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- 2021-07-01 发布
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2.2.3
独立重复试验与二项分布(一)
高二数学 选修
2-3
复习引入
基本概念
独立重复试验的特点:
1
)每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生;
2
)任何一次试验中,
A
事件发生的概率相同,即相互独立,互不影响试验的结果。
探究
投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为
p
,则针尖向下的概率为
q=1-p.
连续掷一枚图钉
3
次,仅出现
1
次针尖向上的概率是多少?
连续掷一枚图钉
3
次,就是做
3
次独立重复试验。用 表示第
i
次掷得针尖向上的事件,用 表示“仅出现一次针尖向上”的事件,则
由于事件 彼此互斥,由概率加法公式得
所以,连续掷一枚图钉
3
次,仅出现
1
次针尖向上的概率是
思考?
上面我们利用掷
1
次图钉,针尖向上的概率为
p
,求出了连续掷
3
次图钉,仅出现次
1
针尖向上的概率。类似地,连续掷
3
次图钉,出现 次针尖向上的概率是多少?你能发现其中的规律吗?
仔细观察上述等式,可以发现
基本概念
2
、二项分布:
一般地,在
n
次独立重复试验中,设事件
A
发生的次数为
X
,在每次试验中事件
A
发生的概率为
p
,那么在
n
次独立重复试验中,事件
A
恰好发生
k
次的概率为
此时称随机变量
X
服从
二项分布
,记作
X~B(n,p)
,
并称
p
为成功概率。
注
:
展开式中的第 项
.
运用
n
次独立重复试验模型解题
例
1
某射手每次射击击中目标的概率是
0.8.
求这名射
手在
10
次射击中。
(
1
)恰有
8
次击中目标的概率;
(
2
)至少有
8
次击中目标的概率。
(结果保留两个有效数字)
练习
已知一个射手每次击中目标的概率为 ,求他在次射击中下列事件发生的概率。
(
1
)命中一次;
(
2
)恰在第三次命中目标;
(
3
)命中两次;
(
4
)刚好在第二、第三两次击中目标。
运用
n
次独立重复试验模型解题
例
2
在图书室中只存放技术书和数学书,任一读者借技术书的概率为
0.2
,而借数学书的概率为
0.8
,设每人只借一本,有
5
名读者依次借书,求至多有
2
人借数学书的概率。
变式练习
甲投篮的命中率为
0.8 ,
乙投篮的命中率为
0.7 ,
每人各投篮
3
次,每人恰好都投中
2
次的概率是多少?
例
3
实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比
赛,规定
5
局
3
胜制
(即
5
局内谁先赢
3
局就算胜
出并停止比赛).
⑴
试求甲打完
5
局才能取胜的概率.
⑵
按比赛规则甲获胜的概率.
运用
n
次独立重复试验模型解题
例
4
某会议室用
5
盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡的寿命为
1
年以上的概率为 ,寿命为
2
年以上的概率为 。从使用之日起每满年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换。
(
1
)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换
2
只灯泡的概率;
(
2
)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率;
(
3
)当 时,求在第二次灯泡更换工作中,至少需要更换
4
只灯泡的概率。(结果保留两个有效数字)
运用
n
次独立重复试验模型解题
例
5
假定人在一年
365
天中的任一天出生的概率是一
样的,某班级有
50
名同学,其中有两个以上的同
学生于元旦的概率是多少?(保留四位小数)
运用
n
次独立重复试验模型解题
变式引申
某人参加一次考试,若
5
道题中解对
4
道则为及格,已知他解一道题的正确率为
0.6,
是求他能及格的概率。