2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第二章 第8节 函数与方程 10页

www.ks5u.com 多维层次练14‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)‎ A.，0 B．－2，0 C. D．0‎ 解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.‎ 答案：D ‎2．(2020·长郡中学等十三校联考)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)等于(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，所以x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.‎ 答案：B ‎3．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 解析：函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.‎ 答案：C ‎4．已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.‎ 答案：C ‎5．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)‎ A．a<0 B．01‎ 解析：因为当x>0时，x＝1是函数f(x)的一个零点，‎ 所以当x≤0时，要使f(x)＝－2x＋a没有零点，‎ 则－2x＋a<0或－2x＋a>0恒成立，‎ 即a<2x或a>2x恒成立，故a≤0或a>1.‎ 所以函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件可以是a<0.‎ 答案：A ‎6．(多选题)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：‎ x ‎1‎ ‎1.5‎ ‎1.25‎ ‎1.375‎ ‎1.437 5‎ ‎1.406 25‎ f(x)的 近似值 ‎－2‎ ‎0.625‎ ‎－0.984‎ ‎－0.260‎ ‎0.162‎ ‎－0.054‎ 那么方程x3＋x2－2x－2＝0近似解(精确度为0.05)可以是(　　)‎ A．1.25 B．1.437 5‎ C．1.406 25 D．1.421 9‎ 解析：由零点存在定理，在(1.406 25，1.437 5)内有零点，‎ 又1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.05，‎ 所以在区间[1.406 25，1.437 5]内任取一值可为零点近似解．‎ 则B、C、D均满足要求．‎ 答案：BCD ‎7．(2020·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰好有两个不同的实根，则实数a的取值范围为(　　)‎ A.1 D．a∈R 解析：作出函数f(x)的图象如图：‎ 因为关于x的方程f(x)＝2a恰好有两个不同实根，‎ 所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，‎ 所以2a>2或<2a≤1.‎ 解之得a>1或0)的最小值为8，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(5，6) B．(7，8) C．(8，9) D．(9，10)‎ 解析：由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，‎ 所以f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8.‎ 令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.‎ 则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，‎ 又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，‎ 所以实数a所在的区间为(5，6)．‎ 答案：A ‎9．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．‎ 解析：由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.‎ 答案：3‎ ‎10．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________，函数的零点是________(用a表示)．‎ 解析：依题意，f(x)＝x2＋ax＋b有不变号零点，‎ 所以Δ＝a2－4b＝0，知a2＝4b，‎ 从而函数的零点x0＝－.‎ 答案：a2＝4b　－ ‎11．(2020·济南质检)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于________．‎ 解析：考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标．‎ 又A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.‎ 答案：1‎ ‎12．已知函数f(x)＝ ‎(1)若f(1)＝3，则实数a＝________．‎ ‎(2)若函数y＝f(x)－2有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：(1)f(1)＝1－a＝3，所以a＝－2，‎ ‎(2)作出y＝2与y＝f(x)的图象(略)，y＝f(x)－2有两个零点，则12－a<2，所以a>－1.‎ 答案：(1)－2　(2)(－1，＋∞)‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎13．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x＞0)，y2＝ln x(x＞0)的图象，如图所示．‎ 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.‎ 答案：C ‎14．(2020·佛山调研)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B. C．(1，＋∞)∪{0} D．(0，1]‎ 解析：令g(x)＝f(x)－b＝0，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)<0得ex(x＋2)<0，即x<－2，此时f(x)为减函数，‎ 由f′(x)>0得ex(x＋2)>0，即－20)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________．‎ 解析：易知y＝ex－e－x为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得y＝f(x)的图象．‎ 所以y＝f(x)的图象关于点(0，4)对称，‎ 又y＝kx＋4过点(0，4)且关于(0，4)对称．‎ 所以方程f(x)＝kx＋4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0.‎ 因此x1＋x2＋x3＝0.‎ 答案：0‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎16．(2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．‎ 解析：(1)当λ＝2时，f(x)＝ 其图象如图(1)所示．‎ 由图知f(x)<0的解集为(1，4)．‎ ‎(2)f(x)＝恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．‎ 在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)．‎ 答案：(1，4)　(1，3]∪(4，＋∞)‎ ‎ 素养培育直观想象——嵌套函数的零点问题(自主阅读)‎ 函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数的相关问题．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单函数，借助函数的图象、性质求解．‎ ‎1．嵌套函数的零点个数判断 ‎[典例1]　已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．‎ 解析：由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得 f(x)＝或f(x)＝1，‎ 作出函数y＝f(x)的图象．‎ 由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．‎ 答案：5‎ ‎[解题思路]　1.上述题目涉及嵌套函数零点个数的判断，求解的主要步骤：(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点；‎ ‎(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)，求出x的值域判断图象交点个数．‎ ‎2．抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．‎ ‎2．嵌套函数零点中的参数 ‎[典例2]　(2020·湖北重点中学联考)已知函数f(x)＝，若关于x 的方程[f(x)]2＋mf(x)＋m－1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，2)∪(2，＋∞) B. C. D．(1，e)‎ 解析：因为f′(x)＝＝，‎ 所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上递减．‎ 因此f(x)max＝f(1)＝.‎ 又当x→－∞时，f(x)→－∞；x→＋∞时，f(x)→0且f(x)>0.‎ 从而作出t＝f(x)的简图，如图所示．‎ 令t＝f(x)，g(t)＝t2＋mt＋m－1.‎ 由g(t)＝0，得t＝－1或t＝1－m.‎ 当t＝－1时，f(x)＝＝－1，方程有一解，要使原方程有3个不同的实数解，必须使t＝1－m与t＝f(x)的图象有两个交点．‎ 故0<1－m<，所以1－t1)且t1<－1，t2≥－1.‎ 当t1<－1时，t1＝f(x)有一解．‎ 当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．‎ 综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．‎ 答案：[－1，＋∞)‎ ‎[解题思路]　1.求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围．进而由t＝f(x)图象确定x取值．‎ ‎2．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．‎