数学理卷·2019届吉林省梅河口市第五中学高二上学期中期考试（2017-11） 9页

梅河口市第五中学2017～2018学年度第一学期期中 高二年级数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．过点且平行于直线的直线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．高二某班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（ ）‎ A．30 B．31 C．32 D．33‎ ‎3．如果，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在等比数列中，若公比，，则的值为（ ）‎ A．56 B．58 C．63 D．64‎ ‎5．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：‎ ‎①； ②a；‎ ‎③ ④；‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④‎ ‎6．已知的三边长为，满足直线与圆相离，则是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上情况都有可能 ‎7．若为三角形中的最小内角，则函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）‎ A．5 B．1 C． D．‎ ‎9．在中，，边上的高等于，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ A．60 B．72 C．81 D．114‎ ‎11．若向量满足，则在方向上投影的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．圆锥的轴截面是边长为4的正三角形（为顶点），为底面中心，为中点，动点在圆锥底面内（包括圆周），若，则点形成的轨迹长度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知变量满足约束条件，则的最大值是 ．‎ ‎14．如图，茎叶图记录了甲、乙两学习小组各3名同学在月考1中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为 ．‎ ‎15．在上随机的取一个数，则事件“圆与圆相交”发生的概率 ．‎ ‎16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，，，则球的表面积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，．‎ 求证：（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎18．某重点高中拟把学校打造成新型示范高中，为此制定了学生“七不准”，“一日三省十问”等新的规章制度．新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度随机抽取部分学生进行问卷调查，调查卷共有10个问题，每个问题10分，调查结束后，按分数分成5组：，，，，，并作出频率分布直方图与样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．‎ ‎（1）求样本容量和频率分布直方图中的的值；‎ ‎（2）在选取的样本中，从分数在70分以下的学生中随机抽取2名学生进行座谈会，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率．‎ ‎19．在中，角对应的边分别是，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求周长的最大值 ‎20．已知点，过点动直线与圆交与点两点．‎ ‎（1）若，求直线的倾斜角；‎ ‎（2）求线段中点的轨迹方程．‎ ‎21．在如图所示的圆锥中，是圆锥的高，是底面圆的直径，点是弧的中点，是线段的中点，是线段的中点，且，．‎ ‎（1）试在上确定一点，使得面，并说明理由；‎ ‎（2）求点到面的距离．‎ ‎22．已知，设是单调递减的等比数列的前项和，且成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列的前项和为，求证：对于任意正整数，.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-5:ACDCD 6-10:CBCBB 11、12：BD 二、填空题 ‎13．2 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．证明：（1）在直三棱柱柱中，，‎ 在三角形中，因为分别为中点，‎ 所以，‎ 于是，又因为平面，平面 所以直线平面 ‎（2）在直三棱柱中，平面 因为平面，所以 又因为，平面，平面，‎ 所以平面 因为平面，所以 又因为，平面，平面，‎ 所以平面 因为直线平面，所以平面平面．‎ ‎18．解：（1）由题意可知，样本容量，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）由题意可知，分数在内的学生有5人，记这5人分别为，分数在内的学生有2人，记这2人分别为．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.‎ 其中2名同学的分数恰有一人在内的情况有10种，‎ ‎∴所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率.‎ ‎19．解：（1），得 ‎，即，‎ 解得或 （舍去），‎ 因为，所以 ‎（2）∵ ，∴‎ ‎∵，∴，∴，从而，‎ 综上：.‎ ‎20．解:（1）圆的方程化为，又 当动直线的斜率不存在时，直线的方程为时，显然不满足题意；‎ 当动直线的斜率存在时，设动直线的方程为：即 故弦心距.‎ 再由点到直线的距离公式可得 解得 即直线的斜率等于，故直线的倾斜角等于或.‎ ‎（2）设由垂径定理可知，故点的轨迹是以为直径的圆．‎ 又点，故的轨迹方程为 ‎21．解：（1）连接，设，由题意为的重心，‎ ‎∴，连接，‎ ‎∵面，平面，面面，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 又，∴‎ ‎∴点是上靠近点的四等分点．‎ ‎（2），又点是弧的中点，‎ ‎，∴面，‎ 面，∴.‎ 因为，‎ ‎，‎ ‎∴点到面的距离 ‎22．解：（1）设数列的公比，由，‎ 得，‎ 即，∴．是单调递减数列，∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以，①‎ ‎，②‎ ‎②-①得：，‎ ‎，‎ 由，得，‎ 故 又，因此对于任意正整数，‎