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  • 2021-07-01 发布

宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题

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宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试理科数学试卷 一、选择题.‎ ‎1.已知,是虚数单位,若,,则( )‎ A. 1或-1 B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数,得到,再根据,利用乘法求解.‎ ‎【详解】因为复数,‎ 所以,,‎ 所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查复数的运算和概念,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎2.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据对数函数的定义域求法和指数函数值域的求法,化简集合M,N,然后求解.‎ ‎【详解】因,‎ ‎,‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算以及指数函数和对数函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎3.函数的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合函数奇偶性特征先排除A,再找特殊点,当时,分析分子和分母的变化,可确定B项正确 ‎【详解】由表达式可知,函数为偶函数,排除A,当时,为正,,所以,B正确 故选:B ‎【点睛】本题考查应用奇偶性和特殊值法识别函数图像,属于基础题 ‎4.设向量,满足,,则( )‎ A. 6 B. C. 10 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,,求得,再由求解.‎ ‎【详解】因为,,‎ 所以,‎ 解得,‎ 所以 故选:D ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎5.若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )‎ A. y=±2x B. y= C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 双曲线的离心率为,渐进性方程为,计算得,故渐进性方程为.‎ ‎【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.‎ ‎6.已知的三个内角,,所对的边分别为,,,若,且,则的面积( )‎ A. B. ‎2 ‎C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,由正弦定理得到,再根据,结合余弦定理解得,然后代入求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以由正弦定理得,‎ 又因为,‎ 所以,‎ 由余弦定理得,‎ 所以.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎7.《算法统宗》是我国古代数学名著,有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了有筹算到珠算的转变,对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输入的的值为4,则输出的的值为( )‎ A. 11 B. ‎19 ‎C. 35 D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照循环结构的功能,一一循环,找到规律,直至终止循环,输出结果.‎ ‎【详解】第一次循环,‎ 第二次循环,‎ 第三次循环,‎ 第四次循环,‎ 终止循环,输出.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构,还考查了逻辑推理的能力,属于基础题.‎ ‎8.琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座,每雅安排一节,连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对八雅进行全排列,得到方法总数,再利用插空法得到“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的方法数,然后代入古典概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】对八雅进行全排列,方法总数为种,‎ 满足“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的方法书为种,‎ 则所求概率为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的规律,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎9.已知底面为长方形的四棱锥中,平面,,,为中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点,为中点,由中位线定理得到,从而(或补角)为异面直线与所成角,然后再利用余弦定理求解.‎ ‎【详解】如图所示:‎ 取中点,连接,,‎ 因为为中点,所以,‎ 所以(或补角)为异面直线与所成角.‎ 由已知得,,,,‎ 所以.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎10.已知函数,,且,则( )‎ A. 3 B. 3或‎7 ‎C. 5 D. 5或8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的对称轴以及函数值,可得结果.‎ ‎【详解】函数,‎ 若,则的图象关于对称,‎ 又,所以或,‎ 所以的值是7或3.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题,属基础题 ‎11.已知为偶函数,为奇函数,且满足.