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  • 2021-07-01 发布

高中数学讲义微专题65 直线的方程与性质

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微专题 65 直线的方程与性质 一、基础知识: (一)直线的要素与方程: 1、倾斜角:若直线 与 轴相交,则以 轴正方向为始边,绕交点逆时针旋转直至与 重合所 成的角称为直线 的倾斜角,通常用 表示 (1)若直线与 轴平行(或重合),则倾斜角为 (2)倾斜角的取值范围 2、斜率:设直线的倾斜角为 ,则 的正切值称为直线的斜率,记为 (1)当 时,斜率不存在;所以竖直线是不存在斜率的 (2)所有的直线均有倾斜角,但是不是所有的直线均有斜率 (3)斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度,但就其应用范围,斜率适用的范围更广(与直 线方程相联系) (4) 越大,直线越陡峭 (5)斜率 的求法:已知直线上任意两点 ,则 ,即直线的 斜率是确定的,与所取的点无关。 3、截距:若直线 与坐标轴分别交于 ,则称 分别为直线 的横截距,纵截距 (1)截距:可视为直线与坐标轴交点的简记形式,其取值可正,可负,可 0(不要顾名思义 误认为与“距离”相关) (2)横纵截距均为 0 的直线为过原点的非水平非竖直直线 4、直线方程的五种形式:首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法:一种是已知直线上 一点与直线的方向(即斜率),另一种是已知两点(两点确定一条直线),直线方程的形式与 这两种方法有关 (1)一点一方向: ① 点斜式:已知直线 的斜率 ,直线上一点 ,则直线 的方程为: l x x l l , , ,    x 0  0,    tank  2   k k    1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 1 2 1 y yk x x   l    ,0 , 0,a b ,a b l l k  0 0,P x y l  0 0y y k x x   证明:设直线 上任意一点 ,根据斜率计算公式可得: ,所以直线上的每 一点都应满足: ,即为直线方程 ② 斜截式:已知直线 的斜率 ,纵截距 ,则直线 的方程为: 证明:由纵截距为 可得直线与 轴交点为 ,从而利用点斜式得: 化简可得: (2)两点确定一条直线: ③ 两点式:已知直线 上的两点 ,则直线 的方程为: ④ 截距式:若直线 的横纵截距分别为 ,则直线 的方程为: 证明:从已知截距可得:直线上两点 ,所以 ⑤ 一般式:由前几类直线方程可知:直线方程通常由 的一次项与常数项构成,所以可将 直线的通式写为: ( 不同时为 0),此形式称为直线的一般式 一般式方程的作用:可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系 点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线: (1)点斜式,斜截式:与斜率相关,所以无法表示斜率不存在的直线(即竖直线) (2)截距式:① 截距不全的直线:水平线,竖直线 ② 截距为 0 的直线:过原点的直线 6、求曲线(或直线)方程的方法:在已知曲线类型的前提下,求曲线(或直线)方程的思路 通常有两种: (1)直接法:寻找决定曲线方程的要素,然后直接写出方程,例如在直线中,若用直接法则 需找到两个点,或者一点一斜率 l  ,Q x y 0 0 y yk x x    0 0y y k x x   l k b l y kx b  b y  0,b  0y b k x   y kx b  l    1 1 2 2, , ,A x y B x y l 2 2 1 2 1 2 y y x x y y x x    l  , 0a b ab  l 1x y a b     ,0 , 0,a b 0 0 b bk a a     : 0 1b x yl y b x bx ay aba a b           ,x y 0Ax By C   ,A B (2)间接法:若题目条件与所求要素联系不紧密,则考虑先利用待定系数法设出曲线方程, 然后再利用条件解出参数的值(通常条件的个数与所求参数的个数一致) (二)直线位置关系: 1、在解析几何中直线的位置关系有三种:平行,相交(包含垂直),重合 如果题目中提到“两条直线”,则不存在重合的情况,如果只是 ,则要考虑重合的情 况。 