数学理卷·2017届江西省赣中南五校高三下学期第一次联考（2017 11页

江西省赣中南五所重点中学2017届高三第二次联考 高三数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.已知集合，集合，则A∩BUCRC= （ ）‎ ‎2. 设方程有两个不等的实根和，则（ ）‎ A．     B．     C．     D．‎ ‎4.已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线平行，则双曲线C的离心率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎5.设，则的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎6.已知的最大值为A,若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎7.如图所示，在四边形中，,将沿折起，使得平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A.平面平面 B.平面平面 C. 平面平面 D.平面平面 ‎8. 三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，直线与平面所成角的正切值取最大值时的值为（     ）‎ A.        B.         C.          D.‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎10. 等差数列的前项和分别为 , （      ）‎ A．63    B．45        C．36        D．27‎ ‎11. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（   ）‎ A.         B.        C.       D. ‎ ‎12.已知，则的最小值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 是函数在 上单调递增的__________（填“常用逻辑用语”）条件。‎ ‎14.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高3尺，菀草第一天长高1尺。以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第 天，蒲草和菀草高度相同.（已知，结果精确到）‎ ‎15. 已知，数列｛｝的前n项和为Sn, 数列{bn}的通项公式为=n-8,则的最小值为_________________.‎ ‎16. 已知对任意平面向量=（x,y）,把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P．设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线C的方程是___ .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 江西景德镇某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的2017年新上市工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．‎ ‎（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；‎ ‎（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎　　（Ⅰ）若在上单调函数，求的取值范围；‎ ‎　　（Ⅱ）若时，在上的最小值为，求的表达式．‎ ‎19.（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且 ‎ （1）求证：;‎ ‎ （2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，请说明理由.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知抛物线:的准线为，焦点为，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且 ‎（I） 求和抛物线的方程;‎ ‎（II） 过上的动点作的切线，切点为、，求当坐标原点到直线 的距离取得最大值时，四边形的面积.‎ ‎21.（本题满分12分）设函数对恒成立.‎ ‎ （1）求的取值集合；‎ ‎ （2）求证：.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，－5），点M的极坐标为（4，），若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径。‎ ‎（I）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程；‎ ‎（II）试判定直线与圆C的位置关系。‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小值m；‎ ‎（2）若正实数a,b满足，求证：.‎ 江西5所重点中学2017届高三第一次联考 理科数学答案 一、选择题 ‎1-5ADAAA 6-10BDABD 11-12BB 二、填空题 ‎13、充分不必要 14、2.6 15、-4 16、xy = -1‎ 三、解答题 ‎17、解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，‎ ‎（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 ‎．……………5分 ‎（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，‎ 所以，‎ 故．……………12分 解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则 ‎，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 于是，．‎ ‎18、解：⑴，对称轴为．···1分 ‎　　　　在上单调．或，····3分 ‎　或．又，或 ‎．········5分 ‎　　　⑵若，则，···6分 ‎　　　　当，即时，．···8分 ‎　　　　当，即时，．···10分 综上所述：．······12分 ‎19、（1）证明：连接交于点，‎ 因，则 由平面侧面，且平面侧面，‎ 得，又平面， 所以. ……2分 三棱柱是直三棱柱，则，所以. ……3分 又，从而侧面 ，又侧面，故.‎ ‎……5分 ‎（2）由（1），则直线与平面所成的角 所以，又，所以 ……7分 假设在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为 由是直三棱柱，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则由，‎ ，得 ‎ 所以， 设平面的一个法向量，由， 得：‎ ，取 ……9分 由（1）知，所以平面的一个法向量 ‎……10分 所以，解得 ‎∴点为线段中点时，二面角的大小为 ……12分 ‎20、（1）准线L交轴于，在中所以,所以，抛物线方程是                         (3分)‎ 在中有,所以 所以⊙M方程是：                    (6分)‎ ‎（2）解法一　　　设 所以:切线；切线  (8分)‎ 因为SQ和TQ交于Q点所以 和成立                   ‎ 所以ST方程：                   (10分)‎ 所以原点到ST距离，当即Q在y轴上时d有最大值 此时直线ST方程是               (11分)‎ 所以 所以此时四边形QSMT的面积           (12分)‎ 说明：此题第二问解法不唯一，可酌情赋分．‎ ‎【注】只猜出“直线ST方程是”未说明理由的，　该问给2分 利用ＳＭＴＱ四点共圆的性质，写出以ＱＭ为直径的圆方程的得2分 两圆方程相减得到直线ＳＴ方程　　得４分；以后步骤赋分参照解法一．‎ ‎21、（1）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.即，方程在有两个不同根.‎ 转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点……2分 又，即时，，时，，‎ 所以在上单调增，在上单调减，从而.‎ 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， ……4分 所以由的图象，要想函数与函数的图象在上有两个不同交点，只需，即 ……5分 ‎（2）由（1）可知分别是方程的两个根，即，，‎ 设，作差得，，即.‎ 原不等式等价于 ……7分 令，则，， ……9分 设，，，‎ ‎∴函数在上单调递增，∴，‎ 即不等式成立，故所证不等式成立. ……12分 ‎22、解：（1）直线的参数方程（上为参数）‎ ‎         M点的直角坐标为（0，4）  图C半径 ‎        图C方程        得 代入 ‎        得圆C极坐标方程    ………………………………5分 ‎（2）直线的普通方程为 ‎     圆心M到的距离为 ‎      ∴直线与圆C相离。  ………………………………………10分 ‎23. (1)m=2 (2)见解析 ‎ ‎