若存在,使得不等式有解,则实数的最大值为( )‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出、的解析式,不等式恒成立,采用分离参数法,可得转化为求函数的最值,求出函数的最大值即可.‎ ‎【详解】为偶函数,为奇函数,且①‎ ‎② ‎ ‎①②两式联立可得,.‎ 由得,‎ ‎∵在为增函数,‎ ‎∴,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、考查了不等式存在有解问题以及函数的单调性求最值,注意分离参数法的应用,此题属于中档题.‎ ‎12.已知,是椭圆:的左、右焦点,过的直线交椭圆于 两点.若依次构成等差数列,且,则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设依次构成等差数列,其公差为,可得,及,进而可求得的表达式,然后在和中,利用余弦定理得到的表达式,进而可求出离心率的值.‎ ‎【详解】如图所示,设依次构成等差数列,其公差为.‎ 根据椭圆定义得,又,则,解得,.‎ 所以,,,.‎ 在和中,由余弦定理得,‎ 整理得,则.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的求法,考查椭圆定义的应用,考查等差数列的性质,考查学生的计算求解能力,属于中档题.‎ 二、填空题.‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义,先求得在点处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程.‎ ‎【详解】曲线 则 所以在点处的切线的斜率为 由点斜式可得 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于基础题.‎ ‎14.若满足约束条件,则的最大值为_________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可行域,将变为,则的最大值即为在轴截距最小值,通过图像得到结果.‎ ‎【详解】由约束条件可知可行域如下图:‎ 将变为,则的最大值即为在轴截距最小值 通过下图可知:‎ 当过点时,截距最小,则最大 本题正确结果:‎ ‎【点睛】本题考查线性规划中型的最值问题的求解,属于基础题.‎ ‎15.若,是第三象限角,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平方关系和二倍角公式化简为,再利用,得到 代入求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 又,‎ ‎ ,‎ 为第三象限角,‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式,诱导公式以及二倍角公式,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎16.在矩形中,,为的中点,将和分别沿,翻折,使点与重合于点.若,则三棱锥的外接球的表面积为_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算外接圆的半径,并假设外接球的半径为R,可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上,然后根据面,即可得解.‎ ‎【详解】由题意可知,,‎ 所以可得面,‎ 设外接圆的半径为,‎ 由正弦定理可得,即,,‎ 设三棱锥外接球的半径,‎ 因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点,‎ 则,‎ 所以外接球的表面积为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥的外接球的应用,属于中档题.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题.‎ ‎17.已知数列满足,,设.‎ ‎(1)证明数列是等差数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据,两边同除以,得到,再利用等差数列的定义求解.‎ ‎(2)由(1)得到,再利用分组求和的方法求解.‎ ‎【详解】(1)因为且,‎ 所以,‎ 又因为,‎ 所以是以2为首项,以2为公差的等差数列.‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)及题设得,,‎ 所以数列的前项和 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的定义以及分组求和的方法,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎18.在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数,统计结果如下表(注:指数值越高素质越优秀):‎ ‎(1)求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回归方程;‎ ‎(2)企业为提高员工的艺术爱好指数,要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培训,培训音乐次数对艺术爱好指数的提高量为,培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为,其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训,艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训,在他们都培训了20次后,估计谁的创新灵感指数更高?‎ 参考公式:回归方程中,,.‎ 参考数据:,‎ ‎【答案】(1)(2)培训后乙的创新灵感指数更高 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求得,再根据提供的数据,求得,写出回归直线方程.‎ ‎(2)根据培训音乐次数对艺术爱好指数的提高量为,培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为,分别得到员工甲经过20次的培训后,他们的艺术爱好指数,再估计他们的创新灵感指数,比较即可.‎ ‎【详解】(1)设,有,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2)员工甲经过20次培训后,‎ 估计他的艺术爱好指数将达到,‎ 因此估计他的创新灵感指数为.‎ 员工乙经过20次的培训后,‎ 估计他艺术爱好指数将达到,‎ 因此估计他的创新灵感指数为.