2、直线平行的条件 (1)斜截式方程:设直线 ① ② 若直线 的斜率存在,则 (2)一般式方程:设 ,则 ① 当 时, ∥ ② ,且 和 中至少一个成立,则 ∥ (此条件适用于 所有直线) 3、直线垂直的条件: (1)斜截式方程:设直线 ,则 (2)一般式方程:设 ,则: 4、一般式方程平行与垂直判定的规律: 可选择与一般式方程 对应的向量: ,即有: ,从而 的关系即可代表 的关系,例如: (注意验证是否会出现重合的情况) 1 2,l l 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b    1 2 1 2 1 2,k k b b l l   ∥ 1 2,l l 1 2 1 2l l k k ∥ 1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C      1 1 1 2 2 2 A B C A B C  1l 2l 1 2 2 1A B A B 1 2 2 1AC A C 1 2 2 1B C B C 1l 2l 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b    1 2 1 2 1l l k k     1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C      1 2 1 2 1 20A A B B l l    0Ax By C    ,a A B    1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2: 0 , , : 0 ,l A x B y C a A B l A x B y C a A B           1 2,a a  1 2,l l 1 2 2 1 1 2 1 2A B A B a a l l   ∥ ∥ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 20 0A A B B a a a a l l            (三)距离问题: 1、两点间距离公式:设 ,则 2、点到直线距离公式:设 则点 到直线 的距离 3、平行线间的距离: 则 的距离为 (四)对称问题 1、中心对称: (1)几何特点:若 关于 点中心对称,则 为线段 的中点 (2)解析特征:设 , ,则与 点关于 点中心对称的点 满足: 2、轴对称 (1)几何特点:若若 关于直线 轴对称,则 为线段 的中垂线,即 ,且 的中点在 上 (2)解析特征:设 , ,则与 点关于 轴对称的点 满足: ,解出 即可 (3)求轴对称的直线:设对称轴为直线 ,直线 关于 的对称直线为 ① 若 ∥ ,则 ∥ ,且 到对称轴的距离与 到对称轴的距离相等 ② 若 与 相交于 ,则取 上一点 ,求出关于 的对称点 ,则 即为对称直线    1 1 2 2, , ,A x y B x y    2 2 1 2 1 2AB x x y y     0 0, , : 0P x y l Ax By C   P l 0 0 2 2P l Ax By Cd A B    1 1 2 2: 0, : 0l Ax By C l Ax By C      1 2,l l 1 2 2 2 C Cd A B   ',A A O O 'AA  0 0,A x y  ,O a b A O  ' ,A x y 0 0 0 0 22 2 2 x xa x a x y y y b yb          ',A A l l 'AA 'AA l 'AA l  0 0,A x y :l y kx b  A l  ' ,A x y ' 0 0 0 0 1 2 2 AA y yk x x k y y x xk b            ' ,A x y l 1l l ' 1l 1l l ' 1l 1l ' 1l l 1l l P 1l A l 'A 'A P ' 1l (五)直线系方程:满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系,直线系的方程通常含 有参数(以参数的不同取值确定直线) 1、平行线系:集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值 (1)与直线 平行的直线系方程为: ( 为参数,且 ) (2)与直线 垂直的直线系方程为: ( 为参数) 2、过定点的直线: (1)若参数的取值影响直线的斜率,则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转:即把含参数的 项划为一组并提取参数,只需让参数所乘的因式为 0 即可 (2)已知 ( 与 不重合),则过 交点的直 线系方程为: (该直线无法表示 ) 3、直线系方程的用途:主要是在求直线方程时可充分利用平行,垂直或过定点的条件,将直 线设为只含一个参数的方程,从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源,寻找条件解出参 数,即可得到所求直线方程 二、典型例题: 例 1:直线 的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. 思路:要求倾斜角(设为 ),可将直线转化为斜截式得: ,所以 ,即 ,结合正切的定义以及倾斜角的范围可得: 答案:B 小炼有话说:一是要注意由正切值求角时,通过图像判断更为稳妥,切忌只求边界角,然后 直接根据角大小写区间。