数学理卷·2018届福建省清流一中高二下学期第一阶段考试（2017-03） 7页

‎2016-2017学年第二学期第一阶段考试卷 高二(理科)数学 一、 选择题（共60分，每小题5分）‎ ‎1.若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（　　） A.    B.       C.   D.‎ ‎2.用反证法证明：至少有一个为，应假设（　　） A. 没有一个为         B. 只有一个为 C. 至多有一个为        D. 两个都为 ‎3.用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数的 ‎ 实部是，所以复数的虚部是”．对于这段推理，下列说法正确的是（　　） A.大前提错误导致结论错误     B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误    D.推理没有问题，结论正确 ‎4.已知，则的值为（　　） A.      B.      C.      D.‎ ‎5.一个包内装有4本不同的科技书，另一个包内装有5本不同的科技书，从两个包内任取 ‎ ‎ 一本的取法有（　　）种． A.     B.      C.      D.‎ ‎6.已知集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐 ‎ 标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（　　） A.     B.     C.     D.‎ ‎7.类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，，‎ ‎ ，其中，且，下面正确的运算公式是（　　） ①； ②； ③； ④． A.①②    B.②④    C.①④    D.①②③④‎ ‎8.某校在半期考试中要考察六个学科，已知语文必须安排在首场，且数学与英语不能相邻，‎ ‎ 则这六个学科总共有（　　）种不同的考试顺序． A.     B.     C.     D.‎ ‎9.已知数列{an}的通项公式，记， ‎ ‎ 通过计算的值，猜想的值为（　　） A.  B. C.  D. ‎ ‎10.记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不 ‎ 第11题 ‎ 同的排法共有（　　）种． A.     B.     C.     D.‎ ‎11.已知整数按如下规律排成一列：、、、、‎ ‎ ，，，，，，…，则第70个 ‎ 数对是（　　） A.  B.   C.   D. ‎ ‎12.式子满足，则称 ‎ ‎ 为轮换对称式．给出如下三个式子：①； ‎ ‎ ②；③‎ ‎ （是的内角）．其中，为轮换对称式的个数是（　 　） A.3      B.2      C.1      D.0‎ 二、填空题（共16分，每小题4分）‎ ‎13.满足线性约束条件的可行域中共有 ______ 个整数点 ‎14.将个和个共个字母填在如图所示的个小方格内，每个小方格内至多填个 ‎ ‎ 字母，若使所有字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 ______ 种（用数字作答）‎ ‎15.在中，为的中点，则将命题类比到空间：‎ ‎ 在三棱锥中，为的重心，则 ______ ．‎ ‎16. 已知,则= ‎ 三、解答题（共74，其中前5题每题12分，最后1题14分）‎ ‎17. （1）计算  （2）计算：‎ ‎18.已知复数在复平面内对应的点分别为，． （1）若求的值． （2）复数对应的点在二、四象限的角平分线上，求的值． ‎ ‎19.数列满足，为数列前项和，并且满足 ‎ ‎ ．求 （1）的值； （2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明． ‎ ‎20.已知一元二次方程根与系数的关系如下：设是关于方程的根，则 ‎ ‎ ，． （Ⅰ）若是一元三次方程的根，求和 ‎ 的值； （Ⅱ）若是一元三次方程的根，类比一元二次方程根与系 ‎ 数的关系，猜想和与系数的关系，并加以证明． ‎ ‎21.已知件不同产品中有件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有件次品为止． ‎ ‎（1）若恰在第次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ ‎ ‎（2）若恰在第次测试后，就找出了所有件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ ‎ ‎ 22.已知函数, （Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点， ‎ 且，使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随切线．