q2＝a1＋a1q，则q2＝1＋q，解得q＝，则＝＝＝，
故选B.]
3.C [设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n,3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，
所以Sn＝，
Sn＋2＝，
代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有
解得或
故a1＝1或－3，故选C.]
4.C [方法一 设数列{an}的公比为q，由＝，得q3＝，
则q＝，则an＝a5·qn－5＝27－n，
从而可得Tn＝a1·a2·…·an＝26＋5＋4＋…＋(7－n)＝＝，
所以当(－n2＋13n)取最大值时，Tn取最大值，此时n＝6或7，故选C.
方法二 设数列{an}的公比为q，由＝，得q3＝，则q＝，则an＝a5·qn－5＝27－n，令an＝1，则n＝7，又当n<7时，an>1，当n>7时，an<1，Tn＝a1·a2·…·an，且an>0，所以当n＝6或7时，Tn取最大值，故选C.]
5.
解析 因为Sn＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1).
因为S1＋1＝3，故Sn＋1≠0，所以＝2，{Sn＋1}是等比数列，公比为2，首项为3，故Sn＝3·2n－1－1，
所以an＝
6.3·2n
解析 由2an－an－1＝3·2n－1(n≥2)，得＝·＋，
∴－1＝，
由2an－an－1＝3·2n－1(n≥2)，
且3a1＝2a2，
可得2a2－a1＝6，即2a1＝6，a1＝3.
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
则－1＝·n－1＝2n－1，
∴an＝2n(21－2n＋1)＝21－n＋2n，
∴Sn＝＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋＝2·2n－21－n.
∴Sn＋an＝3·2n.
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