二是要注意倾斜角的取值范围: ,所以当 时,倾斜角为 (而不是 ) 例 2:经过 作直线 ,若直线 与连接 0Ax By C   0Ax By m   m m C 0Ax By C   0Bx Ay m   m 1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C      1l 2l 1 2,l l  1 2 1 1 1 2 2 20 0l l A x B y C A x B y C          2l sin 2 0x y      0, 30, ,4 4             0, 4      0, ,4 2              sin 2y x     tan 1,1   30, ,4 4              0, 0k  0  )1,0( P l l 的线段总有公共点,则直线 的斜率的取值范围为 . 思路:直线 可视为绕 进行旋转,在坐标系中作出线段 ,即可由图判断出若直线 与线段 有公共点,旋转过程中的第一条直线与最后一条直线分别为直线 ,则 ,由图像可得: 答案: 小炼有话说:本题如果没有图像辅助,极易将结果写成 ,通过观察可得旋转的过程当 中,倾斜角不断变大,由锐角变为钝角。从而斜率的值应为正负值之外,而非正负值之间。 所以处理此类问题时:一定作图,作图,作图!! 例 3:若 的图象是两条平行直线,则 的 值是( ) A. 或 B. C. D. 的值不存在 思路:由平行线可得: 可解得: 或 ,检验是否存在重合情况,将 代入直线可得: ,符合题意,将 代入直线 可得: ,则 重合,不符题意,所以舍去。综上可得: 答案:B 小炼有话说:在已知平行关系求参数取值时,尽管在求解时可仅用 系数关系,但解出参 数后要进行验证,看是否会导致直线重合。 例 4:已知直线 互相垂直,则实数 等于( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 思路:由两直线相互垂直可得: ,即 ,解得 或 答案:A 例 5:已知直线通过点 ,被直线 : 反射,反射光线通过点 , 则反射光线所在直线的方程是 . )3,2(),1,1( BA  l l )1,0( P AB l AB ,PB PA    1 1 3 12, 21 0 2 0PA PBk k             , 2 2,k        , 2 2,k      2,2    1 2: 1 2 0, : 2 8 0l x m y m l mx y        m 1m  2m   1m  2m   m  1 2m m   1m  2m   1m  1 2: 2 1 0, : 2 8 0l x y l x y      2m   1 2: 4 0, : 2 2 8 0l x y l x y       1 2,l l 1m  ,x y 013)2(01  yxayax 与 a 3 1 1 3 1 3 1 3    2 1 3 0a a      2 2 3 0a a   3a   1a   3,4M  l 3 0x y    2,6N 思路:本题与物理知识相结合,可知反射光线过已知点在镜面中的虚像(即对称点),所以考 虑求出 的对称点 ,再利用 确定反射光线即可。 解:设 的对称点 ,则有 ,且 的中点 在 上 即 答案: 例 6:直线 ( 且 不同时为 0)经过定点 ____ 思路:直线过定点,则意味着定点坐标使得参数“失去作用”——即无论参数取何值,不会 影响表达式的值,能够达到此功效的只有让参数与“0”相乘,所以考虑将已知直线进行变形, 将含 的项与含 的项分别归为一组,可得: ,若要让 “失去作用”,则 ,解得 ,即定点为 答案: 小炼有话说:含参数的直线方程要么是一组平行线(斜率为常数),要么考虑过定点,而定点 的求解可参照例 6 的求法。寻找定点是一种意识,即遇到含参数的直线时,便可考虑能否找 到定点,从而抓住此类直线的特征(绕定点旋转),有助于解题。 例 7:已知直线 上存在点 满足与两点 连线的斜率 与 之积为 ,则实数 的取值范围是_________ 思路:设直线上的点 ,则 需同时满足两个条件:一是符合直线方程,二是保证 斜率乘积为 3.对于条件一,即 ,对于条件二,按照斜率计算公式可得 ,所以 即 。所以存在满足条件的  3,4M  'M  2,6N M  ' 0 0,M x y 'MM l 'MM 0 03 4,2 2 x y      l 0 0 00 0 00 0 4 1 1 03 1 03 4 3 02 2 y x yx x yx y                  ' 1,0M ' 6M Nk   ' : 6 1M N y x   6 6 0x y   6 6 0x y      2 2 0m n x m n y m n      ,m n R ,m n m n    2 1 2 0m x y n x y      ,m n 2 1 0 2 0 x y x y        1 1 x y      1,1  1,1 : 3 0l x my m   M    1,0 , 1,0A B MAk MBk 3 m  0 0,M x y M 0 0 3 0x my m   0 0 0 0 ,1 1MA MB y yk kx x   0 0 0 0 31 1 y y x x    2 2 0 03 1y x  ,等价于方程组 有解,所以 判别式 ,可解得 答案: 例 8:若不全为零的实数 成等差数列,点 在动直线 上的射影为 ,点 在直线 上,则线段 长度的最小值是__________ 思路:从 成等差数列可得: ,所以 ,方程含参进而考 虑寻找定点。 ,所以有 , 解得定点为 ,即 为绕 旋转的动直线,对于任意点 , 的最小值为点 到 的距离,而 的所有位置中,只有 过 点时, 最短,即 答案: 小炼有话说:(1)本题的突破口在于对含参直线 的分析,首先对于含 参直线要分析出属于平行线系(斜率为定值),还是过定点系(斜率因参数变化而变化),其 次对于多参数方程也能够找到定点。 (2)本题的 均为动点,双动点求最值时,通常固定一个点,分析此点固定时,达到最值 时另一个点位置的特征(例如本题中固定 ,分析出 到 的距离为 最小),然后再让 该点动起来,在动的过程中找到“最值”中的最值。 例 9:已知 的两条高所在直线方程为 ,若 ,求直线 的方程 M  2 2 2 2 2 2 3 0 3 1 6 3 9 3 0 3 3 x my m m y m y m y x                 22 2 26 3 4 3 1 9 3 0m m m      2 2,2 2m       2 2,2 2m       , ,a b c (1,2)A : 0l ax by c   P Q 1 : 3 4 12 0l x y   PQ , ,a b c 2 a cb  : 02 a cl ax y c   1 10 1 02 2 2 a cax y c a x y c y                  1 02 1 1 02 x y y        1, 2 l  1, 2 P PQ P 3 4 12 0x y   P l (1,2)A PQ  1 1min min 2 2 3 1 4 2 12 7 53 4P l A lPQ d d          7 5 : 02 a cl ax y c   ,P Q P P 1l PQ ABC 0,2 3 1 0x y x y     (1,2)A BC 思路:本题并没有说明高线是否过 ,但可以将 带入方 程进行验证,可得两条高线均不过 ,从而寻找确定 直线 的要素,可连接 ,由三角形“三条高线交于一点”的性质可 得 ,且 点可由两条高线解得,从而得到 ,只需 再求得一点即可,观察到 为三条直线 的公共点, 已知,而 可求。进而 解得 的坐标,然后通过 和 求出 的方程 解:设 ,所以 由“三条高线交于一点”可得: 设 ,代入 解得: 整理后可得: 答案: 例 10:已知点 在直线 上,点 在直线 上,线段 的中点为 ,且满足 ,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 思路:观察发现所给直线为两条平行线,所以 点的轨迹为夹在两条直线之间的平行线,即 A (1,2)A A BC AH AH BC H BCk C , ,BC CD AC CD AC C C BCk BC : 0, : 2 3 1 0CD x y BE x y     1 0 5: 2 3 1 0 1 5 xx yH x y y            1 1,5 5H     12 35 1 21 5 AHk          AH BC 2 3BCk   AC BE : 3 2 0AC x y m   (1,2)A 7m   : 3 2 7 0AC x y    3 2 7 0 7: 0 7 x y xC x y y             7, 7C   2: 7 73BC y x     2 3 7 0x y   2 3 7 0x y   A 2 1 0x y   B 2 3 0x y   AB  0 0,P x y 0 0 2y x  0 0 y x 1 1,2 5      1, 5      1 1,2 5      1 ,02     P H A B C D E ,所以 ,代入所求 ,下面确定 的范围,将 代入 可得: 解得: 所以: 答案:A 小炼有话说:(1)本题 的轨迹可通过图像观察到,也可进行代数分析:设 ,则有 ,① ②可得: 即 ,所以点 的轨迹为 (2)本题对于求 的范围可以有两个角度考虑:一个角度是利用 进行消元, 从而转为一元表达式利用函数求范围。另一个角度可考虑 的几何意义,即 的斜率,从 而通过 作出可行域,数形结合处理。 2 1 0x y   0 0 0 0 12 1 0 2 xx y y       0 0 0 0 1 2 y x x x   0x 0 0 1 2 xy   0 0 2y x  0 0 1 22 x x   0 5 3x   0 0 0 0 0 1 1 1 1 1,2 2 2 2 5 y x x x x             P    1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 1 2 2 1 2 0 1 2 0 2 1 0 2 3 0 2 2 x y x y x xx y yy              ① ②     1 2 1 22 2 0x x y y     0 02 1 0x y   P 2 1 0x y   0 0 y x 0 02 1 0x y   0 0 y x OP 0 0 0 0 2 1 0 2 x y y x      

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