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- 2021-07-01 发布
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微专题 65 直线的方程与性质
一、基础知识:
(一)直线的要素与方程:
1、倾斜角:若直线 与 轴相交,则以 轴正方向为始边,绕交点逆时针旋转直至与 重合所
成的角称为直线 的倾斜角,通常用 表示
(1)若直线与 轴平行(或重合),则倾斜角为
(2)倾斜角的取值范围
2、斜率:设直线的倾斜角为 ,则 的正切值称为直线的斜率,记为
(1)当 时,斜率不存在;所以竖直线是不存在斜率的
(2)所有的直线均有倾斜角,但是不是所有的直线均有斜率
(3)斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度,但就其应用范围,斜率适用的范围更广(与直
线方程相联系)
(4) 越大,直线越陡峭
(5)斜率 的求法:已知直线上任意两点 ,则 ,即直线的
斜率是确定的,与所取的点无关。
3、截距:若直线 与坐标轴分别交于 ,则称 分别为直线 的横截距,纵截距
(1)截距:可视为直线与坐标轴交点的简记形式,其取值可正,可负,可 0(不要顾名思义
误认为与“距离”相关)
(2)横纵截距均为 0 的直线为过原点的非水平非竖直直线
4、直线方程的五种形式:首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法:一种是已知直线上
一点与直线的方向(即斜率),另一种是已知两点(两点确定一条直线),直线方程的形式与
这两种方法有关
(1)一点一方向:
① 点斜式:已知直线 的斜率 ,直线上一点 ,则直线 的方程为:
l x x l
l , , ,
x 0
0,
tank
2
k
k 1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 1
2 1
y yk x x
l ,0 , 0,a b ,a b l
l k 0 0,P x y l
0 0y y k x x
证明:设直线 上任意一点 ,根据斜率计算公式可得: ,所以直线上的每
一点都应满足: ,即为直线方程
② 斜截式:已知直线 的斜率 ,纵截距 ,则直线 的方程为:
证明:由纵截距为 可得直线与 轴交点为 ,从而利用点斜式得:
化简可得:
(2)两点确定一条直线:
③ 两点式:已知直线 上的两点 ,则直线 的方程为:
④ 截距式:若直线 的横纵截距分别为 ,则直线 的方程为:
证明:从已知截距可得:直线上两点 ,所以
⑤ 一般式:由前几类直线方程可知:直线方程通常由 的一次项与常数项构成,所以可将
直线的通式写为: ( 不同时为 0),此形式称为直线的一般式
一般式方程的作用:可作为直线方程的最终结果
可用于判定直线的平行垂直关系
点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式
5、五种直线形式所不能表示的直线:
(1)点斜式,斜截式:与斜率相关,所以无法表示斜率不存在的直线(即竖直线)
(2)截距式:① 截距不全的直线:水平线,竖直线
② 截距为 0 的直线:过原点的直线
6、求曲线(或直线)方程的方法:在已知曲线类型的前提下,求曲线(或直线)方程的思路
通常有两种:
(1)直接法:寻找决定曲线方程的要素,然后直接写出方程,例如在直线中,若用直接法则
需找到两个点,或者一点一斜率
l ,Q x y 0
0
y yk x x
0 0y y k x x
l k b l y kx b
b y 0,b 0y b k x
y kx b
l 1 1 2 2, , ,A x y B x y l
2 2
1 2 1 2
y y x x
y y x x
l , 0a b ab l 1x y
a b
,0 , 0,a b 0
0
b bk a a
: 0 1b x yl y b x bx ay aba a b
,x y
0Ax By C ,A B
(2)间接法:若题目条件与所求要素联系不紧密,则考虑先利用待定系数法设出曲线方程,
然后再利用条件解出参数的值(通常条件的个数与所求参数的个数一致)
(二)直线位置关系:
1、在解析几何中直线的位置关系有三种:平行,相交(包含垂直),重合
如果题目中提到“两条直线”,则不存在重合的情况,如果只是 ,则要考虑重合的情
况。
2、直线平行的条件
(1)斜截式方程:设直线
①
② 若直线 的斜率存在,则
(2)一般式方程:设 ,则
① 当 时, ∥
② ,且 和 中至少一个成立,则 ∥ (此条件适用于
所有直线)
3、直线垂直的条件:
(1)斜截式方程:设直线 ,则
(2)一般式方程:设 ,则:
4、一般式方程平行与垂直判定的规律:
可选择与一般式方程 对应的向量: ,即有:
,从而
的关系即可代表 的关系,例如:
(注意验证是否会出现重合的情况)
1 2,l l
1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b
1 2 1 2 1 2,k k b b l l ∥
1 2,l l 1 2 1 2l l k k ∥
