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  • 2021-07-01 发布

数学文卷·2017届湖北省襄阳市优质高中高三1月联考(2017

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襄阳市优质高中2017届高三联考试题 数学(文科)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.已知复数满足,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设集合,则等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若实数满足约束条件,则的最大值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点,则C的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知等比数列的公比为正数,前项和为,,则等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在中,过直角顶点A在内随机作射线,交斜边于点,则的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知函数,则等于( )‎ ‎ A.0 B. C. D.‎ ‎8.某四棱锥的三视图如右图所示,正视图、侧视图都是边长为的等边三角形,俯视图是一个正方形,则此四棱锥的体积是( )‎ ‎ A. B.12 C.24 D.36 ‎ ‎9.函数的图象大致是 ‎10.正整数的各数位上的数字重新排列后得到的最大数记为,得到的最小数记为(如正整数,则),执行如图所,示的程序框图,若输入,则输出的S的值为 ‎ A. 6174 B. 7083 C. 8341 D. 8352‎ ‎11.设表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:‎ ‎ ①若,且,则;‎ ‎②若,且,则;‎ ‎③若,则;‎ ‎④若,则.‎ ‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎12.定义域为R的偶函数满足,当时,;函数,则在上零点的个数为 ‎ A. 4 B. 3 C. 6 D. 5‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知向量,且,则 .‎ ‎14.文渊阁本四库全书《张丘建算经》卷上(二十三):今有女子不善织,日减功,迟。初日织五尺,末日织一尺,今三十日织訖。问织几何?意思是:有一女子不善织布,逐日所织布按等差数列递减,已知第一天织5尺,最后一天织1尺,共织了30天。问共织布 .‎ ‎15.直线经过抛物线的焦点F,与C交于A,B两点,且,则线段AB的中点D到轴的距离为 .‎ ‎16.若函数对定义域内的任意,当时,总有,则称函数为单纯函数,例如函数是单纯函数,但函数不是单纯函数,下列命题:①函数是单纯函数;②当时,函数在上是单纯函数;③若函数为其定义域内的单纯函数,,则;④若函数是单纯函数且在其定义域内可导,则在其定义域内一定存在使其导数.其中正确的命题为 .(填上所有正确的命题序号)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.(本题满分12分)设,函数 ‎ (1)当时,求函数的值;‎ ‎ (2)已知的三个内角A,B,C所对应的边分别为,且满足,求的内角的大小.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ ‎ 某研究小组到社区了解参加健美操运动人员的情况,用分层抽样的方法抽取了40人进行调查,按照年龄分成五个小组:,并绘制成如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)求该社区参加健美操运动人员的平均年龄;‎ ‎ (2)如果研究小组从该样本中年龄在和的6人中随机地抽取出2人进行深入采访,求被采访的2人,年龄恰好都在内的概率.‎ ‎19.(本题满分12分)如图所示,四边形为菱形,‎ 平面.‎ ‎ (1)求证:平面;‎ ‎ (2)当为何值时,直线平面?请说明理由.‎ ‎20.(本题满分12分)如图,在圆上任取一点,过点作轴的垂线,为垂足,点满足;当点在圆上运动时,点的轨迹为 ‎ (1)求点的轨迹的方程;‎ ‎ (2)与已知圆相切的直线交于两点,求的取值范围.‎ ‎21.(本题满分12分)‎ ‎ 已知函数 ‎ (1)当时,求函数的极大值;‎ ‎ (2)若函数在R上有且仅有两个零点,求实数的值;‎ ‎(3)求证:.‎ 请考试在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中圆C的参数方程为(为参数),以原点O为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为 ‎ (1)求圆C的直角坐标方程及其圆心C的直角坐标;‎ ‎ (2)设直线与曲线交于两点,求的面积.‎ ‎22.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数 (1) 解关于的不等式;‎ (2) 若,使得成立,试求实数的取值范围.