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- 2021-07-01 发布
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典型高考数学试题解读与变式2018版
考点45 古典概型
一、 知识储备汇总与命题规律展望
1. 知识储备汇总:
(1)概率的有关概念:
①随机事件和随机试验是两个不同的概念:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件,件每实现一次,叫做一次试验,如果试验结果预先无法确定,这种试验就是随机试验.
②频率与概率有本质的区别,不可混为一谈.频率随着试验次数的改变而变化,概率却是一个常数,它是频率的 学抽象.当试验次数越 越多时,频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.概率是频率的近似值,两者是不同概念。
③基本事件空间:在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们 描绘,这样的事件称为基本事件,所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,通常用大写希腊字母Ω表示.
④事件的关系与运算:
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件
A包含于事件B)
A⊆B
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A=B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生,称此事件
为事件A与事件B的和事件
A∪B(或A+B)
交事件
(积事件)[:学
若某事件发生当且仅当A发生且事件B发生,则称
此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件,则事件A与事件B互斥
A∩B=∅
对立事件
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件
A与事件B互为对立事件
A∩B=∅;P(A∪B)=
P(A)+P(B)=1
其中,互斥事件与对立事件的区别与联系是:互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件,即“互斥”是“对立”
的必要但不充分条件,而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件.
(2)古典概型
①定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,[ :学_ _ ]
(ⅰ)有限性试:验中所有可能出现的基本事件只有有限个;[ :学_ _ ]
(ⅱ)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等,简称古典概型.
②概率公式:如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是;如果某个事件A包括的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=.从集合的角度去看待古典概型,在一次试验中,等可能出现的全部结果组成一个集合I,基本事件的个数n就是集合I的元素个数,事件A是集合I的一个包含m个元素的子集.故P(A)==.
③若事件与事件互斥,则事件的概率;
若事件与事件是对立事件,则.
1. 命题规律展望:古典概型是高考考查的重点与热点,主要考查利用排列组合知识、互斥事件的和概率公式、相互独立事件的积概率公式及古典概型的知识求古典概型的概率,题型为选择题、填空题或理 解答题中求随机变量分布列中求概率或文 解答题中求古典概率,分值为5至17分,难度为基础题或中档难度题.
二、题型与相关高考题解读
1.简单的古典概型问题
1.1考题展示与解读
例1 【2017山东,理8】从分别标有,,,的张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
(A) (B) (C) (D)
【命题意图探究】本题主要考查利用排列组合知识计算古典概型,是中档题.
【答案】C
【解析】标有,,,的张卡片中,标奇数的有张,标偶数的有张,所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ,选C.
【解题能力要求】应用意识,运算求解能力
【方法技巧归纳】解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古典概型问题,其判断依据是:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数,然后利用古典概型的概率公式求解.
1.2【典型考题变式】
【变式1:改编条件】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中,余下的2种颜色的花种在另一花坛中,则红色和紫色的花种在同一花坛的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从四种颜色中选择两种颜色种植在一个花坛中,则另外两种颜色的花种植在另外一个花坛中,种花的方法共有: 种,而红色和紫色的花种在同一花坛有2种方法,其概率值为,故选C.
【变式2:改编结论】扇形AOB的半径为1,圆心角为90°.点C,D,E将弧AB等分成四份.连接OC,OD,OE,从图中所有的扇形中随机取出一个,若取到扇形的面积恰为S的概率为,则S=( )
A. B. C. D.
【答案】A
【变式3:改编问法】袋子中有四个小球,分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字,有放回地从中任取一个小球,取到“快”就停止,用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率:先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数,且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字,以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计,直到第二次就停止的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由随机数表可知,在20个随机数组中,第二个数字是3的共有13 43 23 13 13共5个,所以其发生的概率为,故选B.
2. 复杂古典概型问题
2.1考题展示与解读
例2【2016高考天津文数】甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
【命题意图探究】本题考查互斥事件的和概率公式,是基础题.
【答案】A
【解析】甲不输概率为选A.
【解题能力要求】运算求解能力
【方法技巧归纳】复杂古典概型问题,常分成若干个简单互斥事件的和,再利用排列组合的知识计算这些简单事件的概率,最后利用互斥事件的和概率公式求解,常用正难则反思想求解.
2.2【典型考题变式】
【变式1:改编条件】一次数学考试中,4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答,则第22题和第23题都有同学选答的概率为( )学
A. B. C. D.
【答案】C
【变式2:改编结论】四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起 ;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起 的概率为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四个人抛硬币的可能结果有种,有不相邻人站起 的可能为:正反正反,反正反正,只有
人站起 的可能有种,没有人站起 的可能有种,所以所求概率为: .选B.
【变式3:改编问法】设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则方程有实根的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
3.古典概型与其他知识的交汇
3.1考题展示与解读
例3 【2016高考四川文 】从2、3、8、9任取两个不同的数值,分别记为a、b,则为整数的概率= .
【命题意图探究】本题以对数的概率为载体考查古典概型的计算,是基础题.
【答案】
【解析】从2,3,8,9中任取两个数记为,作为作为对数的底数与真数,共有个不同的基本事件,其中为整数的只有两个基本事件,所以其概率.