1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C 1l 2l
1 2 2 1A B A B 1 2 2 1AC A C 1 2 2 1B C B C 1l 2l
1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b 1 2 1 2 1l l k k
1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C
1 2 1 2 1 20A A B B l l
0Ax By C ,a A B
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2: 0 , , : 0 ,l A x B y C a A B l A x B y C a A B
1 2,a a
1 2,l l
1 2 2 1 1 2 1 2A B A B a a l l ∥ ∥
1 2 1 2 1 2 1 2 1 20 0A A B B a a a a l l
(三)距离问题:
1、两点间距离公式:设 ,则
2、点到直线距离公式:设
则点 到直线 的距离
3、平行线间的距离:
则 的距离为
(四)对称问题
1、中心对称:
(1)几何特点:若 关于 点中心对称,则 为线段 的中点
(2)解析特征:设 , ,则与 点关于 点中心对称的点 满足:
2、轴对称
(1)几何特点:若若 关于直线 轴对称,则 为线段 的中垂线,即 ,且
的中点在 上
(2)解析特征:设 , ,则与 点关于 轴对称的点 满足:
,解出 即可
(3)求轴对称的直线:设对称轴为直线 ,直线 关于 的对称直线为
① 若 ∥ ,则 ∥ ,且 到对称轴的距离与 到对称轴的距离相等
② 若 与 相交于 ,则取 上一点 ,求出关于 的对称点 ,则 即为对称直线
1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2
1 2 1 2AB x x y y
0 0, , : 0P x y l Ax By C
P l 0 0
2 2P l
Ax By Cd
A B
1 1 2 2: 0, : 0l Ax By C l Ax By C
1 2,l l 1 2
2 2
C Cd
A B
',A A O O 'AA
0 0,A x y ,O a b A O ' ,A x y
0
0
0 0
22
2
2
x xa x a x
y y y b yb
',A A l l 'AA 'AA l 'AA
l
0 0,A x y :l y kx b A l ' ,A x y
'
0
0
0 0
1
2 2
AA
y yk x x k
y y x xk b
' ,A x y
l 1l l '
1l
1l l '
1l 1l '
1l l
1l l P 1l A l 'A 'A P '
1l
(五)直线系方程:满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系,直线系的方程通常含
有参数(以参数的不同取值确定直线)
1、平行线系:集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值
(1)与直线 平行的直线系方程为: ( 为参数,且 )
(2)与直线 垂直的直线系方程为: ( 为参数)
2、过定点的直线:
(1)若参数的取值影响直线的斜率,则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转:即把含参数的
项划为一组并提取参数,只需让参数所乘的因式为 0 即可
(2)已知 ( 与 不重合),则过 交点的直
线系方程为: (该直线无法表示 )
3、直线系方程的用途:主要是在求直线方程时可充分利用平行,垂直或过定点的条件,将直
线设为只含一个参数的方程,从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源,寻找条件解出参
数,即可得到所求直线方程
二、典型例题:
例 1:直线 的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
思路:要求倾斜角(设为 ),可将直线转化为斜截式得: ,所以
,即 ,结合正切的定义以及倾斜角的范围可得:
答案:B
小炼有话说:一是要注意由正切值求角时,通过图像判断更为稳妥,切忌只求边界角,然后
直接根据角大小写区间。二是要注意倾斜角的取值范围: ,所以当 时,倾斜角为
(而不是 )
例 2:经过 作直线 ,若直线 与连接
0Ax By C 0Ax By m m m C
0Ax By C 0Bx Ay m m
1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C 1l 2l 1 2,l l
1 2 1 1 1 2 2 20 0l l A x B y C A x B y C 2l
sin 2 0x y
0, 30, ,4 4
0, 4
0, ,4 2
sin 2y x
tan 1,1 30, ,4 4
0, 0k
0
)1,0( P l l
的线段总有公共点,则直线 的斜率的取值范围为 .