‎ 襄阳市优质高中2017届高三联考试题参考答案 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】因为,则, .‎ ‎【考点】复数 ‎2.【答案】D ‎ ‎【解析】,,.‎ ‎【考点】集合 ‎3.【答案】C ‎【解析】由已知得可行域是由、、构成的三角形,作直线:,平移到,当过时取得最大值.‎ ‎【考点】线性规划 ‎4.【答案】A ‎ ‎【解析】与坐标轴交于点,,从而,,,双曲线的离心率.‎ ‎【考点】解析几何:双曲线的离心率 ‎【来源】选修1-1例3改编而成.‎ ‎5.【答案】D ‎ ‎【解析】因为为等比数列,,,则,,.‎ ‎【考点】数列:等比数列及其求和 ‎【来源】必修5组第3题改编而成.‎ ‎6.【答案】A ‎ ‎【解析】取中点,因为,,则射线在内,,.‎ ‎【考点】概率:几何概型中的角度问题 ‎【来源】必修3练习第1题改编而成.‎ ‎7.【答案】C ‎【解析】.‎ ‎【考点】函数:函数性质,求函数值 ‎8.【答案】B ‎ ‎【解析】由三视图知此四棱锥为正四棱锥,底面是边长为的正方形,正四棱锥的高即等边三角形的高为3,体积是.‎ ‎【考点】立体几何:三视图与正四棱锥的体积 ‎9.【答案】C ‎ ‎【解析】函数中,可排除A、D;,函数为奇函数,在上是减函数,排除B.‎ ‎【考点】函数:函数的定义域、奇偶性、函数的单调性及其函数的图象 ‎10.【答案】A ‎【解析】,,;,,;,,;‎ ‎,,;所以.‎ ‎【考点】程序框图与算法案例 ‎11.【答案】B ‎【解析】当∥,且时,由直线与平面垂直的判定定理知,故①正确.当 ∥,且∥时∥或,故②错误.当,时,∥或与相交,故③错误. 当,,时, ∥∥或交于一点,故④错误.‎ ‎【考点】立体几何:空间直线与平面之间的位置关系 ‎12.【答案】D ‎【解析】因为满足,则,是周期为2的函数;作出与的图象,两图象在交于5个点即在上有5个零点.选D.‎ ‎【考点】函数:函数图象与性质 ‎13.【答案】‎ ‎【解析】由∥知,.‎ ‎【考点】向量:向量的坐标表示、共线向量、向量的模 ‎14.【答案】90‎ ‎【解析】已知递减的等差数列,,,.‎ ‎【考点】等差数列:求和 ‎15.【答案】4‎ ‎【解析】由已知点,抛物线的准线:,过、、分别作准线 的垂线,垂足依次为、、,交轴于点,;‎ 是梯形的中位线,,.所以线段的中点到轴的距离是4.‎ ‎【考点】解析几何:抛物线的定义与标准方程、直线与二次曲线的相交问题 ‎【来源】试题来源于课本人教版选修1-1例4改编而成.‎ ‎16.【答案】①③‎ ‎【解析】由单纯函数的定义可知单纯函数的自变量和函数值是一一映射,因此单调函数一定是单纯函数,但单纯函数不一定是单调函数,①③正确;当时在不是单纯函数,②错误;函数是单纯函数,但其定义域内不存在使其导函数,④错误.‎ ‎【考点】新定义,函数的性质及应用,简易逻辑 ‎17.解(I)法一:当时,,‎ ‎,;………………………………5分 法二:‎ ‎,‎ 当时,;………………………………5分 ‎(II)法一:中,由余弦定理及已知得,‎ 化简得,…………………………………………………8分 由余弦定理得,,所以.……12分 法二:中,由正弦定理及已知得 ‎,…10分 ‎,所以.…………………………………………………12分 ‎【考点】向量,三角函数,解三角形 ‎18.解:(I),该社区参加健美操运动人员的平均年龄为57.5岁;……………………5分 ‎(II)年龄在的人员2人,依次记为、,年龄在的人员4人,依次记为、、、,从这6人中随机地选出2人有15种等可能的结果:、、、 、、、、、、、、、、、;‎ 记事件:被采访的2人年龄恰好都在,则包含6种结果,‎ ‎.所以,被采访的2人年龄恰好都在的概率为.……………………12分 ‎【考点】统计与概率 ‎19.(I)证明:因为平面,平面,所以;…2分 菱形中,;,所以平面.…………5分 ‎ 法二:因为平面,平面,所以平面平面;‎ ‎……………2分 菱形中,;平面平面;所以平面.‎ ‎……………5分 ‎ (II)当时直线∥平面.理由如下:…………………………………7分 设菱形中对角线,的中点为,则为的中位线, ∥且;……………………………………………9分 又∥且,即∥且,得平行四边形,所以∥;………………………………………………………11分 因为平面,平面,所以直线∥平面.……12分 法二:设菱形中对角线,的中点为,则为的中位线,∥;平面,平面,所以直线∥平面;‎ 又∥且,即∥且,得平行四边形,所以∥;平面,平面,所以直线∥平面;‎ ‎,平面,平面,所以平面∥平面.‎ 因为平面,所以直线∥平面.………………12分 ‎【考点】直线、平面的平行与垂直关系 ‎【试题来源】试题来源于课本人教版必修2探究改编而成.‎ ‎20.(I)设点,,,由已知 得即,点;…………………………………………………2分 因为点在圆上运动,得即;…4分 所以点的轨迹的方程为.…………………………………………5分 ‎(II)直线:与相切,即;7分 设、,由得,直线与交于两点得,,‎ ‎,从而;…………9分 ‎,‎ 又,,.…11分 所以,的的取值范围.………………………………………12分 ‎【考点】直线与椭圆.‎ ‎【试题来源】试题来源于课本人教版选修1-1例题改编而成 ‎21.解:(I)当时,,, ‎ ‎ ‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ 所以,函数的极大值为;………………………………4分 ‎(II)在上有且仅有两个零点,.