【解题能力要求】转化与化归思想、运算求解能力
【方法技巧归纳】解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
3.2【典型考题变式】
【变式1:改编条件】集合和,分别从集合,
中随机取一个数作为和,则方程表示焦点落在轴上的椭圆的概率是( )[ :学| | ]
A. B. C. D.
【答案】A
【变式2:改编结论】将甲、乙两枚骰子先后各抛一次,a、b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数.若点P(a,b)落在直线x+y=m(m为常数)上,且使此事件的概率最大,则此时m的值为 ( )
A. 6 B. 5 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】由题意易知将甲、乙两枚骰子先后各抛一次,点(a,b)共有36种情况,其中当a+b=7时,共有6种情况,即(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),此时概率最大,故当m=7时,事件的概率最大.选C。学Z
【变式3:改编问法】将一颗骰子投掷两次,第一次、第二次出现的点数分别记为,设直线与平行的概率为,相交的概率为,则圆上到直线的距离为的点有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】由直线与平行得
由直线与相交得所以,因此圆心到直线的距离为
,即圆上到直线的距离为的点有三个,选C.
三、 课本试题探
必修3 P133页练习第4题第(1)小题:掷两粒骰子,计算出现点数总和为7的概率.
【解析】掷两粒骰子总共有36种结果,其中点数之和的结果有:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6种,故出现点数之和为7的概率为.
四.典例高考试题演练
1.【江西省宜春市2017届五调】从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取3个,则所抽取的数字之和能被4整除的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意,从5个数字中随机抽取3个,所有的情况为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种可能,其中满足条件的为(1,2,5),(1,3,4),(3,4,5),共3种可能,故所求概率,故选A.
2.【湖南省五市十校教研教改共同体2018届12月联考】齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马, 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为( )[ :学 ]
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设齐王的三匹马分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为b1,b2,b3,齐王与田忌赛马,其情况有:(a1, b1)、(a1, b2)、(a1, b3)、(a2, b1)、(a2, b2)、(a2, b3)、(a3, b1)、(a3, b2) 、(a3, b3),共9种;其中田忌的马获胜的有(a2, b1)、(a3, b1)、(a3, b2)共3种,则田忌获胜的概率为,故选:A.
3.【河北省衡水第一中学2018届分 综合考试】2017年3月22日,习近平出访俄罗斯,在俄罗斯掀起了中国文化热.在此期间,俄罗斯某电视台记者, 在莫斯 大学随机采访了7名大学生,其中有3名同学会说汉语,从这7人中任意选取2人进行深度采访,则这2人都会说汉语的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
4.【华中师范大学第一附属中学2018届上期期中】两次抛掷一枚骰子,则向上的点数之差的绝对值等于的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 连续两次抛掷一枚骰子,记录向上的点数,基本事件的总数为,向上的点数之差的绝对值为包含的基本事件有: 共8个,所以向上的点数之差的绝对值为的概率为,故选B.
5.【广东省广州市南沙区一中2018届期中】已知某运动员每次投篮命中的概率为40 .现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示没有命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A. 0.35 B. 0.25 C. 0,20 D. 0.15
【答案】B
【解析】观察数据,代表三次都命中的有431, 113共两个,而总的试验数据共20个,所以该运动员三次投篮都命中的概率为0,故选C.
6.【湖南省益阳市、湘潭市2018届高三9月调研】已知,则函数为减函数的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数为减函数,则.只有满足题意..所以函数为减函数的概率是.故选C.
7.【贵州省贵阳市一中2018届月考(一)】某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目,4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛,则这4人中三个项目都有人参加的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,故选B.
8.【浙江省ZDB联盟2017届高三一模】袋子里有大小、形状相同的红球个,黑球个(),从中任取1个球是红球的概率记为,若将红球、黑球个数各增加1个,此时从中任取1个球是红球的概率记为;若将红球、黑球个数各减少1个,此时从中任取1个球是红球的概率记为,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 因为,
所以选D.
9.【广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第三次月考】已知、、、,从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为( )
A. B. C. D. 1
【答案】B
10.【湖北省武汉市2018届部分学校新高三起点调研考】将一枚质地均匀的骰子投两次,得到的点数依次记为和,则方程有实数解的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若方程有实根,则必有,若,则;若,则;若,则;若,则若,则;若,则, 事件“方程有实根”包含基本事件共, 事件的概率为,故选C.
11.【南京师范大学附属中学2017届模拟一】从中任取两个数,其中一个作为对数的底数,另一个作为对数的真数,则对数值大于的概率是__________.
【答案】
【解析】所有基本事件为
共六个,满足题设条件的事件有共三个,由古典概型的计算公式所求事件的概率,应填答案。
12.【复旦大学附属中学2017届第一次月考】从集合中任取两个数,要使取到的一个数大于,另一个数小于(其中)的概率是,则________
【答案】
【解析】从集合中任取两个数的基本事件有种,取到的一个数大于k,另一个数小于k,比k的小的数有(k-1)个.比k的大的数有(10-k)个,故有,所以取到的一个数大于k,另一个数小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率是,解得k=7,故答案为:7
13.【河南省周口市一中2018届11月考】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,则直线与圆有公共点的概率为________.学
【答案】
14.【陕西省西安中学2018届高三上学期期中考试】某校从高一年级学生中随机抽取40中学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段: , ,…, 所得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中实数的值;
(2)若该校高一年级共有640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;
(3)若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
【答案】(1)0.03;(2)544;(3) .
【解析】(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.
解得a=0.03.
(2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人 .
(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B,成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.
若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.
如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有:(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),( D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)= .
15.【安徽省合肥市2018届高三调研性检测】近期“共享单车”在全国多个城市持续升温,某移动互联
机构通过对使用者的调查得出,现在市场上常见的八个品牌的“共享单车”的满意度指数如茎叶图所示:
(Ⅰ)求出这组数据的平均数和中位数;
(Ⅱ)某用户从满意度指数超过80的品牌中随机选择两个品牌使用,求所选两个品牌的满意度指数均超过85的概率.
【答案】(Ⅰ)平均数;中位数为83 (Ⅱ)概率为