数学理卷·2017届北京市西城区高三上学期期末考试（2017 11页

‎ 北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科）2017.1‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合，，那么 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2．下列函数中，定义域为的奇函数是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3．已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4．在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个 侧面的面积中最大的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎6．设是非零向量，且．则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎7．实数满足若的最大值为，最小值为，则 的取值范围是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎8．在空间直角坐标系中，正四面体的顶点，分别在轴，轴上移动．若该正四面体的棱长是，则的取值范围是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．复数____．‎ ‎10．设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，则____；____．‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，输出的值为____．‎ ‎12．在△中，角的对边分别为．若，，，则____．‎ ‎13．设函数其中．‎ ‎① 若，则____；‎ ‎② 若函数有两个零点，则的取值范围是____．‎ ‎14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是____．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 已知函数的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，，，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）若与平面所成的角为，求四棱锥 的体积．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．‎ 为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：‎ 手机编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ A型待机时间（h）‎ ‎120‎ ‎125‎ ‎122‎ ‎124‎ ‎124‎ ‎123‎ ‎123‎ B型待机时间（h）‎ ‎118‎ ‎123‎ ‎127‎ ‎120‎ ‎124‎ a b 其中，a，b是正整数，且．‎ ‎（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；‎ ‎（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；‎ ‎（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）如果曲线在处的切线的斜率是，求的值；‎ ‎（Ⅱ）如果在区间上为增函数，求的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点．‎ ‎（Ⅰ）当时，求△面积的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：‎ 为定值．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 数字的任意一个排列记作，设为所有这样的排列构成的集合．‎ 集合任意整数，都有；集合任意整数，都有．‎ ‎（Ⅰ）用列举法表示集合，；‎ ‎（Ⅱ）求集合的元素个数；‎ ‎（Ⅲ）记集合的元素个数为．证明：数列是等比数列．‎ 北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 ‎2017.1‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．B 2．D 3．B 4．A ‎5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9．10．；11．‎ ‎12．13．；14．‎ 注：第10，13题第一空2分，第二空3分. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. ‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为 ‎[4分]‎ ‎，[6分]‎ 所以的最小正周期,‎ 解得．[7分]‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．‎ 因为，所以．[9分]‎ 所以，当，即时，取得最大值为1；[11分]‎ 当，即时，取得最小值为． [13分]‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以，[1分]‎ 又因为，‎ 所以平面．[3分]‎ 所以平面平面．[4分]‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连接，．[5分]‎ 因为为的中点，所以，，‎ 又因为，，‎ 所以，．‎ 所以四边形是平行四边形，．[7分]‎ 又平面，平面，‎ 所以平面．[8分]‎ ‎（Ⅲ）过作于，连接．‎ 因为，所以为中点，又因为平面平面，‎ 所以平面．‎ 如图建立空间直角坐标系．[9分]‎ 设．由题意得，，，，，．‎ 所以，，．‎ 设平面的法向量为，则 即 令，则．所以．[11分]‎ 因为与平面所成角为，‎ 所以，‎ 解得．[13分]‎ 所以四棱锥的体积．[14分]‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A型手机中有台手机的待机时间不少于123小时．[3分]‎ ‎（Ⅱ）X可能的取值为．[4分]‎ ‎；；‎ ‎；．[8分]‎ 所以，X 的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎[10分]‎ ‎（Ⅲ）若A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机的待机时间的方差最小时，，．[13分]‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域是，[1分]‎ 导函数为．[2分]‎ 因为曲线在处的切线的斜率是，‎ 所以，即，[3分]‎ 所以．[4分]‎ ‎（Ⅱ）因为在区间上为增函数，‎ 所以对于任意，都有．[6分]‎ 因为时，，‎ 所以．[8分]‎ 令，所以．[10分]‎ 因为时，，‎ 所以时，，在区间上单调递增，‎ 所以．[12分]‎ 所以．‎ 即的取值范围是．[13分]‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）将代入，‎ 解得，所以．[2分]‎ 当为椭圆的顶点时，到直线的距离取得最大值，[4分]‎ 所以△面积的最大值是．[5分]‎ ‎（Ⅱ）设两点坐标分别为，，从而．[6分]‎ 设，则有，，．[7分]‎ 直线的方程为，[8分]‎ 令，得，从而．[9分]‎ 直线的方程为，[10分]‎ 令，得，从而．[11分]‎ 所以 ‎[13分]‎ ‎．‎ 所以为定值．[14分]‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ），．[3分]‎ ‎（Ⅱ）考虑集合中的元素．‎ 由已知，对任意整数，都有，‎ 所以，‎ 所以．‎ 由的任意性可知，是的单调递增排列，‎ 所以．[5分]‎ 又因为当，时，对任意整数，‎ 都有．‎ 所以，所以．[7分]‎ 所以集合的元素个数为1．[8分]‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，．‎ 因为，所以．‎ 当时，考虑中的元素．‎ ‎（1）假设．由已知，，‎ 所以，‎ 又因为，所以．‎ 依此类推，若，则，，…，．‎ ① 若，则满足条件的的排列有1个．‎ ② 若，则，，，…，．‎ 所以．‎ 此时满足条件的的排列有1个．‎ ③ 若，‎ 只要是的满足条件的一个排列，就可以相应得到的一个满足条件的排列．‎ 此时，满足条件的的排列有个．[10分]‎ ‎（2）假设，只需是的满足条件的排列，此时满足条件的的排列有个．‎ 综上，．‎ 因为，‎ 且当时，，[12分]‎ 所以对任意，，都有．‎ 所以成等比数列．[13分]‎