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时,‎ 函数在上递增且恰有1个零点,,因而必有 得,所以;…………………………6分 当时,,函数在上递增,函数至多 有一个零点,不符合题意,舍去;………………………………………7分 当时,‎ 函数在上递增且恰有1个零点,但在上无零点,因而函数在只有1个零点,不符合题意,应舍去. ‎ 综上所述,;………………………………………………………………8分 ‎(其它解法酌情给分)‎ ‎(III)证明:由(I)当时,在递增,有 ‎,当且时,‎ ‎,从而 ‎,,……10分 ‎.‎ 所以,且.………………12分 ‎【考点】函数与导数:函数的性质及应用. ‎ ‎【试题来源】试题来源于课本人教版选修1-1例题4改编而成 ‎22、解:(Ⅰ)圆:(为参数)得圆的直角坐标方程:,圆心的直角坐标.………………………………………………4分 ‎(Ⅱ).直线的直角坐标方程:;………………………………5分 ‎.圆心到直线的距离,圆的半径,‎ 弦长.……………………………………………8分 ‎.的面积.…………………10分 ‎【考点】坐标系与参数方程 ‎ ‎23、解:(Ⅰ)当时,,得;…1分 当时,,得;…………2分 当时,,矛盾,得;…3分 综上所术,不等式的解集为或 . ‎ ‎(Ⅱ).对,,即;…6分 ‎.对,恒成立对,恒成立对,;………………………………………………8分 ‎.解不等式得或.…………………………………9分 所以实数的取值范围为.………………………………………10分 ‎【考点】不等式选讲 襄阳市优质高中2017届高三联考试题文科数学参考答案 ‎1-12 B D C A D A C B C A B D 13. 14.90 15. 4 16. ①③‎ ‎17.解(I)法一:当时,,,;………………………………5分 法二:‎ ‎,‎ 当时,;………………………………5分 ‎(II)法一:中,由余弦定理及已知得,‎ 化简得,…………………………………………………8分 由余弦定理得,,所以.……12分 法二:中,由正弦定理及已知得 ‎,…10分 ‎,所以.…………………………………………………12分 ‎18.解:(I),‎ 该社区参加健美操运动人员的平均年龄为57.5岁;……………………5分 ‎(II)年龄在的人员2人,依次记为、,年龄在的人员4人,依次记为、、、,从这6人中随机地选出2人有15种等可能的结果:、、、 、、、、、、、、、、、;‎ 记事件:被采访的2人年龄恰好都在,则包含6种结果,.所以,被采访的2人年龄恰好都在的概率为.……………………12分 ‎19.(I)证明:因为平面,平面,所以;…2分 菱形中,;,所以平面.…………5分 法二:因为平面,平面,所以平面平面;‎ ‎……………2分 菱形中,;平面平面;所以平面.‎ ‎……………5分 ‎ (II)当时直线∥平面.理由如下:…………………………………7分 设菱形中对角线,的中点为,则为的中位线, ∥且;……………………………………………9分 又∥且,即∥且,得平行四边形,所以∥;………………………………………………………11分 因为平面,平面,所以直线∥平面.……12分 法二:设菱形中对角线,的中点为,则为的中位线,∥;平面,平面,所以直线∥平面;‎ 又∥且,即∥且,得平行四边形,所以∥;平面,平面,所以直线∥平面;‎ ‎,平面,平面,所以平面∥平面.‎ 因为平面,所以直线∥平面.………………12分 ‎20.(I)设点,,,由已知 得即,点;…………………………………………………2分 因为点在圆上运动,得即;…4分 所以点的轨迹的方程为.…………………………………………5分 ‎(II)直线:与相切,即;7分 设、,由得,直线与交于两点得,,‎ ‎,从而;…………9分 ‎,‎ 又,,.…11分 所以,的的取值范围.………………………………………12分 ‎21.解:(I)当时,,, ‎ ‎ ‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ 所以,函数的极大值为;………………………………4分 ‎(II)在上有且仅有两个零点,.‎ 当时,,函数在上递增,函数至多 有一个零点,不符合题意,舍去;………………………………………5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时,‎ 函数在上递增且恰有1个零点,,因而必有 得,所以;…………………………6分 当时,‎ 函数在上递增且恰有1个零点,但在上无零点,因而函数在只有1个零点,不符合题意,应舍去. …………………7分 综上所述,;………………………………………………………………8分 ‎(其它解法酌情给分)‎ ‎(III)证明:由(I)当时,在递增,有 ‎,当且时,,从而 ‎,,……10分 ‎.‎ 所以,且.………………12分 ‎22、解:(Ⅰ)圆:(为参数)得圆的直角坐标方程:,圆心的直角坐标.………………………………………………4分 ‎(Ⅱ).直线的直角坐标方程:;………………………………5分 ‎.圆心到直线的距离,圆的半径,‎ 弦长.……………………………………………8分 ‎.的面积.…………………10分 ‎23、解:(Ⅰ)当时,,得;…1分 当时,,得;…………2分 当时,,矛盾,得;…3分 综上所术,不等式的解集为或 . ‎ ‎(Ⅱ).对,,即;…6分 ‎.对,恒成立对,恒成立对,;………………………………………………8分 ‎.解不等式得或.…………………………………9分 所以实数的取值范围为.………………………………………10分