思路:直线 可视为绕 进行旋转,在坐标系中作出线段 ,即可由图判断出若直线
与线段 有公共点,旋转过程中的第一条直线与最后一条直线分别为直线 ,则
,由图像可得:
答案:
小炼有话说:本题如果没有图像辅助,极易将结果写成 ,通过观察可得旋转的过程当
中,倾斜角不断变大,由锐角变为钝角。从而斜率的值应为正负值之外,而非正负值之间。
所以处理此类问题时:一定作图,作图,作图!!
例 3:若 的图象是两条平行直线,则 的
值是( )
A. 或 B. C. D. 的值不存在
思路:由平行线可得: 可解得: 或 ,检验是否存在重合情况,将
代入直线可得: ,符合题意,将 代入直线
可得: ,则 重合,不符题意,所以舍去。综上可得:
答案:B
小炼有话说:在已知平行关系求参数取值时,尽管在求解时可仅用 系数关系,但解出参
数后要进行验证,看是否会导致直线重合。
例 4:已知直线 互相垂直,则实数 等于( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
思路:由两直线相互垂直可得: ,即 ,解得 或
答案:A
例 5:已知直线通过点 ,被直线 : 反射,反射光线通过点 ,
则反射光线所在直线的方程是 .
)3,2(),1,1( BA l
l )1,0( P AB
l AB ,PB PA
1 1 3 12, 21 0 2 0PA PBk k , 2 2,k
, 2 2,k
2,2
1 2: 1 2 0, : 2 8 0l x m y m l mx y m
1m 2m 1m 2m m
1 2m m 1m 2m
1m 1 2: 2 1 0, : 2 8 0l x y l x y 2m
1 2: 4 0, : 2 2 8 0l x y l x y 1 2,l l
1m
,x y
013)2(01 yxayax 与 a
3 1 1 3 1 3 1 3
2 1 3 0a a 2 2 3 0a a 3a
1a
3,4M l 3 0x y 2,6N
思路:本题与物理知识相结合,可知反射光线过已知点在镜面中的虚像(即对称点),所以考
虑求出 的对称点 ,再利用 确定反射光线即可。
解:设 的对称点 ,则有 ,且 的中点 在 上
即
答案:
例 6:直线 ( 且 不同时为 0)经过定点
____
思路:直线过定点,则意味着定点坐标使得参数“失去作用”——即无论参数取何值,不会
影响表达式的值,能够达到此功效的只有让参数与“0”相乘,所以考虑将已知直线进行变形,
将含 的项与含 的项分别归为一组,可得: ,若要让
“失去作用”,则 ,解得 ,即定点为
答案:
小炼有话说:含参数的直线方程要么是一组平行线(斜率为常数),要么考虑过定点,而定点
的求解可参照例 6 的求法。寻找定点是一种意识,即遇到含参数的直线时,便可考虑能否找
到定点,从而抓住此类直线的特征(绕定点旋转),有助于解题。
例 7:已知直线 上存在点 满足与两点 连线的斜率
与 之积为 ,则实数 的取值范围是_________
思路:设直线上的点 ,则 需同时满足两个条件:一是符合直线方程,二是保证
斜率乘积为 3.对于条件一,即 ,对于条件二,按照斜率计算公式可得
,所以 即 。所以存在满足条件的
3,4M 'M 2,6N
M '
0 0,M x y 'MM l 'MM 0 03 4,2 2
x y
l
0
0 00
0 00 0
4 1 1 03
1 03 4 3 02 2
y
x yx
x yx y
' 1,0M
' 6M Nk ' : 6 1M N y x 6 6 0x y
6 6 0x y
2 2 0m n x m n y m n ,m n R ,m n
m n 2 1 2 0m x y n x y ,m n
2 1 0
2 0
x y
x y
1
1
x
y
1,1
1,1
: 3 0l x my m M 1,0 , 1,0A B
MAk MBk 3 m
0 0,M x y M
0 0 3 0x my m
0 0
0 0
,1 1MA MB
y yk kx x
0 0
0 0
31 1
y y
x x 2 2
0 03 1y x
,等价于方程组 有解,所以
判别式 ,可解得
答案:
例 8:若不全为零的实数 成等差数列,点 在动直线 上的射影为
,点 在直线 上,则线段 长度的最小值是__________
思路:从 成等差数列可得: ,所以 ,方程含参进而考
虑寻找定点。 ,所以有 ,
解得定点为 ,即 为绕 旋转的动直线,对于任意点 , 的最小值为点 到