‎ 由于,故培训后乙的创新灵感指数更高.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法以及应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎19.已知抛物线与圆相交于,两点,且点的横坐标为.是抛物线的焦点,过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点,.‎ ‎(1)求抛物线的方程.‎ ‎(2)过点,作抛物线的切线,,是,的交点,求证:点在定直线上.‎ ‎【答案】(1)(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据点的横坐标为,通过圆的方程得到点的坐标,代入抛物线方程求解.‎ ‎(2)由(1)得到抛物线,求导,设,利用导数的几何意义,得到切线,的方程,联立解得点P的坐标,再设出直线的方程与抛物线方程联立,结合韦达定理求解.‎ ‎【详解】(1)点的横坐标为,所以点的坐标为,‎ 代入解得,所以抛物线的方程为.‎ ‎(2)抛物线,则,设,‎ 所以切线的方程为,即,‎ 同理切线的方程为,‎ 联立解得点,‎ 设直线的方程为,代入,‎ 得,所以,‎ 所以点在上,结论得证.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的方程和几何性质以及直线过定点问题,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎20.如图,在四棱锥中,平面,四边形为平行四边形,且,.‎ ‎(1)证明:平面 ‎(2)当直线与平面所成角的正切值为时,求锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在四边形中,由平面几何知识,易证,再由平面,得到,根据线面垂直的判定定理证明平面.‎ ‎(2)根据(1)知平面,得到是直线与平面所成角,由直线与平面所成角的正切值为,得到,从而,然后以A为原点,分别以AB,AC,在平面中,过A垂直于AB的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,已知是平面的一个法向量,再求得平面的一个法向量,利用二面角的向量公式求解.‎ ‎【详解】(1)∵四边形为平行四边形,‎ ‎∴,,‎ ‎∴在△中,由余弦定理得,‎ ‎∴.‎ ‎∴,即,‎ 又∵平面,∴,‎ 又∵‎ ‎∴平面 ‎(2)由(1)知,是直线与平面所成角,,‎ ‎∴,‎ 又∵平面,‎ ‎∴‎ ‎∴△是等腰直角三角形,如图建立空间直角坐标系:‎ 则有:,‎ 由已知是平面的一个法向量,‎ 设平面的一个法向量为,,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴锐二面角余弦值 ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面垂直,二面角的向量求法,还考查了转化化归的思想和空间想象和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)证明:当时,.‎ ‎(2)若函数在有两个零点,证明:.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导,要证当时,,只需即可.‎ ‎(2)将函数在有两个零点,转化为方程在区间上有两解,令,用导数法研究其值域,再用数形结合的思想求解即可.‎ ‎【详解】(1),‎ 当时,,‎ 在区间上单调递增,‎ ‎,不等式成立.‎ ‎(2)函数在有两个零点,‎ 即方程在区间上有两解,‎ 令,则 令,‎ ‎,‎ 在区间单调递增 又,‎ 故存在唯一的实数,使得,‎ 即 所以在上单调递减,在区间上单调递增,‎ 且,‎ 所以,‎ 又因为,所以,‎ 因为方程关于的方程在上有两个零点,‎ 所以,‎ 即.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数与不等式证明,导数与函数的零点,还考查了转化化归,数形结合的思想和运算求解的能力,属于难题.‎ ‎(二)选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为:(为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设点P的直角坐标为,若直线l与曲线C分别相交于A,B两点,求 的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据参数方程与普通方程的转化即可得曲线C的普通方程;由极坐标与直角坐标的转化可得直线l的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)将直线l的直角坐标方程化为标准参数方程,联立椭圆方程,结合参数方程的几何意义即可求解.‎ ‎【详解】(Ⅰ)曲线C的参数方程为:(为参数).‎ 变形为,平方相加后可转化为直角坐标方程得.‎ 直线l的极坐标方程为.‎ 展开可得,即 化简可得直角坐标方程为.‎ ‎(Ⅱ)把直线的方程为转换为标准参数方程可得(t为参数).‎ 把直线的标准参数方程代入曲线的直角坐标方程,‎ 可得,‎ 所以,,‎ 所以由参数方程的几何意义可知 ‎【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化,参数方程几何意义求线段关系,属于中档题.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 设函数.‎ ‎(1)求的最小值及取得最小值时的取值范围;‎ ‎(2)若集合,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1),此时(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用绝对值不等式公式进行求解;‎ ‎(2)集合表示,,令,‎ 根据几何意义可得的图像恒在图像上方,数形结合解决问题.‎ ‎【详解】解(1)因,‎ 当且仅当,即时,上式“”成立,‎ 故函数的最小值为3,‎ 且取最小值时的取值范围是.‎ ‎(2)因为,‎ 所以,.‎ 函数化为.‎ 令,‎ 其图像为过点,斜率为的一条直线.‎ 如图,,.‎ 则直线的斜率,‎ 直线的斜率.‎ 因为,所以,即,‎ 所以的范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题,不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究,数形结合可以将抽象的问题变得更为直观,解题时应灵活运用.‎