特别地，当时，又称为的-伴随切线． 求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的； ‎ 答案 一、 BAAAC DACDC BB 二、 15 144 =（++） 2187‎ 三、‎ ‎17.解：（1）===． （2）C+C+2C=+==． ‎ ‎18、解：（1）由复数的几何意义可知：Z1=-2+i，Z2=a+3i． ∵|Z1-Z2|=，∴|-a-2-2i|==． 解得a=-3或-1． ……6’ （2）复数z=Z1•Z2=（-2+i）（a+3i）=（-2a-3）+（a-6）i对应的点在二、四象限的角平分线上， 依题意可知点（-2a-3，a-6）在直线y=-x上 ∴a-6=-（-2a-3），解得a= -9．……12’‎ ‎ 19.解：（1）易求得a1=1，a2=-1，a3=-， S1=1，S2=，S3=（3分）； （2）猜想（5分） 证明：Sn=（an+）．Sn-1=（an-1+）．可得， ①当n=1时，a1==1，猜想成立   ②假设n=k时，成立，（8分） 则n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1===． 即n=k+1时，猜想也成立． 由①②知，n∈N*时，．（12分） ‎ ‎20、解：（Ⅰ）∵方程x2-3x-4=0的两个根分别为-1和4，…（2分） ∴方程（x-1）（x2-3x-4）=0的根分别为-1，1和4，…（3分） ∴x1+x2+x3=4，x1•x2•x3=-4．           …（5分） （Ⅱ）x1+x2+x3=-b，x1•x2•x3=-d．    …（7分） 证明：∵x1，x2，x3是一元三次方程x3+bx2+cx+d=0的根， ∴x3+bx2+cx+d=（x-x1）（x-x2）（x-x3），…（9分） 又∵（x-x1）（x-x2）（x-x3）展开式中二次项为-（x1+x2+x3）x2，…（10分） 常数项为-x1•x2•x3，…（11分） ∴x1+x2+x3=-b，x1•x2•x3=-d．      …（12分）‎ ‎21、解：（1）由题意知本题是一个分别计数问题， 先排前4次测试，只能取正品，有A64种不同测试方法，‎ ‎ 再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试， 有C42•A22=A42种测法，再排余下4件的测试位置有A44种测法． ∴共有不同排法A64•A42•A44=103680种．……6‘ （2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现． ∴共有不同测试方法A41•（C61•C33）A44=576种．……12’‎ ‎22、解：（Ⅰ）（2分） 当a≥0（0，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）在内是增函数， ∴函数f（x）没有极值．（3分） 当a＜0时，令f'（x）=0，得． 当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表： ∴当时，f（x）取得极大值． 综上，当a≥0时，f（x）没有极值； 当a＜0时，f（x）的极大值为，没有极小值．（5分） （Ⅱ）（ⅰ）设P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））是曲线y=f（x）上的任意两点， 要证明P1，P2有伴随切线，只需证明存在点Q（x0，f（x0）），x1＜x0＜x2， 使得，且点Q不在P1P2上．（7分） ∵，即证存在x0∈（x1，x2），使得， 即x0lnx2-x0lnx1+x1-x2=0成立，且点Q不在P1P2上．（8分） 以下证明方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有解． 设F（x）=xlnx2-xlnx1+x1-x2，0＜x＜x2． 则F（x1）=x1lnx2-x1lnx1+x1-x2． 记g（x）=xlnx2-xlnx+x-x2，0＜x＜x2， ∴g'（x）=lnx2-lnx＞0， ∴g（x）在（0，x2）内是增函数， ∴F（x1）=g（x1）＜g（x2）=0．（9分） 同理F（x2）＞0．∴F（x1）F（x2）＜0． ∴方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有解x=x0．（10分） 又对于函数g（x）=xlnx2-xlnx+x-x2， ∵0＜x1＜x0＜x2，∴g（x0）=x0lnx2-x0lnx0+x0-x2＜g（x2）=0， 可知，即点Q不在P1P2上．‎ ‎ 又F（x）=（lnx2-lnx1）x+x1-x2在（x1，x2）内是增函数， ∴方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有唯一解． 综上，曲线y=f（x）上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的 ……14‘ ‎