的距离,而 的所有位置中,只有 过 点时, 最短,即
答案:
小炼有话说:(1)本题的突破口在于对含参直线 的分析,首先对于含
参直线要分析出属于平行线系(斜率为定值),还是过定点系(斜率因参数变化而变化),其
次对于多参数方程也能够找到定点。
(2)本题的 均为动点,双动点求最值时,通常固定一个点,分析此点固定时,达到最值
时另一个点位置的特征(例如本题中固定 ,分析出 到 的距离为 最小),然后再让
该点动起来,在动的过程中找到“最值”中的最值。
例 9:已知 的两条高所在直线方程为 ,若 ,求直线
的方程
M 2 2 2 2
2 2
3 0 3 1 6 3 9 3 0
3 3
x my m m y m y m
y x
22 2 26 3 4 3 1 9 3 0m m m 2 2,2 2m
2 2,2 2m
, ,a b c (1,2)A : 0l ax by c
P Q 1 : 3 4 12 0l x y PQ
, ,a b c 2
a cb : 02
a cl ax y c
1 10 1 02 2 2
a cax y c a x y c y
1 02
1 1 02
x y
y
1, 2 l 1, 2 P PQ P
3 4 12 0x y P l (1,2)A PQ
1 1min min 2 2
3 1 4 2 12 7
53 4P l A lPQ d d
7
5
: 02
a cl ax y c
,P Q
P P 1l PQ
ABC 0,2 3 1 0x y x y (1,2)A BC
思路:本题并没有说明高线是否过 ,但可以将 带入方
程进行验证,可得两条高线均不过 ,从而寻找确定 直线
的要素,可连接 ,由三角形“三条高线交于一点”的性质可
得 ,且 点可由两条高线解得,从而得到 ,只需
再求得一点即可,观察到 为三条直线 的公共点, 已知,而 可求。进而
解得 的坐标,然后通过 和 求出 的方程
解:设
,所以
由“三条高线交于一点”可得:
设 ,代入 解得:
整理后可得:
答案:
例 10:已知点 在直线 上,点 在直线 上,线段 的中点为
,且满足 ,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
思路:观察发现所给直线为两条平行线,所以 点的轨迹为夹在两条直线之间的平行线,即
A (1,2)A
A BC
AH
AH BC H BCk
C , ,BC CD AC CD AC
C C BCk BC
: 0, : 2 3 1 0CD x y BE x y
1
0 5: 2 3 1 0 1
5
xx yH x y y
1 1,5 5H
12 35
1 21 5
AHk
AH BC
2
3BCk AC BE
: 3 2 0AC x y m (1,2)A 7m
: 3 2 7 0AC x y
3 2 7 0 7: 0 7
x y xC x y y
7, 7C
2: 7 73BC y x 2 3 7 0x y
2 3 7 0x y
A 2 1 0x y B 2 3 0x y AB
0 0,P x y 0 0 2y x 0
0
y
x
1 1,2 5
1, 5
1 1,2 5
1 ,02
P
H
A
B C
D
E
,所以 ,代入所求 ,下面确定
的范围,将 代入 可得: 解得:
所以:
答案:A
小炼有话说:(1)本题 的轨迹可通过图像观察到,也可进行代数分析:设
,则有 ,① ②可得:
即 ,所以点 的轨迹为
(2)本题对于求 的范围可以有两个角度考虑:一个角度是利用 进行消元,
从而转为一元表达式利用函数求范围。另一个角度可考虑 的几何意义,即 的斜率,从
而通过 作出可行域,数形结合处理。
2 1 0x y 0
0 0 0
12 1 0 2
xx y y 0 0
0 0
1
2
y x
x x
0x
0
0
1
2
xy 0 0 2y x 0
0
1 22
x x 0
5
3x
0 0
0 0 0
1 1 1 1 1,2 2 2 2 5
y x
x x x
P
1 1 2 2, , ,A x y B x y
1 1
2 2
1 2
0
1 2
0
2 1 0
2 3 0
2
2
x y
x y
x xx
y yy
①
②
1 2 1 22 2 0x x y y
0 02 1 0x y P 2 1 0x y
0
0
y
x 0 02 1 0x y
0
0
y
x OP
0 0
0 0
2 1 0
2
x y
y x